利用导数研究含参数函数的单调性

李喜才

摘 要：函数的单调性是函数的一个最重要的性质，没有之一，也是高考重点考察内容，对于熟悉的基本初等函数单调性，我们是容易确定的，但对一些超越函数，特别是含参数函数的单调性，就不那么容易确定了，这时就需要借助导数这个工具来研究含参数函数的单调性，本文介绍利用导数研究含参数函数单调性分三种类型。

关键词：导数;参数函数;单调性

利用导数研究函数单调性的步骤：（1）先确定定义域;（2）求导，找出所需函数;（3）确定参数分类讨论的临界值;（4）分析导函数零点，画出导函数图像。

类型一;导函数为含参的“一次函数”类型

例1.（2015年新课标全国Ⅱ卷）已知函数（1）讨论函数的单调性.

分析：函数定义域为，，令

决定导函数符号的部分是，是一次函数类型，所以分类讨论情况分为以下三类;

解：函数定义域为，，令

当时，由，得，

即，则在上单调递增

当时，①当时，，即，所以在上单调递增，

②当时，，即，所以在上单调递减。

综上，当，在上单调递增;当时，在上单调递增，在上单调递减

例2（2012年新课标全国卷）已知函数，（1）求的单词区间。

分析：，观察函数的图像，共同点：定义域内单调性明确，函数最多有一个零点，令，所以可以看成是“一次函数”类型

解：函数的定义域为R，，令，则，又因为，所以分类讨论的临界值为0，分类讨论情况为以下三类：

当时，所以的单调增区间为，无单调递减区间;

当时，若，则.当时，，当，

所以的单调减区间为，单调增区间为

综上，当，的单调增区间为，无单调递减区间;

当时，的单调减区间为，单调增区间为

类型二：导函数为含参的“二次函数”类型

例3（2018年新课标全国Ⅰ卷）已知函数（1）讨论函数的单调性。

分析：函数的定义域为，，决定导函数符号的部分是，是二次型函数

解：函数的定义域为，，令

（观察导函数表达式）

当时，即，所以在单调递减

当时

①当，即时，有两个不等实根，即

①当，所以在和单调递减;②当时，，在单调递增。

综上，当时，在单调递减;

当时，在和单调递减，在单调递增。

例4.求函数的单调区间

分析：，

是“一次函数”类型

故可看成“二次函数”类型。当时，，由，找到分类讨论的临界值为0.

解：函数的定义域为R，，

当时，，的单调递减区间为，单调递增区间为

当时，时，（比较导函数零点的大小）

①当，即时，的单调递增区间为和，单调递减区间为

②当，即时，的单调递增区间为，无递减区间。

③当，即时，的单调递增区间为，单调递减区间为

综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为

当时，的单调递增区间为，无递减区间，

当时，的单调递增区間为和，单调递减区间为

类型三：导函数为含参的“其它函数”类型，需二次求导转化到前两种类型

例5.已知函数，若函数在区间上有最值，求实数的取值范围。

分析：，不是“二次函数”类型，二次求导化为“一、二次函数”类型

解：函数的定义域为，，令

当时，，即在上递减，此时，要函数在区间上有最值，则只需有零点即可，即，即

当时，，

①当时，，在时恒成立，即在上单调递增，，

即，即在上单调递减，不存在最值，舍去

②当时，，时，恒成立，即单调递减，，

即，即在上单调递减，不存在最值，舍去。

③当时，，即在单调递减，在单调递增，，即，即在上单调递减，不存在最值，舍去。

综上，实数的取值范围是.

参考文献：

[1]龚亮亮. 例谈利用导数判断带参数函数的单调性[J]. 数理化解题研究，2019，（19）：14-15.

[2]严厚飞. 利用导数求解含参数函数单调性问题的策略[J]. 高考，2018，（35）：192.

[3]李扬. 例谈如何利用导数来判断含参数函数的单调性[J]. 数学大世界（教师适用），2011，（08）：57-58.

2019501186224