巧用微专题，提高复习效率

包秋燕

[摘  要] 为弥补传统数学中考复习的缺陷，笔者尝试针对学生的疑难点、中考考查的重难点与高频考点等，采取穿插微专题的复习模式，取得了不错的教学效果. 文章以“与圆有关的最值问题”为例，介绍微专题教学实践以及对此的思考.

[关键词] 微专题;数学思维能力;复习效率

初三综合复习传统模式是：一轮复习按照章节复习，重在基础知识与方法的落实;二轮复习按照专题复习，重在思维能力的提升;三轮复习做各地中考模拟卷……这样地毯式的复习，由于知识量过大，使得学生对知识点的掌握不到位，二轮复习过后很多学生解决问题能力的提升会出现瓶颈. 基于此，笔者尝试在中考复习中，针对学生存在的问题、中考考查的重难点与高频考点等，采取穿插微专题的复习模式. 微专题复习模式，以大化小，能弥补传统复习中的不足与缺陷.

“圆”是初中几何的重要组成部分，中考会直接考查与圆相关的知识，且涉及圆的考题一般属于中等偏难的题目. 近些年，中考压轴题还出现了用隐形圆求最值的试题. 这类试题往往和对称、翻折、旋转等知识相结合，以提高难度等级. 要解决这类试题，还需要用到全等三角形、相似三角形、三角函数等知识，综合性比较强，需要学生具备扎实的基础及良好的思维能力. 因此，笔者在中考复习过程中加入了微专题“与圆有关的最值问题”，来提高学生解决问题的能力.

微专题设计的缘起——从学情

出发

与圆有关的最值问题一般属于压轴题，有些学生每次碰到此类题都无从下手;即使教师做了提示，动手再做还是会错. 原因是学生的思维起点和解题需求之间在知识、方法、能力方面存在差距，学生不知道与圆有关的最值问题考查的知识点是什么，考查的本质是什么，是否有方法可循……所以教师的任务就是要弥补学生的这些缺失.

这节微专题伊始，笔者首先给出了如下问题情境：

如图1所示，P是☉O外一点，点P到圆上任意一点的最小距离是线段______的长， 最大距离是线段______的长.

接着，笔者给出了如下探究问题：

如图2所示，在☉O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC，试证明PA<PC<PB.

【教学片段1】

师：在解决最值问题前，我们先看看图1的特殊情况怎么解答.

生1：最小距离是线段PA的长，最大距离是线段PB的长.

师：那如何说明呢？我们可以借助探究问题来完成.

生2：利用△OCP的三边关系，得PO-OC<PC<PO+OC，又OA=OB=OC，所以PA<PC<PB.

师：综上我们可得“圆外一定点到圆上一动点距离的最大值是圆心到定点的距离加半径，最小值是圆心到定点的距离减半径”. 这可以作为基本模型使用.

以上问题设计，笔者从学生的认识基础出发，复习最基础却又最核心的知识，帮助学生做好知识上的厘清、深化，让学生不但知其然，更知其所以然，对这类题有更加深入的认识，从而建立基本模型，更好地解决问题.

为了让学生更直接地体会该模型在求解此类最值问题中的运用，笔者还设计了以下练习加以巩固.

（直接运用）

（1）如图3所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上一动点，连接AP，则AP的最小值是______.

（2）如图4所示，在边长为1的正方形ABCD中，以点A为圆心、1为半径作，将一块直角三角板的直角顶点P放置在（不包括端点B，D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC相交于点Q，连接PC，则△CPQ周长的最小值为______.

（3）如图5所示，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（0，1+t），C（0，1-t）（t>0），点P在以点D（3，3）为圆心、1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最大值是______.

学生解决这些问题时，笔者提出了一系列的问题.

问题1：试题是否符合“圆外一定点到圆上一动点的距离最值”模型？

问题2：利用此模型解题时，应主要抓住“圆外一定点，圆上一动点”，解题前应分别找出来.

问题3：若不能直接应用模型，可以如何轉化？

基于前面基础知识的复习，在教师的引导下，学生能够运用模型轻松地解决以上三题. 教师的教学任务主要是通过提问引导学生自己生成解决此类问题的基本思路，并能用准确的数学语言进行描述.

