高中数学中双变量函数问题的探究

王勇 张秋果

摘 要：近幾年，双变量函数问题在高考数学试卷中出现的频率越来越高，所占的比重也越来越高。可以说，学生对双变量函数的掌握程度直接影响到了他们最终的高考数学成绩。因此，作为一名高中数学教师，对双变量函数问题进行深入的研究和细致的讲解已经变得尤为重要了。

关键词：高中数学;双变量;函数问题

在高中数学新课程中明确要求，学生除了要具备最基本的数学知识与技能之外，还要有较强的整体数学思维和逻辑意识。而双变量函数问题有着较强的综合性，它既是对导数相关内容的应用，又是对不等式内容的探讨。因此，双变量函数问题对学生的数学基础和数学思维有着较高的要求。笔者在本文通过结合自身的教学经验对双变量函数问题进行了深入的分析，并且对双变量函数习题进行了解析，希望能够对解决这类数学习题提供一些有价值的帮助。

双变量函数问题，是指某一函数的表达式在其定义域的范围之内除了有一个自变量以外，还含有一个未知的常数，求出该函数在其定义域范围之内的单调性，并且证明在某一个特殊点（极值点或者是零点等）恒成立的问题。

双变量函数问题常常会以压轴大题的形式出现在学生眼前，他们由于本身的数学基础不够扎实，数学解题经验不够丰富，而对这类型的函数习题产生了无从下手的感觉，甚至是产生出了放弃的想法。但是它所占的分值较大，对学生的整体高考数学成绩有着不可忽视的影响。因此，高中数学教师在实际的教学过程中可以对双变量函数问题的解题思路进行有条理的总结，并且对学生加强锻炼，以此促使学生可以轻松拿下该类型的数学习题。

双变量函数问题的解题思路可以分为两个部分进行总结：

第一部分，就是第一小问，往往都是讨论某一函数的单调性。先求出函数的导函数，并且将所求出的导函数进行化简和整理，使其转变成多项式乘积的形式。然后再令刚刚化简的导函数表达式等于零，求出其中未知数的值。最后，再在不同的区间对进行分类讨论，经过分类讨论之后，最终得到第一小问的最终答案。

第二部分，也就是第二小问。先利用函数在特殊点（极值点或者零点等）处的特殊数量关系，并且结合习题所给出的等式或者结论进行判断之后，得到和之间的数量关系，接着，再用所得出的结果，或者是用换元法替换得出另一个新的函数。然后，再对新得到的函数进行求导，并且讨论得出该函数的单调性，得到关于和这两者之间的不等式关系，即得到第二小问的最终答案。

需要注意的是，教师要向学生特别强调一点，双变量函数问题并不是一成不变的，所以学生在采取以上解题思路时，应该根据实际的习题将其进行灵活的改变，最终得到正确的答案。同时，教师也要注意为学生选择不同类型的双变量函数问题，有意识地培养学生形成更加灵活的双变量函数思维，这样可以有效避免学生形成思维定势，让学生在面对不同类型的双变量函数问题时，依然可以做到轻松自如。

例如，教师可以为学生选择历年的高考数学题：已知函数。①讨论的单调性;②若函数存在两个极值点，证明。

①解：先对函数求导，即，。接下来就需要分类讨论：当，函数单调递减;当时，函数在和时递减，在时单调递增。

②根据①可以得出，且。那么，将该式整理和变形之后就可以得到。所以题目中的式子就可以变成，。若是想要证明出，将其进行变形得到，那么就变成了只需要证明。假设，再次变形，我们就只需要证明出。而又因为，所以可以化简为。令。根据①可知，当时，单调递减，所以可以得出，所以成立，所以是成立的。

分析：这道高考数学题中的这两者之间存在的数量关系，所以可以通过换元法消掉其中的一个未知变量，使其变成一个一元的函数问题。而经过这样的转换之后，该问题的解决难度就会得到相应的降低，也就变得迎刃而解了。该类型的双变量函数问题最近经常出现，它不但考查了学生对基础数学知识的掌握程度，而且还考查了学生对数学思想的应用。总体来说，双变量函数问题的解题难度较大，对学生的整体有着较高的要求。

双变量函数问题最鲜明的一个特点就是有两个变量，而当这两个变量都发生改变的时候，学生往往不知道该将其中的哪一个变量看作是函数的自变量，这也就导致他们无法进行下一步的分析和思考。因此，高中数学教师要注意为学生总结更多的双变量函数问题解题思想，像改变“主变量”思想、指定“主变量”思想、化归为值域或者最值思想、整体代换思想等等。同时也要注意为学生选择相应的高考习题，让学生熟练应用双变量函数问题解题思想的同时，还能让学生提前接触和了解高考数学题。

综上所述，有效提高学生解决双变量函数问题的能力并不是一蹴而就的，而是一个漫长而又艰难的过程。因此，高中数学教师在实际的教学过程中要注意向学生讲解更多的解题思路，并且加强对他们的训练，使他们可以自主归纳和总结双变量函数问题的解题经验，以此促使学生的高考数学成绩可以得到更好的保证。

参考文献：

[1]陈天异.浅析高中数学解题中的整体思想[J].农家参谋，2017（23）：117.

[2]田研.以函数思想为主线的综合应用研究[J].科技风，2017（16）：17+37.

（河南省驻马店市西平县高级中学）