四阶两点边值问题3个对称正解的存在性

达举霞

(兰州财经大学长青学院，兰州 730070)

在弹性力学和工程物理学中，四阶常微分方程边值问题用于刻画弹性梁的平衡状态. 目前,关于四阶两点边值问题与四阶多点边值问题的研究已有很多结果. 例如，周韶林等[1]运用不动点理论获得了四阶三点边值问题

u(4)(t)=g(t)f(u(t)) (t[0,1]),

u(0)=u′(0)=u″(β)=u″(1)=0

正解的存在性结果,这里β[1/3,1]为常数,gC([0,1],[0,+))；达举霞和韩晓玲[2]运用锥上的不动点定理获得了非线性奇异四阶三点边值问题

u(4)(t)=a(t)f(t,u(t)) (t[0,1]),

u(0)=u′(η)=u″(1)=u″(0)=0

y″+f(y)=0(0≤t≤1),

y(0)=0=y(1)

对称正解的存在性,其中f:→[0,+)连续. 近年来，常微分方程边值问题在理论和应用中起到很大的作用，主要用来描述大量的物理、生物和化学现象及一些结构性变的讨论等，且这些都转化为了某种形式的四阶边值问题的研究[4-15].

在文献[3]的基础上，本文研究四阶两点边值问题

u(4)(t)=f(u(t)) (t[0,1]),

u(0)=u(1)=0,u″(0)=u″(1)=0

(1)

正解的存在性,其中f:→[0,+)连续. 在f满足适当增长条件下,证明了问题(1)在其边界条件下至少存在3个对称正解.

1 预备知识

定义1[3]设E是一个实的Banach空间，一个非空闭凸集K⊂E是E上的一个锥，如果满足下面2个条件：

(i)若xK,>0,则xK;

(ii)若xK，-xK,则x=0.

定义2[3]若算子A是连续的且映有界集到列紧集，则称算子A全连续.

定义3[3]设E是一个实的Banach空间，并设P是E上的锥，对∀x,yP,t[0,1]，若有

α(tx+(1-t)y)≥tα(x)+(1-t)α(y)，

则映射α:P→[0,+)是一个凹函数. 相似地，若有

β(tx+(1-t)y)≤tβ(x)+(1-t)β(y)，

则映射β:P→[0,+)是一个凸函数.

设γ、β和θ是P上的非负连续凸函数，α、ψ是P上的非负连续凹函数，则对正数h、a、b、d、c，定义如下凸集:

P(γ，c)={xP:γ(x)

P(γ,α,a,c)={xP:a≤α(x),γ(x)≤c}，

Q(γ,β,d,c)={xP:β(x)≤d,γ(x)≤c}，

P(γ,θ,α,a,b,c)={xP:a≤α(x),θ(x)≤b,γ(x)≤c}，

Q(γ,β,ψ,h,d,c)={xP:h≤ψ(x),β(x)≤d,γ(x)≤c}.

下面给出广义Leggett Williams 不动点定理：

定理1[3]设锥P⊂E,α和ψ是定义在P上的非负连续凹函数且γ、β和θ是定义在P上的非负连续凸函数,对正数c和M,有α(x)≤β(x)且‖x‖≤Mγ(x) (x假设是全连续的,且存在正数h,d,a,b(0

(i){xP(γ,θ,α,a,b,c):α(x)>a}≠∅且α(Ax)>a(xP(γ,θ,α,a,b,c));

(ii){xQ(γ,β,ψ,h,d,c):β(x)

(iii)当α(Ax)>a，有θ(Ax)>b(xP(γ,α,a,c));

(iv)当β(Ax)

则A至少有3个不动点x1,x2,x3使得

β(x1)

2 对称正解的存在性

考虑问题

u(4)(t)=h(t)

满足问题(1)条件的格林函数

(2)

且格林函数有如下性质

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

P={uE|u(t)≥0,u(t)=u(1-t),∀t[0,1],且u是

2t3‖u‖}.

在此锥P上定义非负连续凹函数α、ψ和非负连续凸函数β、θ、γ，且

其中，t1、t2和r是非负数且0

对∀uP，有

(9)

(10)

则uP是问题(1)在其边界条件下的解当且仅当

下面给出本文的主要结果.

则四阶两点边值问题(1)有3个对称正解u1、u2、u3,使得

证明定义全连续算子A为：

若uP,由G(t,s)性质可知,Au(t)≥0且(Au)″(t)≤0(0≤t≤1),Au(t3)≥2t3Au(1/2)，且

Au(t)=Au(t-1)(0≤t≤1)，

从而可得AuP,即A:P→P. 因此,对∀uP,由式(9)及式(10),有

设u则由式(3)可得

由定理1可得：

(i)设uQ(γ,β,a,c),有则β(Au)

(ii)设uQ(γ,β,ψ,8a/r3,a,c),则β(Au)

(iii)设uP(γ,α,b,c),有则α(Au)>b. 推导如下：

(iv)设u则α(Au)>b. 推导如下

综上,由广义Leggett-Williams不动点定理[16]可得四阶两点边值问题(1)有3个正解u1,u2,u3使得

α(u1)>b,β(u2)a.