关于柯西-施瓦茨不等式的证明与推广

江明泽

摘 要：柯西-施瓦茨不等式是一个在数学许多方面当中都有应用的一个重要的不等式。本文主要介绍了几种关于柯西-施瓦茨不等式的几种证明方法和推广形式。

关键词：不等式;微积分;向量空间

1.介绍

柯西生于法国巴黎，其在很小的时候就表现出了极高的数学天赋，在数学领域有着很高的建树和造诣。施瓦茨，与柯西一样都是法国数学家，他主要在分析学、微分方程、几何学等数学分支有着深厚造诣。柯西-施瓦茨不等式就是以他们的名字来命名的。该不等式是由柯西在1821年所提出的，其积分形式是由俄国数学家布尼亚克夫斯基在1859年所提出，并且该积分形式的现代证明是在1888年被施瓦茨所提出。故而该不等式又被命名为柯西-布尼亚克夫斯基-施瓦茨不等式。柯西-施瓦茨不等式在微积分甚至其他数学领域中都有着广泛的应用。本文主要介绍了一些关于柯西-施瓦茨不等式的不同证明方法与推广形式。

2.柯西-施瓦茨不等式的证明

定理1若f（x）、f（x）在[a，b]上可积，则

证法 1重积分法

□

证法 2辅助函数法

构造辅助函数如下：

對两边求导有：

故F'（t）≥0，t∈[a，b]，即F（t）是增函数，当a<b时，F（b）≥F（a）=0，

□

证法 3内积法

引理1 对于向量空间V的任意两个向量α，β有以下不等式：

下面利用该引理来证明。

首先在区间[a，b]上定义：

其中f（x），g（x）为[a，b]上的可积函数，接下来要证是向量空间上C[a，b]的一个内积。

（1）任取，有唯一的对应

（2）

（3）

（4）

其中k为任意实数

（5）若，则

所以是连续函数空间C[a，b]上的一个内积。

由得

故由引理有

即

□

3.柯西-施瓦茨不等式的推广

定理2（hölder不等式）若f（x）、g（x）在[a，b]上可积，且则

其中

证明

引理2（Young不等式） 设p，q>0，，则当1<p<+∞时，有以下不等式成立

当且仅当时等号成立。

下面利用引理2来证明。

由引理2有

两边在区间[a，b]取定积分，则有

即

□

当时该不等式即为柯西-施瓦茨不等式

参考文献：

[1]陈纪修.数学分析（上、下）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]华东师范大学数学系. 数学分析（上、下）第四版[M].北京：高等教育出版社， 2010.

[3]王萼芳 石生明. 高等代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社， 2019.

[4]闻厚贵.不等式证法[M].北京：北京师范学院出版社，1987.

3803500338231