学习进阶视域下的数学教学设计

范友彬

[摘  要] 学生的数学学习是一个循序渐进、螺旋上升的过程，是一个不断进阶的过程。基于进阶学习理论视角，教师在教学中要注重学生数学学习的阶梯性、连续性和结构性。通过学习进阶，让学生的数学学习从现象走向本质、从低阶走向高阶、从复制走向创新。通过进阶学习，培育学生的高阶思维、高阶认知，最终彰显数学学科的育人价值。

[关键词] 小学数学;学习进阶;教学设计

“学如登山”（三国·魏·徐干《中论·上·治学》）。学生的学习是一个循序渐进、螺旋上升的过程。在不同的学习阶段，学生有着不同的具体学情。同样，在不同的学习阶段，学生有着不同的学习目标、要求等。“学习进阶”理论正是基于这样的学习事实而提出的。“学习进阶”作为一个教育学概念，是由科学家史密斯首次提出。他认为，一个人的学习就是不断地进阶。他将“学习进阶”定义为“学生在学习某一核心概念过程中所遵循的一系列逐渐复杂的路径”。在小学数学教学中，学习进阶就是指学生的学习从简单到复杂、从现象到本质、从低阶走向高阶、从复制走向创新的过程。

一、拾级而上，注重学习的阶梯性

美国教育心理学家布鲁姆将学生认知领域的学习目标分为六个层次，即“记忆”“理解”“应用”“分析”“评价”“创造”等。学习进阶，就是要求教师在教学中要搭建学习阶梯，引导学生在学习中拾级而上。作为教师，不仅要了解学生的数学学习起点，对学生的进阶起点进行分析，从而设定科学、合理、适恰的进阶目标。通过进阶起点、进阶目标，研发、设计学生最佳的学习路径。

比如“3的倍数的特征”（苏教版五年级下册）这一部分内容，是在学生学习了“2的倍数的特征”以及“5的倍数的特征”基础上展开的。因此，教师可以对接学生的认知、活动经验等，引导学生对“3的倍数的特征”进行猜想。这里，学生的一般性的猜想、举例验证等就是第一阶段的教学。在这个阶段中，学生首先猜想“3的倍数的特征”就是个位上是3的倍数，这个数就是3的倍数。通过验证自我否定之后，学生再次猜想。在这个过程中，笔者积极跟进、适度介入，通过计数器、百数图等辅助、催生学生的猜想。在学生形成“一个数是否是3的倍数可能与各个数位上数字的和有关”的新猜想之后，学生再次展开验证。在完成一般性的对“3的倍数的特征”的认知基础上，很多教师的数学课堂教学往往戛然而止，以至于学生对“2、3、5的倍数的特征”的认知始终知其然，而不知其所以然。笔者在教学中，进一步引导学生追问：为什么2、5的倍数的特征与个位上的数有关？为什么3的倍数的特征与各个数位上数字的和有关？从而催生学生深度思考、探究，促进学生的数学学习不断进阶。通过深入研讨，学生认识到“对于任何一个数，判定其是否是某一个数的倍数的特征，都是将这个数分成两个部分。其中一个部分一定是这个数的倍数，另一个部分可能是这个数的倍数。”如“2、5的倍数的数都是分成了整十数和个位上的数”，如“3的倍数的数都是分成了几个9、几个99、几个999等以及各个数位上数字的和”。通过这样的分析，学生深刻认识到“2、3、5的倍数的特征”，不仅知其然，更知其所以然。

在数学教学中，教师要立足于学生数学学习整体、全局，要站在学生立场上，对学生的学习进阶进行整体性谋划。要扎实阶梯性目标、内容的建构，从而为学生的进阶学习奠定坚实基础。要避免低水平的重复，引导学生数学认知不断地爬坡，充分经历数学知识形成、发展、创新的过程。

二、瞻前顾后，注重学习的连续性

美国著名教育家杜威先生曾经这样说，学生的经验是连续性的。进阶视域下的数学教学，不仅要求学生的数学经验走向连续，而且要求学生的认知走向连续。只有基于学生数学学习的连续性，才能引导学生的数学学习不断进阶。学习进阶不仅仅要解决学习者认知发展的路径，还要解决学习者在学习过程中用以“踏脚”的具体“附着点”。“阶”是一个迭代的过程，要以学情分析和把握为依据，通过瞻前顾后，注重学生的数学学习的连续性。

