数学抽象的水平层次分析

覃创

【摘要】数学抽象是数学核心素养的重要部分.本文通过梳理前人对数学抽象的研究，从认知发展的角度和认知神经学的角度来分析数学抽象，再结合《普通高中数学课程标准（2017年版）》和PISA理论，提出了数学抽象的五个水平层次.

【关键词】数学抽象;认知发展理论;认知神经科学;PISA理论

1 引 言

在核心素养推进的过程中，贡献最大的应当是经济合作与发展组织（OECD）.OECD对核心素养的研究起步早，参与人员多，代表性强.完整的逻辑体系有三年一次的国际学生评估项目（PISA）调查检验，其科学性、合理性得到普遍认同.数学抽象素养是数学核心素养的六大素养之一，数学核心素养又是数学素养的核心要素，因此我们想要理清数学抽象素养得从数学素养谈起.1956年10月的《数学通报》所刊登的苏联文献译稿中就出现了数学素养一词，这一词首次出现在我国教育大纲里是1992年颁布实施的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》.数学素养的界定历程由一维走向多维因素共同决定.目前，数学素养已发展为学生德智体美劳全面发展的综合素质，是个体、数学、社会生活等方面的综合体.在数据互通、资源共享的时代背景下，越来越多国家认可数学素养是公民众多综合素养之一.我国教育部于2014年3月印发的《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》提出：核心素养体系的概念和明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，数学核心素养是以此为依据，结合数学学科特点而形成的.数学核心素养是以数学课程为载体的，是数学素养的核心要素，具有可操作，可测量，可评价的特征.2017年12月中华人民共和国教育部制定颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》（下称《课标（2017年版）》）明确提出了六大数学核心素养，并从内涵、价值、表现三方面描述了六个数学核心素养.美国著名数学史家、数学教育家M·克莱因曾说：“数学概念的产生离不开抽象，正是对数学的抽象性和演绎法的坚持造就了今日的数学体系.”数学抽象是对问题情境中的数量关系与空间形式进行抽象，从而得到数学研究对象的思维抽象过程，反映了数学的基本思想和数学的本质特征.数学抽象也是学生在学习活动中必须具备的一种思维品质，该思维品质在学生学习数学的过程中起着重要的基础性作用.《课标（2017年版）》将数学抽象看成是学生必备的一种素养，更突出了数学抽象的重要性.数学抽象如此重要，那怎样来衡量数学抽象的抽象层次呢？因此，本文从认知发展的角度和认知神经学的角度来分析数学抽象，再结合《课标（2017年版）》和PISA理论，研究数学抽象的水平层次.

2 从认知发展的角度来认识数学抽象

认知发展是个体在适应环境的过程中对事物的认知及面对问题情境的思维方式和表现能力.认知发展理论在皮亚杰的认知理论中主要体现在认知结构发展的形式运算阶段，学生的思维已经摆脱了具体事物的束缚，可区分形式与内容，能用符号演算命题，能根据假设进行逻辑推理.皮亚杰还从认知发展论的角度描述抽象水平概念的投射和反射机制.数学抽象的水平层次由低到高分为5个水平层次，依次是经验抽象、伪经验抽象、反省抽象、再反省抽象及元反省抽象.经验抽象是凭借主体经验从客体中抽取信息，在整个抽象活动中是最简单、最基础的抽象;伪经验抽象是抽取出来的客体属性对主体属性有所影响的时候，以这些属性为对象的抽象活动;反省抽象是从低层次抽取出来的内容投射到高层次上，在高层次上进行重新组织与建构;再反省抽象即对反省进行反省，使之能够明确意识到操作中的协调，能对结果进行明确的形式化;元反省抽象是对再反省抽象的产物的反省，它不仅能够直接获取问题间的结构，还能将提取到的结构概括到不同情境中去，这一抽象只有在个体发展到形式运算阶段才能具备.学生进入高中后，思维已从具体思维发展到抽象思维，且得到了相当大的发展，可根据命题结构、模型关系、演绎方式等解决问题.因此，这一时期是学生智力发展的质变时期，也是数学抽象素养发展的关键时期.

3 从认知神经学的角度来认识数学抽象

如何评定教育对象的心理素质和特征，直到今日还主要是教育家们的经验之谈，缺乏系统的科学基础.脑的认知功能包括知觉、注意、记忆、语言和思维以及智能和意识等心理过程.若将认知心理学和神经科学成果用于人脑认知功能的研究，可形成認知神经科学.认知神经科学的研究目的在于阐明认知活动的脑机制，即人类大脑如何调用其分子、细胞、脑组织等组件去实现各种认知活动.在我国，认知神经科学的总体定位是以高级认知功能发展变化为主，以学习和脑的可塑性为核心问题，围绕学习的一般规律和机制以及特殊领域学习的认知与脑机制开展认知神经科学研究，为我国基于脑科学的教育质量的提升、人力资源的开发和认知障碍的矫治等提供依据，从而促进儿童、青少年的智力和心理健康发展，提升我国人民素质和综合国力.从认知神经学的角度来认识数学抽象就是数学抽象认知活动中的脑机制反应.大脑对数学抽象的第一层是视网膜神经元传递视觉信息，不同神经信号从不同的树突传入细胞体，由细胞体进行选择性整合，选择性整合得到最初的抽象信息;大脑对数学抽象的第二层是细胞集群的同步激活扩散，具有相似功能的神经元聚集成柱状结构，与其他神经元区分开来;大脑对数学抽象的第三层是信息传递在不同的皮质区上对不同对象特征进行反应，构建起相互间的联系;大脑对数学抽象的第四层是神经信息的选择性整体扩散，发生在不同皮质区的联系，从而将其要素关系推广到一般.

