关于广义三周期Fibonacci序列的二项式系数和的恒等式

刘靖子喆,张文鹏

(西北大学数学学院,陕西 西安 710127)

1 引言

众所周知,Fibonacci序列{Fn}为

F0=0,F1=1,Fn=Fn−1+Fn−2(n≥2).

改变它的初始项,即得到Lucas序列{Ln}:

L0=2,L1=1,Ln=Ln−1+Ln−2(n≥2).

文献[1]研究了关于Fibonacci序列{Fn}和Lucas序列{Ln}的一些二项式系数和的恒等式.

文献 [2]考虑了关于双周期 Fibonacci序列和双周期 Lucas序列的一些二项式系数和的恒等式.文献[3]进一步研究了关于广义双周期Fibonacci序列和广义双周期Lucas序列的一些二项式系数和的恒等式.

因此,自然地希望得到关于广义三周期Fibonacci序列和广义三周期Lucas序列的二项式系数和的恒等式.设a,b,c,d都为实数.广义三周期Fibonacci序列{un}定义为

对应地,广义三周期Lucas序列{vn}表示为

矩阵方法对于研究Fibonacci序列的恒等式是非常有用的,如文献[4-5].它在本文的讨论中也起着重要的作用.

本文第二节构造了广义三周期Fibonacci序列{un}的通项公式.第三节中,在一定限制条件下,利用矩阵方法在给出一系列性质之后,得到了关于广义三周期Fibonacci序列和广义三周期Lucas序列的一些二项式系数和的恒等式.

2 广义三周期 Fibonacci序列的通项公式

在本节中,构造广义三周期Fibonacci序列的通项公式.

由文献[6]可知,广义三周期Fibonacci序列{un}的生成函数为

其中A=abc+ad+bd+cd.

定义

要求A2+4d30,即α,β是 x2+Ax−d3=0两个不同的根.有下列性质:

定理 2.1 广义三周期Fibonacci序列{un}的通项公式为

证明 对生成函数G(x)作部分分式分解,得到

计算幂级数展开式,G(x)可化为

其中

同理可得

和

结合(9)-(11)式,得到

因此得到(5)式.证毕.

用相同的方法,得到广义三周期Lucas序列{vn}的通项公式

3 关于广义三周期Fibonacci序列的二项式系数和的恒等式

首先注意到此时A=a2b+bd+2ad.

由 (4)式 α+β=−A,可知 α−β=2α+A,β−α=2β+A.则

引理 3.1 设非负整数m和n至少有一个被3整除,则有恒等式:

证明 仅给出(16)式中n=3k,m≡1(mod 3)的情形,其他情形方法相似,在此从略.当n=3k,m≡1(mod 3)时,

由(13)式得到

证毕.

对于任意正整数k,定义2×2矩阵

要求 a2+d0,确保了 u3k0.因此有如下引理:

引理 3.2 对于非负整数n,有

证明 使用数学归纳法.当n=1时,由(14)式知,显然成立.假设(18)式对于任意正整数n成立,只需证明(18)式对于n+1成立即可.由(15)式知,

因此(18)式对于n+1成立,证毕.

引理 3.3 设m,n和q为非负整数,且m和n被3整除.则

证明 对于n=3k,m=3p,q≡1(mod 3),有

对于q≡0(mod 3)和q≡2(mod 3)的情形,同理可证.

由引理3.3,直接得到

推论 3.1 设k为非负整数,整数t≥3k.则有

对于整数t≥3k,定义 2×2矩阵Pt为

由(20)-(22)式以及引理3.2,计算得到

由Cayley-Hamilton定理知,矩阵R3k的特征方程为

其中I为二阶单位矩阵.因此

引理 3.4 对于非负整数k,则有

证明 对于(26)式,由(14)式可知

对于(27)式,得到

由(4)式知,

结合(28)-(29)式,即得(27)式.证毕.

定理 3.1 设m,n和k为非负整数,则有如下矩阵恒等式:

证明 仅证明(31)式.其他三式方法相似,在此从略.由引理3.4和(25)式,得到

证毕.

定理 3.2 设m,n和k为非负整数,整数t≥3k.则下列二项式系数和的恒等式成立:

证明 同样仅证明(35)式.对(31)式进行二项式展开,有

对(38)式最后一个等号两端右乘矩阵Pt,左右两端所得矩阵右上角元素对应相等,再结合(15)式,得到

证毕.