多管齐下，提高解题能力

廖可媛

摘 要：在数学学习中，学生所掌握的知识、技能和思想方法，都要通过解题加以呈现，所以说解题能力体现了学生的数学综合水平，同时，解题能力也是学生应对数学高考的重要武器。因此，在高三数学复习阶段，教师要根据学生所面临的学习困境，积极改进教学策略，争取培养学生良好的解题习惯，丰富其解题技巧，最终促进学生解题能力的进步。

关键词：高三数学;复习;解题能力;教学策略

在高三复习过程中，学生所面临的是整个高中阶段的数学知识，所遇到的问题普遍具有综合性、开放性、复杂性较强的特点，这是学生锤炼解题技能的最佳时机。但是，随着数学学习的深入，高中生在解题方面的问题不断暴露出来，比如：基础不扎实;解题思维不够灵活;解题过程繁琐、效率低下等等，这严重限制了学生数学兴趣和数学水平的提升。因此，在高三数学复习指导中，教师要认真观察学生的解题过程，根据学生的弱势进行针对性教学，争取在锻炼学生解题能力的同时，促进学生数学相关的各方面素质和品格的发展。

1.全面回归教材，构建知识网络

数学中的概念、定义、公式、定理等基础知识是学生解题的重要工具，如果学生基础不牢，就无法快速、准确地判断题目中的关键性信息，不能将其和已掌握的数学知识建立联系，自然找不到解题的方向和方法，这体现了夯实基础对于提高解题能力的重要性。但是，高三学生盲目追求效率和成绩，整日投入到题海训练中，反而忽视了教材上最基础、最核心的内容，根基不牢，学生自然难以稳步提升。所以，在高三数学复习指导中，教师首先要带领学生全面回归教材，按照一定的顺序、规律梳理基础知识，构建知识网络，从而使学生对高中数学产生清晰、全面的认识，为学生解题奠定扎实的基础。

例如：在复习之初，教师可以带领学生从必修一开始梳理教材。而考虑到每名学生的学习方法和学习节奏不同，所以为了保证学生的学习效率，让学生利用课下时间自主完成复习，在课上进行交流和总结。比如针对《数列》这一章，教师要求学生利用课下时间认真阅读教材，整理相关的概念和公式，并掌握书上典型例题的解法。而在课堂上，学生呈现出不一样的复习成果，有的通过表格将等差数列与等比数列进行对比式总结，本章的所有概念、公式都囊括其中;还有的学生则通过思维导图来体现各部分知识之间的联系。而教师则给学生展示一些新颖、易错的题目，供学生即时训练，比如：设{an}是等差数列，{an}为等比数列，其公比q≠1，且bi>0（i=1，2，3，…，n），若a1=b1，a11=b11，则a6和b6存在怎样的大小关系？这道题所考察是学生对等差中项、等比中项的理解和应用，同时需要学生渗透基本不等式的知识。最后，让学生提出自己遇到的问题，教师进行补充式讲解。通过以上方式，可以完善学生的数学知识体系，使学生在解题时能快速联系、调用基础知识，以初步提高学生的解题能力。

2.加强审题指导，保证解题质量

高中数学题目的阅读量普遍较大，其中条件错综复杂，再加上有一些无关信息的干扰，给学生审题造成阻碍，常常误导学生的解题方向，这凸显了审题指导在习题教学中的重要性。而通过观察学生的解题过程不难发现，很多学生并没有掌握审题的方法，为了追求效率，刻意提高读题的速度，结果很难从中提取有效的信息，甚至不清楚考点所在。所以，在高三数学习题教学中，教师可以建议学生按照以下步骤进行审题：

（1）放慢速度，逐字逐句地读题，确定问题以及题目的考点;

（2）重读题目，将题干中的数据、数量关系、图形的位置关系呈现在图示上，如果没有图示，根据题意作图;

（3）从问题出发，建立条件和问题之间的联系。如果尚无思路，则从条件出发，从中挖掘隐含的信息;

（4）将所有条件进行综合，寻找条件与问题之间的联系……

当然，实际的审题过程需要学生根据具体的题目而定，这样学生才能尽快找到解题方向。

例如：针对这道题目：已知圆，为圆上的动点，求的最大值、最小值。

學生读完题目后，确定本题所求的对象，然后画出直角坐标系，根据题意作出，随机选一点为P。此时，学生依旧找不到条件与问题之间的关联，于是，学生从入手，过点P做垂直于X轴的垂线，并连接OP，构造一个直角三角形。接着，学生根据勾股定理，得到OP2=x2+y2=>d=OP2。所以，原问题就被转化成求OP2的最大值和最小值。根据图示，学生很快便能确定P点到原点的距离何时最大，何时最小，从而确定解题方向。通过这种训练方式，可以培养学生良好的审题习惯，以保证学生解题过程的质量。

3.引导一题多解，丰富解题技巧

不难发现，对于同一道数学题目，教师可以选择不同的方式、方法，甚至运用不同的知识进行解答，这说明数学在严谨的同时，也具有开放、多元的特点。而在实际的考试过程中，学生容易受到考场氛围的影响，不能稳定发挥，很可能忘记平时掌握的一些知识和方法，在这种情况下，就需要学生另辟蹊径，用自己最熟悉、最擅长的方式来解题。所以，在高三数学习题训练中，教师要引导学生一题多解，从而拓展学生的数学思维，丰富学生的解题技巧，使学生在考试过程中更加自信从容。

