Delannoy数与Schröder数的一些和式公式

谢丛晖,杨凤藻

(昆明理工大学理学院,云南 昆明 650500)

1 引言

19世纪末,法国数学家Henri Auguste Delannoy[1]介绍了Delannoy递归序列:

d(n,k)=d(n,k−1)+d(n−1,k−1)+d(n−1,k),

其中当n<0或k<0时,n和k为任意整数满足d(0,0)=1和d(i,j)=0.值得提及的是,d(n,k)有很好的组合解释,可表示从原点(0,0)到点(n,k)带有对角步的格路的总数.特别地,当n=k时,Dn=d(n,k)被称为第 n个 Delannoy数.事实上,Delannoy数可由如下生成函数定义[2]:

或由封闭公式计算如下[3]:

或由封闭公式计算为[3]

Delannoy数和Schröder数在组合数学中伴有重要的作用,许多学者对它们进行了深入的研究,得到了一些重要的性质[2-8].特别地,文献[3]研究了Delannoy数和Schröder数的同余性质,建立了它们与Euler数、Fermat商以及Legendre符号之间的一些深刻的联系.

和

A(m+1,k)=A(m,k−1)−(8k+2)A(m,k)+(4k+2)(4k+4)A(m,k+1);

B(m,k+1)是另一个序列数满足B(m,0)=0,B(m,m)=1,

B(m+1,k)=B(m,k−1)−(8k−2)B(m,k)+4k(4k+2)B(m,k+1).

进一步地,文献[10]刻画出(5)式与(6)式中A(m,k)和B(m,k+1)的准确表示,并得到了一些有趣的同余式.

显然,(2)式与 (4)式意味着Delannoy数和 Schröder数与Catalan数之间存在紧密的联系.鉴于文献[9-11],本文对Delannoy数和Schröder数做了进一步的研究,利用分析方法和组合技巧,建立了Delannoy数和Schröder数的如下和式公式.

定理 1.1 令m是一个正整数.则对于非负整数n,

对于正整数n,

定理 1.2 令m,n是非负整数.则

其中当j=0时,等式左边第二个和式等于1.

注 1.1 在公式(7)中取m=1和m=2分别给出了文献[2]中(1.3)式与(1.7)式关于 Delannoy数的封闭公式与和式公式.在公式 (9)中取 m=1可得文献 [4]中 (1.4)式关于 Schröder数的封闭公式.

2 定理1.1的证明

公式 (7)的第一种证明 由(1)式和Cauchy乘积可知,对于正整数m和非负整数n,

其中 f(n)(x)表示函数 f(x)关于 x的 n阶导数,Bn,k(x1,x2,···,xn−k+1)是部分 Bell多项式被定义为[12]

观察发现,对于非负整数k,

这意味着

将 (13)式应用到 (11)式中,有

注意到,(12)式表明

根据(14)式与(15)式,可得

于是,联立(10)式与(16)式,即得公式(7).

公式 (7)的第二种证明 清楚地,对于任意复数α,

因而,对于正整数m,

由于

故由二项式定理可知,(17)式可简化为

对(18)式关于t作n次求导,可得

于是,联立(10)式与(19)式,即得公式(7).

公式 (8)的证明 显然,对于正整数n,

因而,由熟知的Leibniz法则,可得

另一方面,根据Leibniz法则,(20)式的左边能被写成

联立(20)式与(21)式,有

这意味着

在(22)式左右两边分别取t=0,根据(10)式以及公式(7),可得

这便完成了公式(8)的证明.

3 定理1.2的证明

由于(3)式能被改写成

故在以上等式的左右两边作m次幂,有

对(23)式关于t作n+m次求导,可得

清楚地

易知

将(27)式应用到(26)式中,根据(25)式以及(15)式,可得

于是,联立(24)式与(28)式,即完成了定理1.2的证明.

4 结束语

本文利用分析方法和组合技巧,得到了任意多个Delannoy数和任意多个Schröder数乘积的一些和式公式.文中采用的方法可应用研究另一些著名的多项式序列,如,文献[13-15]考虑的Fibonacci多项式、Lucas多项式、Dickson多项式.作者将在今后的工作中,对这些多项式序列作进一步研究.

致谢

作者感谢何圆教授给予的指导和帮助.