微专题设计的深入——向难点

拓展

前面的微专题设计，帮助学生解决了简单的与圆有关的最值问题. 可是，在实际的解题过程中，更多的最值问题往往需要用圆的知识来解决，却不直接出现圆. 那么，如何判断其是否是与圆有关的最值问题呢？这才是学生感到棘手的地方，也是使此微专题设计向纵深发展，取得更大教学效果的关键. 在教学实践中，笔者分了三种类型，与学生就此问题进行深入探讨.

1. 类型1：找定长

（1）如图6所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上一动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是______.

（2）如图7所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折，得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是______.

【教学片段2，第（1）题的讲解】

师：读题后我们知道A是定点，B′是动点，所以找到点B′的运动轨迹是关键. 大家思考一下，在翻折的过程中哪条线段的长度始终不变.

生1：在翻折的过程中，CB′的长度始终不变，CB′=CB=3.

师：此时你能得出点B′的运动轨迹吗？

生1：点B′在以点C为圆心、CB的长为半径的圆上运动.

师：现在，问题可以转化为今天讨论的最值模型了吗？请大家直接说出结果.

生（齐）：B′A的最小值为AC-3=1.

（第（2）题的解题方法与第（1）题雷同，笔者让学生自己解决）

在中考中，翻折是常考的知识点. 上述试题属于翻折与最值相结合的试题，学生通过分析，得出了解题思路：根据翻折的特点，从动态问题中找到定长，再利用圆的定义“到定点的距离等于定长”构造辅助圆，从而转化为基本模型进行求解.

2. 类型2：找定角

（1）如图8所示，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內部一动点，且满足∠PAB+∠PBA=90°，连接CP，则CP的长的最小值为______.

（2）如图9所示，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H. 若正方形ABCD的边长为2，则线段DH的长的最小值是______.

【教学片段3，第（1）题的讲解】

师：根据题目所给的角度关系，你能求出哪个角？

生1：因为∠PAB+∠PBA=90°，所以∠APB=90°.

师：我们发现，当点P在运动的过程中，始终保持∠APB=90°，又A，B为定点，所以点P的运动轨迹是什么？

生2：点P在以AB为直径的圆上运动.

师：接下来就可以利用模型解决问题了. 画出图形，你们能直接说出答案吗？

生3：画出辅助圆如图10所示，线段CP的长的最小值为CO-OP=5-3=2.

学生在解决第（2）题的过程中会出现问题，所以笔者在课堂上做了以下引导：首先根据正方形的特征以及已知条件，发现全等，并找出AG与BE的位置关系;其次，要求出DH的最小值，需要找到定点、动点;再次，目标是找到动点的运动轨迹; 最后确定DH的长的最小值.

这类题的解题关键是通过对几何图形的分析，从动态图形中找出不变的量. 此时一般题中有不变的角，于是可引导学生利用“定弦对定角确定动点的运动轨迹是圆”这一解题方法，找出题中的隐形圆，从而将问题转换为利用基本模型来解决.

3. 类型3：综合应用

（1）对称类求最值

如图11所示，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别为AD，DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为______.

（2）旋转类求最值

①如图12所示，正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心、1为半径作圆，E是☉A上任意一点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°后得到DF，连接AF，则线段AF的长的最小值为______.

②如图13所示，点O在线段AB上，OA=1，OB=2，以点O为圆心、OA长为半径的圆为☉O，在☉O上取动点P，以PB为一边作△PBC，使∠PBC=90°，tan∠PCB=，P，B，C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC的取值范围为______.

上述三题都是与图形变换相结合求最值的试题，这类题涉及的知识点较多，思维能力要求较高，此时教师的教学任务是有效地引导学生，助其发现突破口. 下面以旋转类第②题为例进行教学阐述.

【教学片段4】

师：要求AC的取值范围，也就是求什么？

生1：求AC的最大值和最小值.

师：我们发现，点A是定点，点C是动点，所以找到点C的运动轨迹是关键. （提醒）点C是随着点P的运动而运动的，又点P在圆上，那点C是否也在圆上运动？大家可以互相讨论.

