锂离子电池多因素动态生热率模型*

潘海鸿 ，李熠婧 ，张 沫 ，梁 刚 ，陈 琳

（1. 广西大学机械工程学院，南宁 530004；2. 广西电化学能源材料重点实验室，南宁 530004）

前言

锂离子电池因能量密度高、循环寿命长、成本价格低等特点成为电动汽车的主要储能装置［1］。电动汽车中锂离子电池包结构紧凑，在大倍率工作过程中会产生大量热量，发生热量聚集，使电池包温度过高，极易引发危险［2］。锂离子电池内部产生的热量主要由电池内阻产生的不可逆热和电化学反应产生的可逆热组成［3］。建立合理的锂离子电池生热率模型是准确预测电池温度的必要基础［4］，对车用锂离子电池热管理系统的开发具有重要意义。

目前广泛使用Bernardi 数学模型［5］建立锂离子电池生热率模型，但是对模型中的可逆热与不可逆热中的模型参数处理并没有统一的依据。文献［6］中分析不同温度对电池温升的影响，忽略可逆热计算出不同环境温度下1C 恒流放电时的电池生热率，结合电池三维传热数学模型建立锂离子电池三维有限元模型。文献［7］中忽略电池可逆热构建了电池温度随倍率和SOC 变化的放电生热率模型，其1C 恒流放电的均方根误差为1.1 ℃，1.5C 恒流放电的均方根误差为3 ℃。文献［8］中基于Bernardi模型分析锂离子电池热特性，指出可逆热对电池生热率的动态影响不可忽略。文献［9］中通过实验发现决定电池不可逆热的内阻受温度和SOC影响较大并拟合内阻关于温度和SOC 的函数，考虑SOC 对可逆热的影响拟合温熵系数关于SOC 的函数，并针对圆柱形锂离子电池建立三维电池放电生热模型，但模型未考虑温度对可逆热的动态影响。文献［10］中通过实验研究电池温升影响因素时，发现温度通过影响温熵系数而影响电池可逆热的产生。文献［11］中在不同温度下测量电池不同SOC 的开路电压，拟合得到不同SOC 下的温熵系数关于温度的函数，但在其生热分析中未将温熵系数拟合成关于连续的SOC 函数。文献［12］中根据放电实验数据采用多项式拟合得到电池放电时内阻关于温度和SOC 的连续性函数，在不同温度下拟合温熵系数关于SOC 的函数，但未拟合温熵系数关于温度的连续性函数。文献［13］中在计算生热速率时，同时考虑温度和SOC 对电池可逆热和不可逆热的影响，从而得到受温度和SOC 影响的电池放电生热率模型。总体而言，对电池生热率的研究现有的方法大多考虑温度和SOC对电池生热率的动态影响。文献［14］中指出充放电倍率对内阻的影响不可忽略。由于实际工况中电池充放电倍率、温度以及SOC对电池生热率均有影响，因而结合电池实际运行工况提出融合多种影响因素（温度、SOC和充放电倍率）建立准确的电池生热率模型。

如何从在线可测量参数（温度、SOC 以及充放电倍率）中寻求与Bernardi 数学模型参数的关联，找到适应于电池充电、放电和充放电循环工况下的生热率模型是电池热管理亟待解决的关键问题之一。为此，提出建立根据温度、SOC 和充放电倍率多个影响因素建立内阻模型和温熵系数模型，并将其引入到Bernardi模型构建出电池多因素动态生热率模型；然后，基于所构建的动态生热率模型并结合计算流体动力学（computational fluid dynamics，CFD）仿真分析法的电池传热机理，开发用户自定义函数（user defined function，UDF）仿真程序；最后，采用 Fluent仿真迭代获取不同工况下电池的动态生热率和动态温度。

