融合信息技术 促进深度学习

周海东

[摘  要] 在“互联网+”时代，计算机类数学实验可以将抽象的数学原理可视化，促进学生深度学习，完善学生的思维品质. 文章以“反比例函数的图像与性质”为例，阐述了信息技术与教学的深度融合，以及借助于计算机类数学实验让以高阶思维为特征的深度学习发生的教学过程及实践反思.

[关键词] 信息技术;数学实验;深度融合;高阶思维

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》指出：“要强化教育信息化的应用，提高教师应用信息技术水平，更新教学观念，改进教学方法，提高教学效果. ”因此，信息技术在教学中的应用需要从边缘化的教学媒介走向内核式的学习支持，以深度融合的方式从知识内容的直接呈现转向融入课堂的深度学习. 笔者在苏州工业园区“初中数学学科信息技术与学科教学融合创新观摩研讨活动”中讲解了“反比例函数的图像与性质”一课，在深度学习理念的指引下，将数学实验引入常态教学，发挥信息技术内核式的学习支持的作用，取得了很好的教学效果. 现将本节课的课堂片段及实践反思呈现出来，与同行共研.

教学片段

1. 由“数”想“形”猜图像

师：老师给了8组数对（如图1所示），你们帮我找找看，哪些数对是适合反比例函数y=的，请选出你认为适合的数对.

[下列各组数中，适合函数y=的是_____.

①（1，6）      ②（2，-3）      ③（0，6）

④（3，2）      ⑤（-3，-2）    ⑥（-1，-6）

⑦（4，1.5）    ⑧（4，2.5）] [图1]

师：我们来看看大家的答案（如图2所示），大家的答案非常一致（选的都是①④⑤⑥⑦），但是老师发现，刚才在选择的过程中，有的同学选得特别快，有的同学则选得比较慢，我想请选得特别快的同学与大家分享一下有没有什么窍门.

生1：把x和y两个数据都代进去.

师：那么（2，-3）你是怎么代进去的？

生1：就是把x=2代进去，算出y=-3. 与纵坐标进行比较，相等则适合.

师：有没有更快的方法？

生2：我是直接将x与y相乘，看是否等于6.

师：你真厉害！同学们想不想再来试一遍？

生（众）：想.

师：好. 既然我们已经掌握了方法，那么我们就再来试8组数对（如图3所示，笔者请一位学生上黑板前试一试，和同学们一起比一比速度）.

师：这一次有几位同学选了不同的答案（如图4所示），有一位同学选了（0，0），我们请他来说说看是怎么想的.

生3：（0，0）不适合，我看错了！

师：还有8位同学选了（6，0），行吗？

生（众）：不行！

师：y=0行不行？为什么？

生（众）：也不行，因为k≠0，y就不可能为0.

师：我们刚才找了8组数对，请同学们仔细观察一下這8组数对，能否想象一下这个函数的图像是什么样的呢？

师：为了让同学们看得清楚一点，老师将大家刚才找出的8组数对排了一个队（如图5所示），你们先看看这些数有何规律.

生4：左边都是正的，右边都是负的？

师：有没有可能出现两个数“一正一负”的情况？

生5：不可能，因为他们的积是正数，所以这两个数一定是同号的.

师：非常好！如果这两个数是同号的，那么图像上会有什么规律？

生6：同号的点一定在一、三象限.

师：不用画图，我们就可以判断“图像一定在一、三象限”！还有没有其他可以看出的规律？

生7：从左往右y值在减小.

师：一直在减小？

生7：在-1到1之间好像发生了一次跳跃，变大后又逐渐减小.

师：这一次“跳跃”又是为什么呢？

教学说明  笔者没有沿用“列表—描点—连线”这一常规研究函数图像的套路，而是另辟蹊径，通过“寻找适合反比例函数的数对”的方式引导学生发现函数表达式中“数”的规律，再通过“数”的规律去猜想“形”的样态，让学生初步感知反比例函数的图像. 可谓“意料之外，情理之中”.

2. 循“点”觅“形”现图像

师：显然，光看“数”，是看不出来图像的，怎么办呢？我们需要把这些点描画出来. 我们知道，要画出函数的图像，需要列表、描点，通过点把图像描画出来. 请同学们在操作纸上描画出这8个点. （借助于信息技术同步显示学生的作图过程，如图6、图7所示）

师：同学们都描画出了这8个点，请同学们再来看一下这8个点（如图8所示），它们能否反映出反比例函数图像的特点？你能试着把这个反比例函数的图像画出来吗？

学生开始尝试画图（如图9、图10、图11所示）.