（学生开始讨论）

生2：点C可以看作是由点P绕着点B旋转90°后得到的，由旋转想到大致是将☉O旋转90°后得到点C的运动轨迹.

生3：过点B作BM⊥AB，那么点C运动轨迹的圆心应该在BM上.

师：大家说得很好，那么圆心M应该如何确定呢？注意条件tan∠PCB=的应用.

生4：根据tan∠PCB=，得=，那么只要保证=就行了.

师：下面大家动手尝试.

生5：如图14所示，作BM⊥AB，使得BM=2OB=4，连接OP，AM，CM，构造相似三角形. 利用△OBP∽△MBC，得CM=2，即点C的运动轨迹是以M为圆心、2为半径的圆. 所以AM-CM≤AC≤AM+CM，即3≤AC≤7.

这里，笔者采用的是小组讨论的方式，让学生大胆地尝试，并寻找动点的运动轨迹. 教学时，教师不要怕学生会“撞墙”，因为他们正是在一次次尝试或失败中总结方法和经验的，只有这样，他们才能真正提高解决问题的能力. 在学生充分尝试的基础上，笔者最后总结：这类题往往有暗示，如上面旋转类求最值的两道题，它们都是两个动点，且主动点在圆上动，于是判断动点的运动轨迹就必定要考虑圆，可通过旋转构造全等或相似，进而找到定长，最后确定运动轨迹.

难点的突破，除了基础知识原理的加持，更重要的还在于“由浅入深，步步为营，逐步学习”，教师可以从多个角度去引导学生练习，贴近学生的学习，让学生突破思维短板，形成自己的解题思路. 这样能让学生以后碰到此类难题有大致的思考方向，进而提高解题效率.

微专题，着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，能调动学生的学习积极性，从而引导学生对自身认识结构进行深度加工与整合，由浅层学习走向纵深学习.

微专题设计的巩固——向课后

练习要实效

由遗忘曲线我们知道，遗忘的进程是不均匀的，一般来说最初的遗忘速度较快. 为此，对于微专题，我们必须及时巩固. 在实际操作中，笔者尽量做到“趁热打铁，及时巩固”，因为这是微专题设计最终收到实效的重要保障. 故在微专题的最后环节，笔者设计了如下课后练习：

1. （2020·台山一模）如图15所示，在平面直角坐标系中，以点A（-2，3）为圆心、1为半径作☉A，以点B（3，4）为圆心、3为半径作☉B，M，N分别是☉A，☉B上的动点，P为x轴上一动点，则PM+PN的最小值为______.

2. （2020·市南区一模）如图16所示，在正方形ABCD中，AB=2，O是BC边的中点，E是正方形ABCD内一动点，且OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°后得DF，连接AE，CF，OF，则线段OF的长的最小值为______.

3. （2020·武侯区模拟）如图17所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC上一动点（P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MP，作∠MPC的平分线交边CD于点N，连接MN，则线段MN的最小值为______.

微专题最大的价值在于为学生解决此类问题提供明晰的解题思路，决胜中考. 故笔者特别重视课后练习的设计，尽量让课后练习与中考接轨，让学生用课堂上学到的方法直面中考模拟题，这样既能提升学生的思维能力，又能激发他们的学习兴趣，增强他们的学习动力.

以上是笔者利用微专题用于提高复习效率的一个案例. 在中考的复习过程中，对于一些重难点知识，学生总带着畏惧、迷惑、纠结、等待的心理. 此时，借助微专题，从学生的易错点出发，抓住知识的本质，再现知识的形成，能帮助学生抓住知识的源头. 学生在教师的精心指导下，能形成自己的解题思路，能锻炼思维能力，从而获得学习能力. 微专题虽以小见大，知微见著，但不能盲目应用. 微专题的选择往往立足于学情、教情、考情，以某知识点为中心，从该知识的基本概念出发，从基本数学思想方法及原理入手，通过一条清晰的主线将问题串联起来. 各个微小的知识点或者方法，能将数学思想方法整合起来，能由“因微而小，因微而准，因微而深”到达知识深处，从而培养学生解决问题的能力.

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