透过现象看本质，培养素养树德人

王健新

摘 要：在《普通高中数学课程标准（实验）》修订稿中，提出了数学学习的六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析。在圆锥曲线中，“中点弦”问题是高考常考考点，是教学的重点也是难点。在教学中，充分发挥学生的数学建模、数学运算、逻辑推理、直观想象等能力，推导出圆锥曲线“中点弦”问题的解法以及统一记忆公式，培养学生核心素养，立德树人。

关键词：高中数学;核心素养;立德树人

查阅近10多年新课标数学高考文理考卷， “中点弦”问题的题目共出现8次，是高考的热门考点，属中档题。学生在考试中遇到“中点弦”问题，往往得分较低。笔者认为，一方面，在于学生对此类问题理解不够深刻，缺乏解题模型的建立;另一方面，对“中点弦”问题公式的理解不够深入，不能统一理解并记忆公式。

为此，本人在讲授该问题时，通过对典型例题的讲解，从数学建模、数学运算、逻辑推理、直观想象等方面进行多维度探讨，得到“中点弦”问题的本质公式，培养了学生的核心素养，培养学生勇于探索勇于创新。以下是本人的教学片段：

【2015新课标2 理20】已知椭圆，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;

师：这道题有什么条件？要证明什么？如何联系起来？

生1：该题给了椭圆方程、弦AB、中点M，证明：定值。

生2：“中点弦”问题，设直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理，求出M的坐标，然后证明。

生3：“中点弦”问题，设A、B、M的坐标，用点差法，通过变形可证明。

师：“中点弦”问题常见有两种解法，大家选其中一种来尝试证明结论。

【解法一】（学生呈现）设直线l的方程，

联立得：

，

故，.，

则.

所以直线的斜率与l的斜率的乘积为定值.

【解法二】（学生呈现）设 ，

则

在椭圆上，， 得：

，所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

师：方法一，韦达定理法难点在运算，方法二，点差法难点在变形，两种方法都很好。

师：对于椭圆，直线l与椭圆有两个交点 、，线段的中点为，直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值吗？如果是定值，定值为多少？

生4：可以用上面两种方法再算一次就行。

生5：用点差法更好，相减移项变形可得：。

师：对于曲线，直线l与曲线有两个交点 、，线段的中点为，直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值吗？如果是定值，定值为多少？

生6：用点差法，相减移项变形可得：。

师：曲线可以表示什么图形？

生7：可以表示圆，椭圆，双曲线。

师：很好，也就是说对于椭圆和双曲线共4种方程都适合。抛物线或的“中点弦”问题，也满足直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值吗？

生8：用两种方法都无法求出乘积为定值。

师：可以用点差法进行变形求出定值么？

生9：不行，不具备的形式特点。

师：以为例用点差法求解，当化到时，只需，便可得到，依然是定值。同理，当抛物线时，可得。由以上的推导，发现圆锥曲线“中点弦”的定值问题公式较多，能否把统一记忆呢？

师：“中点弦”的定值问题是斜率乘积为定值。斜率是纵坐标除以横坐标，那么两斜率的乘积就是纵坐标2除以横坐标2的形式。

生10：椭圆和双曲线满足，但抛物线好像不满足。

师：我们利用点差法求抛物线的“中点弦”问题时，只要补项或，等号左边有的形式，等号右边的化为或化为，就为定值。

【小结】

椭圆、双曲线需要移项才能得到的形式，移项后等号的右边有“-”，抛物线需要补项变形才能得到有的形式，等号右边就是定值结果。

笔者认为，在教学中，重视学生思维的引导，培养学生数学抽象、逻辑推理能力，重视学生运算的规范，培养学生数学数学建模、数学运算能力，重视知识的反思与总结，培养学生敢于探索、勇于创造的优秀品质。让学生在关注知识与技能的同时，思考知识与技能所蕴含的数学本质、体现的数学思想，最终实现学生形成和发展数学学科核心素养的目标。

參考文献：

[1] 马云鹏 . 关于数学核心素养的几个问题 [J]. 课程 . 教材 . 教法，2015（9）

[2] 史宁中 王尚志  普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）解读[M]  高等教学出版社2020.11

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