比如教学“多边形的面积”（苏教版五年级上册）这一部分内容，基于学生已经学习的“长方形的面积”，笔者在教学“平行四边形的面积”时，启发学生进行推导。引导学生通过剪拼法将平行四边形转化成长方形;教学“三角形的面积”时，立足于学生已有的知识经验，笔者启发学生将三角形通过剪拼法转化成长方形、通过倍拼法转化成平行四边形等;在教学“梯形的面积”时，由于学生已经掌握了长方形、平行四边形、三角形等图形的面积计算方法，因而笔者就致力于引导学生将梯形转化成三角形、平行四边形和长方形再求面积。由于学生拥有了剪拼、倍拼等活动经验，因而都能主动地将梯形转化成平行四边形、长方形等。为了进一步引导学生的学习进阶，笔者引导学生将梯形采用分割法转化成两个三角形。这样的一种教学，充分体现了连续性的教学原则。学生在学习中获得的不再是碎片式的数学知识，而是整体性的数学知识，即多边形的面积推导都是采用转化思想方法，将复杂转化成简单，将陌生转化成熟悉，将未知转化成已知等。连续性是学生数学学习的基本品性。瞻前顾后，让学生的数学学习走向连续，这是学生学习进阶的根本保障。在数学教学中，教师要树立“大观点”，从“大视角”观照学生的数学学习，从更大的、更长远的时间跨度上来实现对学生数学知识的认知建构。

在数学教学中，教师不仅要关注知识“点”的提升，更要将相关的知识点串接成线、连接成面、结构成体。在数学教学中，教师要引导学生通过不同的“阶”连续攀爬，从而让学生从低阶学习迈向高阶学习。作为教师，要尽可能地避免作为教学工作者的“一厢情愿”的单向设计，而应当让教学踩着学生“学的节拍”，更好地为学生的“学”服务。

三、左顾右盼，注重学习的结构性

学生数学学习的进阶，不仅是学生数学学习的结果性标志，更是过程性标志。作为教师，在数学教学中不仅要瞻前顾后，更要左顾右盼。瞻前顾后，就是注意数学知识点的前后学习的连续性，而左顾右盼就是注重数学知识之间的关联性、结构性、系统性。北京师范大学郭玉英教授深刻地指出：“在一段时间内，学生针对某个具体概念的学习需要经历从经验到映射到关联到系统到整合的变化。”显然，系统化、结构化的数学认知还只是学生整合学习的基础。

整合是一种跨越知识点建构知识网的过程。作为教师，不仅要注重知识点的本质，更要由点及网，帮助学生建构良好的认知结构。数学教学中，教师要设定不同的阶段性的能级水平，让学生的数学学习成为一种不断的“跃迁过程”。比如教学“公顷和平方千米”（苏教版五年级上冊）这部分内容，基于学生对平方米、平方分米、平方厘米等面积单位的认知，笔者引导学生到操场上感受“边长为100米的正方形的大小”，从而帮助学生建立公顷的表象，形成对公顷和平方米的进率的认知。同时，引导学生思考平方千米的大小，并推导平方千米和公顷的进率。在此基础上，将其他面积单位包括公亩等引入其中。不仅如此，笔者还将系列长度单位包括百米、十米等引入其中，从而让学生认识“相邻两个长度单位之间的进率是10，相邻两个面积单位之间的进率是100”。这样的结构化学习，为学生后续学习体积单位奠定了坚实的基础。长度、面积、体积等知识看似不同，实则蕴含着相同的本质，都是要去测量被测量对象中所包含的测量单位的个数。结构性学习让学生不仅学会了“计算”，同时也对它们的本质有了更为深刻的认知。

学习进阶，对于学生的意义和价值正如北京师范大学郭玉英教授所指出的“是学生学习数学所需要经历的‘攀爬’”。学习进阶视角下的小学数学教学，关注学生认知水平和思维发展的双重提升。作为教师，不仅要注重学生的知识进阶、认知进阶、思维进阶，更要渗透数学的思想方法，渗透学习方法、策略等。通过进阶学习，培育学生的高阶思维、高阶认知，最终彰显数学学科的育人价值。

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