从实验视角引导学生认知数学抽象

常国良

摘要：本文从亲身实践的角度对抽象的高中数学知识感、悟、学，从基于感性的学习到基于理性的思考，将数学抽象如何形成的过程在课堂教学中层层展现，体现核心素养在一线教学实践中如何落地。

关键词：核心素养 数学抽象 数学实验 不等式 图形计算器

新一轮《普通高中课程标准》于2016年10月递交了内部讨论稿，明确规定了新的课程目标和数学核心素养，其中“数学抽象”位居六大核心素养之首。可以这么说，数学的抽象性是困扰学生数学学习的最大障碍，这与高中数学形式化程度较高有直接关联。抽象知识怎么学？数学抽象素养怎么培养？只有通过反复解题才能获得吗？华师大张奠宙教授站在系统的高度告诫我们：好的教师在于引导学生如何将教材中冰冷的、线性的知识用火热的思考、亲身的实践来获得。人民教育出版社章建跃博士也说：数学抽象部分可以借助实验、信息技术等方式，让学生获得更好的形象感知。

一、基于数学性质的研究

中学数学有很多概念和性质，学生对其的理解往往是基于纯粹形式化的证明，这种方式有严密性，但是感知度不足。数学性质往往有深刻的生活背景或物理形态的载体，性质理解是否深刻，记忆能否牢固，与学生是否亲身参与性质的探讨有很大的关联。这里所谈及的数学性质是具有重要的意义和地位，并非解题经验之类，而是影响某一知识层面的数学性质。其具有下列特点：第一，是某一知识层面的核心，具备了多种知识在此处交汇；第二，性质镶嵌在一定的物理形态的背景中，可以借助实验获得抽象；第三，性质的解决涉及到观察、推理、收集信息、整理信息、分析信息等一系列理解问题、分析问题、解决问题的知识和技能；第四，性质的研究需要注重思维的启发、抽象能力的培养，实验手段的使用满足了这一要求。由此可见，基于实验手段的数学性质的研究可以成为数学抽象素养培养的一个新方式。

师：用滑动变阻器、灯泡等物理器件搭建一個电路回路。

（每四人为一学习组，搭建电路实景图，并拉动滑块进行观察。）

生1：缓慢拉动滑动变阻器上的滑块，我发现灯泡的亮度从最明亮到最暗淡，最后又变成最明亮。

师：大家都观察到类似的实验现象，那意味着电路中实际电阻值怎样变化呢？

生2：整个电路回路中实际电阻值的大小变化是：小——大——小。

师：结合物理相关知识思考，这是一个什么电路？如何计算电路中的实际电阻值？

二、基于数学探究的学习

数学探究是新课程标志性的热门词语，但是一线教师真正引导学生做数学探究的少之又少，而那些让学生记忆深刻、培养数学抽象能力的探究几乎没有。伪探究我们见了不少，但是真正做探究是如何做呢？首先，教师须要明白什么是探究。美国国家教育科学标准中对探究的定义是：探究是多层次、多方面的活动，包括观察、提出问题（通过查询资料发现已知结论，指定调查研究计划）；用多元的手段收集数据、分析调研数据、提出恰当猜想；对研究初步结果进行交流。在美国国家科学教育标准中，基于教学的探究有下列用法（节选）：第一，基于探究的教学：科学性教学的核心策略是积极思考对于学生真实探究所出现的反馈和问题。第二，基于探究的学习：从学生角度来说，探究的含义也可以是学习过程。美国国家课程教育标准指出，探究包含一种积极的学习过程——“学生去做的事，而不是为他们做好那些事”。用建构主义的话来说，探究要让学生思考我该怎么做，为什么这么做，甚至是做什么，区别以往被动接受教师要求学生做，甚至是教师制定大量数学性质、结论要求学生记忆。

因此，探究性学习是以科学研究的过程来类似做学习研究，从而在掌握知识的同时，体验、理解、思索科学研究的方式方法，掌握问题研究一般规律的方式。这种研究对于提高学生数学兴趣、培养其数学素养有着重要的作用，也特别可以用感性的研究去理解一些抽象的数学知识。