师：老师看了所有同学画的图，虽然大家画的图不尽相同，但至少我们可以做出一个论断：从这些点来看，反比例函数的图像肯定不是直线. 可是图像到底是像图10这样的曲线，还是像图11这样的折线呢？同学们想不想知道？

生（众）：想！

师：那么我们肯定还需要更多的点，我们可以利用软件描画出更多的点，100个点、1000个点（如图12所示）……你们认为还需要多少个点？

生8：10000个.

师：你们觉得，由这10000个点描画出来的图像会是怎样的？

生9：颜色会更深.

师：为什么？

生9：点更密了！

师：我们来看这10000个点描画出来的图像（如图13所示），看来我们已经不需要再加密了，因为同学们已经知道图像是怎样的了.

师：刚才1个点时，我们没有描画出图像;8个点时，我们描画出了一些“奇怪”的线;现在无数个点时，我们可以看出函数y=的图像是——

生（众）：两支曲线.

师：事实上，函数y=的图像就是两支曲线，我们称这两支曲线为“双曲线”. 我们用描点的方法把函数y=的图像描画出来了，请同学们将刚才所画的图像修正一下.

教学说明  反比例函数的图像是“曲线”，这与学生以往的经验有较大冲突，若直接通过讲授或用计算机作图的方式把两条曲线呈现出来，则只会让“数学事实和概念”单向传递，这种浅层次的教学方法无法引起学生高阶思维的发展，甚至会限制学生的认知加工活动. 因此，笔者设计了“想象—试连—密点—修图”这样一个深度学习的线路，让反比例函数的图像逐渐露出“庐山真面目”.

3. 探“图”寻“规”研性质

师：既然我们已经把图像描画出来了，我们就一定能从图像中找到一些不变的东西——规律. 请同学们再来仔细观察一下反比例函数的图像.

生10：两支曲线关于原点中心对称.

师：这位同学说，两支曲线关于原点中心对称，但这仅是你的一种猜想，眼见未必为实，是否正确老师要打一个“问号”. 还有什么发现吗？

生（众）：……

师：我们的眼睛不能只盯着这两支曲线，我们应该看得更宽广一点，这个图像后面还有没有曲线？

生（众）：有.

师：多不多？多到什么程度？我能把这个图像画到尽头吗？

生11：画不到尽头，但它的图像永远不会与x轴、y轴相交.

生12：我发现，图像与坐标轴无限接近，却永不相交.

师：为什么永不相交？

生12：因为从数来看， x值、y值都不等于0.

师：如果k=-6呢？不画图，你们能不能说一说这个图像是什么样的呢？

生13：图像应该在二、四象限.

师：为什么在二、四象限？

生13：因为k=-6，所以点的横、纵坐标是异号.

师：你们能否不描点，画出函数y=大致的图像.

学生画图，教师观察学生画图，并把典型的图像（图14）挑选出来.

师：这个图像（图14）是否符合函数y=的图像的基本特征？

生14：位置没问题，但图像不能与x轴有交点.

师：是否还有其他问题？

生15：不能出现向上翘的“尾巴”.

师：为什么曲线不能这样延伸？

生15：往左边看，当x的值越小时，-x的值反而越大，所以的值会越来越接近于0，曲线也会逐渐接近于x轴，但由于x≠0，所以曲线与x轴不会相交.

师：大家体会一下，应该怎样在反比例函数的图像中表达“无限接近，永不相交”.

学生再次修正图像.

师：我们一起来看一下通过描点呈现出来的y=的图像（如图15所示）. 跟你们画的一样吗？

生（众）：一样.

师：透过图像，我们看到了很多规律. 同學们想一想，如果再次改变k值，那么大家应该能在大脑里把函数图像想象出来了吧？

生（众）：嗯.

师：通过刚才对函数图像的研究，我们可以归纳一下反比例函数图像的特征（略）.

师：继续来思考，刚才有一位同学认为反比例函数的图像是中心对称图形，你们是否有方法来证明？

生16：可以把图像绕点O旋转180°，看它是否重合.

师：你能证明吗？

生16：可以，在函数y=（k≠0）的图像上任取一点P（a，b），则ab=k.因为点P关于原点O对称的点P′的坐标为（-a，-b），把x=-a代入y=，得y===-b，所以点P′也在函数y=（k≠0）的图像上.

师：显然，反比例函数的图像一定是中心对称图形，对称中心为原点.

教学说明  反比例函数图像的三大特点“双曲线型”“延展性”“对称性”比较隐性，若不深入研究，学生很难形成高阶思维. 反比例函数的图像由“一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，由“连续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“无限接近”，经历了深度研究反比例函数图像的整个过程，使学生对反比例函数的本质属性有了更深层的理解. 对学生而言，这不仅是认识上的一次升华，也是思维上的一次飞跃.

