基于高考课标卷谈数学抽象对学生素养培养的重要性

刘连桥

摘 要：数学素养在数学学习中至关重要，是当代学生最基本的素养。如何理解并提高数学抽象这一数学核心素养，高考如何实现数学抽象这一核心素养的考查。本文对2015和2016年的高考数学新课标题目进行分析，浅谈数学抽象在高考试题中的考查形式，并分析数学抽象对学生素养培养的重要性。

关键词：数学抽象；核心素养；素养培养；数学新课标

一、 数学抽象的内涵

通常所说的抽象，是指在认识事物的过程中，舍去事物个别非本质的属性，进而抽取出本质属性的过程和方法。数学抽象是指通过分析、观察、研究，抛开事物偶然的、外部的、表象的东西，抽取事物最本质、最内在、最必然的东西，从数量关系和空间形式上揭露事情的本质和客观规律的一种具体的数学研究方法。通常，数学抽象中具有以下具体表现：首先，形成具体的数学概念和相应规则；其次，形成具体的命题和相应模型；最后，形成确切的数学方法具体思想。

二、 处于核心素养地位的数学抽象

教授鲍建生曾在文章中写道，高中数学课程的修订聚焦数学的核心素养问题上来，当前我国的数学教育主要针对三大能力以及四基四能最后到核心素养培养；同时其指出青年学生培养数学抽象有利于把握高中数学的重难点，有利于培养更进一步的数学能力，提高对数学问题的研究和分析能力，进而加深对数学抽象的理解和掌握。史宁中教授在数学抽象上也有自己的深刻见解，该教授曾作为义务教育课程标准的修订组长，其看法直接影响高中数学课程的修订标准，同时史老还提出了抽象是将数学知识导入数学内部、推理促使数学内部发展、模型沟通数学与外部的联系等一系列重要思想。

三、 数学抽象在高考题目中的考查

数学抽象贯穿在数学的产生、发展和应用过程中，是数学的基本思想，反映了数学的本质特征，是形成理性思维的重要基础。近年来，高考题目中对数学抽象考查屡见不鲜，要求考生牢固掌握“三基”，认识数学的学科价值和人文价值，掌握数学知识与技能，形成数学能力，能从数学的角度用数学的方法认识问题、分析问题、解决问题。笔者为准确分析数学抽象在高考题目中的考查形式以及考查方向，选取了2015和2016年的全国高考课标卷试题进行分析和总结。期望广大考生能够更好的理解数学的概念、命题、方法和体系，理解学科的知识结构和本质特征，形成举一反三的能力，加强数学抽象核心素养的培养，建立良好的数学抽象能力，理解知识的本质和发展规律。

四、 基于数学抽象的技能素养考查

高考课标明确指出，数学课程必须重视运算，具有作图、分析、推理以及处理数据等能力。其中技能素养是通过基本技能的训练、总结，进而慢慢形成的一种数学思维方式。要求考生注意掌握必备知识，挖掘数学思想，培养核心素养，专注典型试题的研究。

【评析】 例1的第（Ⅰ）问是求该数列的通项公式，考查数列的基本定理、初等数列的求解公式以及数列的基本运算能力和推理能力，其从侧面考查了数学抽象在数列中的运用。第（Ⅱ）问是考查裂项相消法的运用，学生需要精通数列求解，能根据每项的前后抵消原理，求出{bn}的前n项和，该过程要求学生具有较高的计算能力和求解能力。

《考试大纲》指出，高考试题在考查目标要注重必备知识、关键能力、学科素养、核心价值的考查。对数学抽象技能素养的考查可以有效考查学生的推理判断能力以及求解计算能力，对考生的数学关键能力提出了较高的要求，凸显数学学科价值。由此可以看出近年来数学抽象的培养对学生素养的培养是十分重要的，不仅时时刻刻出现在高考题，还需要学生能够熟练掌握，因此加强学生的素养培养显得格外重要，随着未来高考招生的变革，要求考生具备更高的学科素养和学科能力，在今后的学习中对数学核心素养的培养还需更上一层楼。

五、 基于数学抽象的思维素养考查

核心素养是对学生进行数学思维和语言的教育，使学生能运用数学的思维和语言进行阅读、运算、推理和表达。思维素养是在学习数学知识和数学技能的过程中日积月累而形成的，它解决问题的策略更加明确。思维素养的培养主要体现在解决问题的途径、解决问题的方式以及分析问题等方面，高考课标也明文规定，思维素养要从深刻性、灵活性、创造性、广阔性等四个方面进行考查。

【例2】 （2015新课标Ⅰ理数20）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=x24与直线l：y=kx+a（a>0）交于M，N两点。

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？并说明理由。

【评析】 例2的第（Ⅰ）问主要是给定具体的斜率，求抛物线的切线，该题是考查学生的计算能力，同时需要运用直线的基本方程以及抛物线的基本形式和定义。第（Ⅱ）问是求动点问题，需要考生具有很强的推理判断能力和想象能力。动点问题是高考经常考查的题目，需要加深对数学抽象的理解。对高考考生而言，深入研究才能适应当前的高考题目形式，不仅需要明白数学抽象在类似的题目中的考查形式，还需要了解数学抽象在此类题目中的应用范围。

