关于“等差数列的前n项和”教学素材、设计案例的思考与研究

祝 玲

(浙江省兰溪市第一中学 321102)

一、问题提出

“等差数列的前n项和”的教学设计是一线老师比较喜欢研究的重点课题之一，也是目前赛课较热门的内容之一．因为这节课中公式推导是最令人心驰神往的，也是各类期刊谈论最多的，就是如何引入倒序相加法，推导出等差数列的前n项和公式，可谓仁者见仁，智者见智．笔者一直都在想，目前我们各省市有各种版本教材，对公式的推导设计有何异同？若没有教材上提示或学生事先不预习，推导方法学生会想到吗？学生想不到，老师又如何精心设计教学,引导学生自然而然探究出公式呢？基于以上思考，笔者查阅教科书和有代表性的期刊，进行研究，写下拙文．

二、文献研究

1.各种版本教材对等差数列前n项和公式推导的编写比较

根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成

Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+...+[a1+(n-1)d]

(1)

再把项的次序反过来，Sn又可以写成

Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d]

(2)

把(1)，(2)的两边分别相加，得

2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an) (下称含d的倒序相加法)

文[3]给出高斯的算术老师提出的问题：1+2+3+…+100=?指出高斯采用下列方法迅速算出正确答案：(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050．也即说明了高斯解决了等差数列：1，2，3，…，n，…前100项的和的问题．人们从这个算法中受到启发，用下面的方法计算1，2，3，…，n，…前n项和：由

再给出探究：高斯的算法妙在哪里？这种方法能够推广到求一般等差数列的前n项和吗？自然给出数列前n项和定义，特别强调由高斯算法的启示，用两种方式表示前n项和Sn，一种是顺序的，一种是倒序的，再相加，类似文[1]．

文[4]创设情景：某钢材库新到200根相同的圆木料，要把它们堆放成正三角形垛(如图4)，并使剩余的圆木料尽可能的少，那么将剩余多少根圆木料？

设共摆放了n层，能够成三角形垛的圆木料数为Sn，则Sn=1+2+3+…+n．指出这是一个等差数列的求和，如何计算呢？引出高斯小时候求当n=100的算法：有趣的是和文[2]、文[3]“配对求和”不同，这里给出倒序相加的思想方法：

S100=1+2+3+4+...+98+99+100=100+99+98+97+...+3+2+1

这两个等式上、下对应项的和均为101，所以

用“你能从这个问题的解决过程中悟出求一般等差数列前n项和的方法吗？”过渡到抽象概括阶段，下同文[1]，但在旁白留有两个问题，用来提炼数学思想方法．推导出公式后，给出它的几何意义如图5，在旁注中再次提及：这种思想方法，用图形来说明就更清楚，在图上拼一个倒过来的图形，就成为各行有相同个数的平行四边形，计算这个平行四边形的个数就很容易了，如图6．

文[5]和文[1]从情景图引入到推出求和公式都一样，只是将钢管由原来7层改为6层，图设计得更精美,如图7．另外笔者也发现，文[5]将文[4]中的情景题放置在第2课时的练习题4中．

文[1]和文[5]由情景设置很容易和“倒序相加法”挂钩，不拖泥带水，单刀直入，学生看一眼就明白，无法进行探究性学习．尽管文[1]、[2]、[3]是人民教育出版社编写的，在后两文中没有继承前者的情景创设，笔者估计由于时代发展，当今小学生和初中生都能知道高斯速算的故事，所以由高斯速算创设情景是可行的．但是“高斯的算法与一般等差数列求和还有一定距离，因此教科书接下来设置了求1+2+3+……+n的问题，目的是引出求等差数列前n项和的一般方法：‘倒序相加法’．这样，很自然地就过渡到一般等差数列求和问题”．