然后，让学生对每一种解法进行分析和评价，从中选出自己最擅长的一种。通过这种训练方式，可以帮助学生找到最适合自己的最优解题方法，从而使学生在实际考试中能够扬长避短。

4.引导一题多变，提升思维品质

在数学教学中不难发现，当学生掌握某一题的解法之后，如果对题目进行变化，学生就会陷入新的困境。这不仅说明学生数学基础不牢固，也说明学生思维固化，缺乏应变能力。而数学高考试题每年都会更新，虽说考察的知识点大体不变，但试题的形式更加新颖，更富于变化，这对学生的数学能力提出了更高的要求。所以，在高三数学习题教学中，教师要带领学生展开变式训练，也就是对一道例题的条件、结论或问题进行变化，引导学生不断转换思考的角度和解题的方法。从而提升学生思维的灵活性和敏捷性，使学生有足够的能力面对更新颖、更复杂的问题。

例如：函数在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的取值范围是_____.

這道题目难度不高，学生只要掌握三角函数图像的特点，根据题意推断出函数在区间[0，1]内应有多少个周期，就能解出ω的取值范围。但在实际的考试中，这类题型会更加复杂，于是笔者将例题进行如下变式：

变式一：函数在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的取值范围是_____.

变式二：函数在区间上至少出现50次最大值，则ω的取值范围是_____.

变式三：函数在区间[0，1]上至少出现50次最小值，则ω的取值范围是_____.

变式四：函数在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的取值范围是_____.

……

以上变式题目均改变了例题的一部分条件，但是解题的方法并无太大变化。比如变式一，仅将例题中的sin换成cos，学生只要思考函数的图像在区间[0，1]内应有多少个周期，就能解出ω的取值范围。当学生完成以上变题后，可让学生继续变式，并互相交换题目。通过这种一题多变的训练方式，可以提升学生的思维品质和应变能力，并使学生对某类题型的解法掌握得更加纯熟。

5.渗透数学思想，提高解题效率

数学思想反映着数学的本质和规律，无论是理解数学概念还是解决数学问题，适当应用数学思想方法，有助于学生化繁为简，提高学习和探究的效率。比如，在学习“等比数列”时，如果能够利用“类比思想”，将其和“等差数列”进行综合比较，然后根据等差数列的特点来推断等比数列可能具有的性质，便能有效简化探究过程，同时能构建知识系统。而在解决集合运算的问题时，如果能运用“数形结合”，即以韦恩图或数轴来表示集合，便能提高运算的准确性。所以，在高三数学习题训练中，教师要引导学生主动运用数学思想，以提高学生的解题效率。

但是部分学生并不擅长运用化归思想，需要教师再指导学生采取数形结合法，大致步骤如下：将转化成椭圆方程：，然后画出该椭圆，而所表示的就是椭圆上的点到原点的距离的平方。之后根据图示判断哪种情况下椭圆上的点到原点的距离的平方最大或最小，而后求出的最大值和最小值。

此外，倡导学生在日常练习中注意总结数学思想方法的使用情况，比如：遇见绝对值符号便展开分类讨论;遇见斜率、截距、距离等问题便采取数形结合等等。通过这种训练方式，可以帮助学生在解题过程中尽快找到最优解法，并使学生对数学的本质产生更深层次的认识。

6.指导反思总结，加强错题整理

高三复习不仅是巩固基础、提升能力的过程，更是学生查缺补漏的良机。而在集中性的习题训练中，学生必定会出现各种各样的错误，这暴露了学生的薄弱之处，同时也给学生自我提升指明了方向。所以，在高三数学复习阶段，教师要引导学生对错题进行反思和总结，并根据自己的学习规律整理错误资源。一来避免学生重蹈覆辙，二来让学生在反思、总结、归纳、整理的过程中不断弥补自身不足，得到数学解题能力的持续提升。

例如：函数的图像与X轴只有一个交点，求实数m的取值范围。

这道题虽然难度不深，但却不能过于轻视，很多学生直接判断，解得或。在笔者的指导下，学生进行如下反思和总结：

①错因分析：结果缺失，没有考虑系数为零的情况;

②正确解法：先考虑当时，，该一次函数图像为一条直线，与X轴只有一个交点。故本题正确结论为：{-3，0，1};

③自我反思：在处理这类问题时，首先应考虑二次项系数是否为零，如果不能确定，要进行分类讨论……

另外，针对一些比较典型的错题，学生则将其进行分类，整理在错题集上。而教师定期收集学生的错题本，了解学生普遍存在的问题，据此改善教学方法。通过以上方式，可以培养学生自检自治的意识和能力，并提高学生数学解题的正确率。

总之，在高三数学复习阶段，教师要全面考虑学生在解题过程中所遇到的困境，据此创新习题教学的方法和形式，争取让学生在夯实基础、掌握技巧的同时，形成良好的学习习惯，最终促进学生数学各方面素养的提升，为学生参加数学高考提供有力支持。

参考文献：

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本文系福建省教学科学“十三五”规划2020年度课题：打数据驱动的高中生数学学习监控与精准干预行动研究（课题编号：FJJKKB20-790）系列论文之一

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