4. 品“形”思“数”悟思想

师：我们继续来看反比例函数的图像，图像从左到右呈现了怎样的变化趋势？

生17：上升.

师：我们在研究一次函数时，图像上升说明了什么？

生18：图像上升说明了y随着x的增大而增大.

师：这里是否也可以这样说？

生19：不能

师：为什么不能？

生19：要加上“在每个象限内”，因为反比例函数的图像分布在两个象限内，并且图像是断开的.

师：再看y=的图像.

生20：图像下降，说明在每个象限内y随着x的增大而减小.

师：回到“数”来看，你们能否从“数”的角度分析一下反比例函数图像的变化趋势跟谁有关？

生21：跟k有关，当k>0时，在每个象限内，y随着x的增大而减小;当k<0时，在每个象限内，y随着x的增大而增大.

教学说明  反比例函数的图像，本身就是“数”与“形”的统一体. 通过对图像的研究和分析，可以确定反比例函数的性质. 这样从“数”想象“形”，再从“形”研究“数”，让学生体悟数形结合思想. 引导学生用联系、发展的眼光进行系统思考，进一步积累研究函数图像的经验，为今后研究新函数提供一个可具体操作的路径.

教学反思

深度学习（Deep Learning）是对学习状态的质性描述，涉及学习的投入程度、思维层次和认知体验等诸多层面，强调对知识本质的理解和对学习内容的批判性利用，追求有效的学习迁移和真实问题的解决，属于以高阶思维为主要认知活动的高投入性学习. 信息技术与教育教学的深度融合促成了教育教学方式的变革与创新. 但是，信息技术给数学教学带来便利的同时，也带来了课堂缺乏深度的问题. 因此，深度融入信息技术的数学课堂，应该关注高阶思维，促进深度学习的发生，发展学生的核心素养.

1. 确立提升高阶思维的目标导向，引导深度学习的发生

信息技术融入数学教学，最根本的价值是促进学生的个体心理机能从单纯的认知发展走向意义获得和身份认同的双重发展. 因此，深度融合信息技术的数学课堂，应该确立提升学生高阶思维的目标导向. 笔者认为，除去写在书本上的知识之外，课堂教学还应把高阶思维的发生和发展作为一条教学暗线伴随课堂教学的始终. 例如，在本节课的教学中，知识作为明线，讲授的是反比例函数的图像是什么、具有怎样的性质;而思维作为暗线，培养的是学生的系统思维，积累研究函数图像的经验.

2. 创设促进深度学习的教学环境，提升课堂思维的品质

教学环境是教与学顺利开展的保障. 目前，我们在信息化教学环境的硬件建设中，往往把注意力集中在知识、设备、软件等方面，着眼于知识传递和以学生认知发展为中心的教学，而忽视了学生的体验. 基于学生深度思维的发展，构建教学环境一定要将学生放在第一位，将学生作为教学环境建设的逻辑起点和归宿. 一是要在思维层面注意系统思维的构建;二是要在技术层面建立能够支持多重交互、自主探究、协作学习等多方面要求的教学环境. 因此，笔者在设计本节课时，一方面在技术层面构建了以“希沃电子白板”“点通互动课堂”为核心，在师生之间、生生之间及人机之间可以实时进行全员交互的教学环境;另一方面在思维层面构建了本节课的整体架构，通过对反比例函数表达式的特征分析，让学生初步感知反比例函数图像的分布区域和趋势. 通过对反比例函数图像的定性分析，确定了反比例函数的性质，这样从“数”想象“形”，从“形”研究“数”，体现了数形结合思想，提升了课堂的思维品质.

3. 构建提升核心素养的学习活动，体悟数学思想和方法

史宁中教授认为，在培养核心素养的大背景下，教学强调素养的形成，不是依赖单纯的课堂教学，而是依赖学生参与其中的教学活动;不是依赖记忆与理解，而是依赖感悟与思维. 它应该是日积月累的、自己思考的经验的积累. 尤其是在信息技术与教育教学深度融合的课堂上，克服信息技术本身对教学的干扰，将注意力更加聚焦于学生的思维过程，这值得思考. 笔者在设计本节课时，根据曲线型函数的特点，设计了“由数想形”“描点试连”等常态化数学实验，借助于软件希沃5.0和Around U引导学生参与具体情境中的实践活动获取知识、构建意义并解决问题，让学生經历猜想、尝试的思维过程，再通过“点加密”的方法去验证反比例函数的图像，最终达成将所学知识（反比例函数的图像与性质）与情境（函数图像的研究方法）建立联系并迁移的目的. 让学生亲历知识形成的过程，让知识内化、让理解深入，从而整体感知函数的学习方法.

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