六、 基于數学抽象的知识素养考查

发挥数学内在的力量，做好数学教育的分内事，这是培养学生核心素养的必由之路。用数学的眼光观察世界，数学的思维分析世界，数学的语言表达世界，数学的知识素养是数学抽象培养的核心载体。知识素养主要包含知识系统内和知识系统外的知识。中学阶段的知识主要是基于课本的概念、定理、公式、推论等规律性知识，外在知识包括学生自己在学习过程中自己发现的知识，与书本知识形成互补，从而提高学生的知识素养，促进学生的全面发展。

【例3】 （2015新课标Ⅱ理数6）正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分的体积和剩余部分体积的比值是（）

A. 18B. 17C. 16D. 15

【评析】 本题目是新课标全国卷Ⅱ的一道选择题，通常数学抽象在选择题目中的考查形式多半以考查想象能力为主，表现为考查空间想象和平面想象，该题结合了立体几何的知识，考查考生对体积的理解和掌握。首先，数学抽象在此题得到了巨大的体现；其次，正方体的计算公式，三棱锥的计算公式会在此题中同时被使用，因此该题目的迁移很广，需要学生有很强的迁移能力、计算能力以及空间想象能力。

七、 基于数学抽象的迁移素养考查

数学抽象往往表现出以下特点：在认识问题时，能将已有的严格的数学概念、知识等广义化，用于认识和解决数学实际问题，具有普遍迁移，广泛辐射的功能，即要求具备知识迁移能力，注重迁移素养的培养。迁移能力是知识素养和思维素养的集中体现。学生将所学到的知识以及思维从某个场景迁移到另外的场景，是建立在一定的知识结构和思维上的，高考考纲也规定，学生需具备举一反三的能力，也就是能将所学的方法迁移至学习生活中的领域。

【例4】 （2016新课标Ⅰ理数17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c。

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c=7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长。

【评析】 三角函数和解三角形一直以来都是高考的重点。本题第（Ⅰ）小问很严谨，考生需要具备十分扎实的知识功底和运算能力，要求考生有全局觀，方可完整解出此题。第（Ⅱ）个小问主要考查解三角形和三角函数的联系，考生需要分析该题目的内在联系和外在联系，通过内在联系和外在联系相结合，从而解决该题。解出第（Ⅱ）个小问更需要一些观察能力和判断能力以及一定的逻辑思维，解决该问题具备较高的计算能力是前提。根据上述分析，近年全国卷的趋势完全向数学抽象靠拢，而且呈上升趋势，同时在考试中的比重占得比较大，因此在目前的高考形势下，学生必须具备高水平的数学素养才能适应当今的政策和形势。所以，数学抽象对学生素养的培养显得相当重要。

八、 基于数学抽象的运算素养考查

运算求解能力是数学素养的必备能力，运算素养是数学抽象中最重要的素养，是数学抽象整体素养的集中体现，拥有良好的运算素养是做题乃至高考中最为关键的一步，即便具备任何素养，但是运算素养不过关，那也是不合格，可以说最终的高考会功败垂成。因此，良好的运算素养是十分重要的，要求广大考生明晰运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，回归本质，固本守正，守正出新。

【例5】 （2016新课标Ⅰ理数20）设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于E。

（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出E的轨迹方程。

（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过点B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。

【评析】 该题第（Ⅰ）个问主要考查定值问题，解此题需要具备良好的运算能力，以及具备一定的迁移能力。然而第（Ⅱ）小问就相对困难，要求考生具备非常高的运算能力和推理能力，其中运算量十分庞大，考生需要具备一定的耐心才能完整解出此题。

以“例题讲解+模仿练习”的方式让学生“不断重复昨天的故事”，其结果是挫伤学生的数学积极性，事倍功半，影响学生的数学学习兴趣和自信心，培养学生核心素养就成为一句空话。高考对于数学抽象的考查越来越频繁，对运算求解能力提出更高的要求，为适应当前的高考形势，培养和发展运算素养势在必行。注重通性通法的研究，普及算理，优化算法，让学生正确理解数学知识，用数学知识合理解释直至创造性地解决问题。

九、 结束语

数学素养是数学课程目标的集中体现，基于对近两年高考试题中数学抽象的考查形式进行分析，不难发现对数学抽象的考查，考查形式多种化，考查内容丰富化，因此，对于广大考生而言，想提高自己的数学成绩，必须着实提高自身素养的培养，只有将自身的数学素养提高，才能跟上或者赶超高考时代的步伐，在考场上发挥出自己应有的水准，取得令自己满意的高考数学成绩。同时，也要求广大数学教育工作者改变课堂教学方式，拓宽学生思维空间，将课堂从知识转向能力，从能力转向素养。

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