例2：几何概型等可能的研究

辨析：这是学生给出的不同的解法。造成不同结果的原因是什么？经过辨析，学生普遍认为第二种解法存在问题，但是错误的原因在哪里？数学表象的背后如何阐述抽象错误的原因？本题的本意是要求两直角边x、y是（0，1）区间内的随机数，从而点落在正方形区域内任一点处都是等可能的；解法2的同学出于好心将问题进行了简化运算，其一一对应的变换是令m=x2，n=y2，恰恰在此有可能出现了问题。为了阐述这种变换是否等可能，我们可以利用Excel VBA检验。步骤如下：

（1）第一列记为横坐标x，选中A1格，利用Excel自带函数Rand，填写为Rand（0，1），自动产生一个随机数，按住右下角拖动至A3000，产生3000个随机数；同理：第二列记为纵坐标，选中B1格，产生3000个随机数；

（2）第三列记为横坐标x2，选中C1格，计算“=A1*A1”，按住右下角拖动至A3000，产生3000个随机数；同理：第四列记为纵坐标y2，选中D1格，计算3000个随机数；

（3）选中A、B两列，插入—图表—散点图，得到（x，y）均匀分布于图4；

（4）选中C、D两列，插入—图表—散点图，得到（x2，y2）非均匀分布于图5。

思考：实验探究表明，一一对应变换并不能保证变量的等可能性。其实从函数角度也非常好理解，非线性函数的自变量与函数值并不是等价变化的，统计学中线性相关说的正是这个道理。以信息辅助为手段，将变量间抽象的转换关系以具体的散点图展示出来，深刻理解了线性相关下几何概型的等可能具备传递性，而非线性变换由于变换曲率的不同，自然无法达到随心所欲的变换。实验教学将这种变换间的数学抽象表露无遗，促进了学生的思考和理解，增加了学习的兴趣。

三、基于碎片化时间的技术

随着网络的不断发展，现代教学中微视频教学、云端微资源的利用、微型化app的使用都不断渗透到教学中。以微视频、微博等典型的“微元素”方式促进了“微时代”的迅速发展，“微”已经置身于生活各个领域，从教学角度来说，微课程、微视频、微课、微系统等等，占领了教学的碎片化时间，大大提高了学习的效率、开拓了教学的资源。

高中数学教学可以利用碎片化时间，结合现代信息技术，在短时内进行一定的数学问题实践，在微型设备（如手机、平板、图形计算器等）等利用相关app进行数学实践或实验，从技术的手段思考数学问题的抽象性。笔者常常以HP公司的图形计算器为技术工具（或者图形计算器的app），在碎片化时间内寻求数学抽象素养的培养。

例3：复合函数单调性的研究

复合函数单调性的研究是一个难点，日常教学中更多是依赖形式化分析、理论证明，学生对于复合函数的直观感受比较缺失，我们可以借助现代信息技术，选择函数模型，利用图形计算器实验、对比、分析，获得更多的感性认知，进而思考复合函数单调性的变换。

（1）打开图形计算器界面，选择APP“函数”；

（2）在编辑函数界面，选择基本初等函数（即需要复合的函数）（图6）；

（3）选择相应的基本初等函数进行复合（图7）思索初等函数图象以及复合函数图象变化，作图、归纳结论，并可以利用单调性定义对其进行理论性论证。

思考：对于一些一开始无法直观判断的复合函數单调性，可以通过多次实验观察，结合数学论证培养学生的复合函数单调性的抽象思维。在此教师也可以仅仅提供一个问题，让学生主动去探索问题，培养学生将自己面对的问题归类、数学实验并验证的习惯，也可以更进一步让学生通过技术手段主动复合不同的函数，提供多元的思考方向，为后续理论论证提供感性支撑。

参考文献

[1] Linda Torp等.基于问题的学习[M].刘孝群，李小平，译.北京：中国轻工业出版社，2004.

[2] 常亚慧，等.技术型构的教师行动——基于S省5所中学理科教师TPACK调查分析[J].教育研究与实验，2015（4）.

[3] 刘薇.不等关系与不等式课例与启示[J].数学教学，2012（2）.

[4] 张元双.学会 会学 会用——师生教与学三境界的共同追求[J].课程教材教法，2015（12）.

【责任编辑 郭振玲】