4 数学抽象的水平层次分析

PISA已在2003年和2012年以数学素养作为主要测评对象，PISA2021年将再次以数学素养为主要测评对象，且在2019年5月公布了数学素养的测评框架，框架总体上没有重大变化，但在内涵 、建构等方面做了适当调整，总体展现出时代发展的特色和社会发展需求.PISA的测试量表可将学生的精熟度划分为6个等级水平;在考查上注重学生的主观性，测评将知识作为理解数学本质的手段，将实际问题抽象成数学问题，衡量学生解决实际问题的过程，操作起来完整性强、目标突出、具有较好的可操作性.《普通高中数学课程标准（2017年版）》对数学抽象的阐述：数学抽象是对数量关系和空间形式的抽象，从而得到数学研究对象的素养，并将抽象水平进行了层次划分，体现出数学抽象不仅是一种能力更是将其作为一种素养来看待，但说服力不强.由此，数学抽象的水平层次是从人们普遍认可的皮亚杰认知论和科学的认知神经科学入手，借鉴PISA数学素养和《课标（2017年版）》对数学抽象的描述，通过学习迁移得出的.

水平一 数学抽象的第一个层次为感知.感知就是能在熟悉的情景中了解抽象的数学问题，了解命题条件、结论及数学语言的表达，可称为感知层次.这在认知论中就是主体在客体中感知提取信息，由以往经验获得问题的基本信息，属于认知论中的经验抽象;从认知神经科学来看就是视网膜神经元传递情境里的视觉信息，将不同神经信号从不同的树突传入细胞体，经细胞体进行选择性整合后得到最初的条件、结论等信息.

水平二 数学抽象的第二个层次为显现.从认知神经科学来看数学抽象的显现水平，就是感知阶段得到的最初信息促使细胞集群的同步激活扩散，使具有相似功能的神经元聚集成柱状结构来区分其他神经元，显示出与其他神经元的不同，在认知发展论中显现就是抽取出来的客体对主体影响时所表现出来的特定属性抽象活动，可看作显现层次.显现就是数学抽象对具体情境、问题的初步表现形式，具体表现有：用恰当例子解释简单数学命题，理解命题条件和结论，展现数学思想方法，进行简单数学运算，抽象数学结构等.

水平三 数学抽象的第三个层次为联系.这一层次是在关联情景中抽象出一般数学概念和规律，构建相关知识间的联系和数学知识体系，可运用数学语言進行表达、推理和论证，可称联系层次.对应在认知神经科学中就是信息传递在大脑不同皮质区上对不同对象特征做出的反应，由不同抽象特征建立起相互间的联系;认知发生论可将数学抽象的联系层次看成是由低层次抽取出来的内容投射到高层次，在高层次上进行组织与建构，促进相互联系.

水平四 数学抽象的第四个层次为整合.这一层次的抽象可称为整合层次，整合从字面上看是把不同类型、不同性质的事物组合在一起，使它们成为一个整体.数学抽象的整合层次是运用数学语言表征抽象出综合情景中的数学问题，然后提炼出一类问题的通性通法及表达出问题所蕴含的思想，从而使得数学抽象能够明确地意识到操作中的协调关系，能将结果进行明确的形式化.其在认知神经科学中就是神经元信号有选择性整体扩张，形成不同皮质区的联系，从而将其各要素关系推广到一般.由此，数学抽象的整合层次为数学抽象形成系统结构，是数学思想方法、系统结构、语言表征等要素的整合.

水平五 数学抽象的第五个层次为反馈.这一层次是在复杂情景中运用数学原理解决问题，认知具体现象、表达自然对象和社会现象，可称为反馈层次.上面四个层次得到数学抽象的四个基本操作步骤，抽象后需要从理论的高度来分析问题和深化问题，使问题本身的意义得到拓展和延伸，还有抽象结果需要应用于社会解决复杂问题，解释自然现象和社会现象，促使数学抽象得到进一步提升，这就体现出数学抽象在现实生活中的研究价值.其在认知发展理论中就是抽象产物的反省思维.反馈不仅能够获得问题之间的结构，还需将提取到的结构概括到不同情境中去.

5 总结

此研究借鉴前人的理论、国际学生评估项目和《课标（2017年版）》中对数学抽象的描述，通过对数学抽象过程的分析，得到数学抽象的5个水平层次，具体为：感知层：能在熟悉的情景中了解抽象的数学问题，了解命题条件、结论及数学语言的表达;显现层：是数学抽象对具体情境、问题的初步表现形式，如用恰当例子解释简单数学命题，展现数学思想方法，进行简单数学运算，抽象数学结构等;联系层：在关联情景中抽象出一般数学概念和规律，构建相关知识间的联系和数学知识体系，可运用数学语言进行表达、推理和论证;整合层：运用数学语言表征抽象出综合情景中的数学问题，能提炼出一类问题的通性通法及表达出问题所蕴含的思想;反馈层：在复杂情景中，运用数学原理解决问题，认知具体现象、表达自然对象和社会现象.前四个层次完成了某一具体数学抽象过程，但抽象之后需要从理论的高度来分析问题、深化问题，使问题本身的意义得到拓展和延伸，这就体现出了反馈这一层次.总之，这一数学抽象思维水平层次，有利于衡量学生数学抽象状况，结合其可设计有针对性的教育教学活动，从而培养学生的数学抽象能力，提高学生的数学抽象素养.