另外，我们无法考证将近250年前高斯到底用何算法，所以文[4]在不损“数学王子”形象情况下，揣测他用“倒序相加法”，实属高明，这样就为下面推导作好做好铺垫，而不使人误入歧途．另外五个版本教材都没有利用等差数列性质，采用如下写法：

Sn=a1+a2+a3+...+an-2+an-1+an

(1)

Sn=an+an-1+an-2+...+a3+a2+a1

(2)

(下称不含d的倒序相加法)．

2．各种期刊对等差数列前n项和公式推导教学设计案例的比较

由于教材不同，加上每个老师对教材理解不同，学生学习程度不同，产生许多精彩纷呈的教学设计．

文[7]创设生活中的一个问题，引入新课:学校为美化校园,决定在道路旁摆放盆景.从校门口取出花盆到距校门1m处开始摆放,每隔1m摆放一盆,学生小王每次拿2盆,若要完成摆放30盆的任务,最后返回校门处,问小王走过的总路程是多少?

问题转化求4+8+12 +…+60 =?出示课题，给出前n项和Sn的定义，重新叫学生计算:1+2+3+4 +…+100 =?(高斯10岁时的算法)．

老师又给出变式:1+2+3+…+99 =?

方法1 原式=(1+2+3+4+…+98+99+100) - 100.

方法2 原式=(1+2+3+4+…+98)+99.

方法3 原式= 0+1+2+3 +…+98+99

方法4 原式= (1+2+3 +…+49+51 +…+98+99)+50

方法5 原式= (1+2+3 +…+97+98+99+99+98+97 +…+3+2 +1)÷2

文[8]首先设计问题，创设情境．教师给出高斯小时候算过的问题1：求 1+2+3 +…+100=?学生中出现“配对求和”和“倒序相加法”．

问题2：如图8，是一垛钢管，最下面一层放了102 根，最上面一层放了3根，往上每一层都比它下面一层少放一根．这垛钢管共放了多少根钢管?

思考文中的两个问题，起了“双保险”的作用，若学生由问题1想不到倒序相加法，则问题2可以帮助学生想到；若第1问就能想到倒序相加法，则第二问题就是对倒序相加法的几何解释．“配对求和”是深入人心的方法．

文[9]问题1：用文[1]例题，只是将“120”改为“100”，进而引出求数列：1，2，3，4…100，…的前100项和，从而给出数列{an}前n项和的定义，点明主旨．师生共同探讨S100=1+2+3 +…+100=？师生达成一致，用“配对分组”手段解决问题1．随后给出点睛之笔：高斯算法的高明之处在于将不同数的求和问题转化为相同数的求和问题．

问题2:求Sn=1+2+3 +…+n=?(n∈N*)学生自主探究，给出配对求和(对n分奇偶讨论)和倒序相加法；最后再研究问题3：求等差数列{an}前n项和：

通过例1求梯形笔架中笔的支数，对倒序相加法作出几何解释，如下图11-13.

思考求V形架里铅笔支数这一生活问题既经济又实惠，取材学生身边问题，又能顾及到高斯的算法，还能为学生推导第二个求和公式服务，一箭三雕．难能可贵的是指明求和的本质就是“将不同数的求和问题转化为相同数的求和问题”，这是本节课精髓所在，也是对倒序相加法最合理的解释．在例题中没有进行操练，而是通过问题再深入理解公式，领会这两个公式的内在联系．

三、尝试设计

“操千曲而后晓声，观千剑而后识器”，笔者在学习了诸多优秀教学设计后，博采众长，从顺应学生思维自然性，符合学生认知规律出发，给出如下教学设计思路的框图1所示.

教材呈现知识点限于编排要求具有经典性、纲要性、简洁性，不可能像教辅用书上洋洋洒洒详细阐述，关键是教师在备课时要了解学生受教育的背景，近期上课内容对该堂课的引领作用．此外不光有自己的想法，还要想学生所想，顺着学生思维流程进行教学，这样既不动声色传授了核心知识，又潜移默化培养学生的研究能力．

图1