1 建立多因素动态生热率模型

1.1 Bernardi生热率模型

基于能量守恒定律的Bernardi 生热率模型来获取电池的生热速率，计算如下：

式中：q为锂离子电池单位体积生热率，W·m-3；V为电池体积，m3；E为开路电压，V；U为工作电压，V；I为工作电流，A，充电电流为正值，放电电流为负值；T为热力学温度为温熵系数，V·K-1。

因充放电过程中的开路电压和工作电压难以直接测量，令E-U=I(Ro+RP)，即

式中：Ro为欧姆内阻，Ω；Rp为极化内阻，Ω；R为等效内阻，Ω。

1.2 Bernardi生热率模型参数

选用电池型号为LR1865SZ 三元锂离子电池为研究对象。通过内阻和温熵系数实验获取电池在不同温度、SOC 和充放电倍率下的内阻以及温熵系数实验数据，建立多因素下（温度、SOC及充放电倍率）对应的动态等效内阻模型和不同温度及SOC下的动态充放电温熵系数数学模型。

1.2.1 建立多因素的动态内阻数学模型

采用多倍率HPPC 内阻测试方法实现对内阻进行高精度、高效率的测试［15］，获得电池工作过程中的动态内阻。而后采用最小二乘法的二元四次多项式拟合构建温度T和SOC与R的函数关系，并确定该二元四次多项式函数的系数；此外，用三次样条插值算法将充放电倍率与该二元多项式系数建立函数关系Aij，将系数函数Aij代入二元四次多项式构建以T、SOC及充放电倍率C为自变量，内阻R为因变量的动态内阻数学模型。

1.2.2 建立动态温熵系数数学模型

温熵系数影响电池在充放电过程中电化学反应热的存在形式，当温熵系数为正值时，电化学反应热为吸热形式；当温熵系数为负值时，电化学反应热则为放热形式。采用量压法测量电池温熵系数［9］，获取不同温度下温熵系数在充电过程与放电过程中随SOC的变化规律，基于最小二乘法拟合不同温度区间的温熵系数关于SOC的一元七次多项式函数，不同温度区间的函数系数矩阵为an，得到不同温度区间（5～15 ℃、15～35 ℃和 35～55 ℃）下以SOC为自变量、温熵系数为因变量的动态温熵系数数学模型。

1.3 多因素的Bernardi生热率模型

将 1.2 节 中 获 取 的 参 数R(T，SOC，C) 和代入式（2）中，与实时充放电电流I和电池温度T建立锂离子电池的多因素动态生热率模型。

根据建模流程图（见图1）计算电池处于充电、放电及充放电循环工况下任意时刻的电池单位体积生热率q。

2 动态生热率模型仿真

对构建的多因素动态生热率模型采用热特性CFD 仿真迭代计算得到任意时刻电池动态生热率和动态温度场分布，分析电池传热机理，预测电池温度。

2.1 热分析仿真理论

锂离子电池生热率模型CFD 仿真分析时进行合理假设［12］：

（1）电池内部结构和材料以集总热物性参数表示，该参数不受充放电状态及SOC的影响，集总热物性参数如表1所示；

图1 动态生热率建模过程

（2）电池内部结构均匀，密度一致，固定比热容，导热系数分为径向导热系数和轴向导热系数，同方向的导热系数相等且不随电池温度变化；

（3）电池内部电流密度均匀，电池三维热模型均匀生热。

基于能量守恒定律与傅里叶定律，建立导热物体（电池）中温度场的数学表达式对电池温度场进行模拟计算。

式中：q为电池单位体积生热率，W/m3；ρcell为电池的集总密度，kg·m3；Ccell为集总比热容，J·kg-1·K-1；T为热力学温度，K；t为导热时间，s；λx、λy和λz分别表示电池在x轴、y轴和z轴方向上的集总导热系数，W·m-1· K-1。

表1 电池集总热物性参数

2.2 网格划分及边界条件设置

建立LR1865SZ 锂离子电池（直径18 mm，高65 mm）在自然对流条件下的三维模型并进行网格划分（见图2），其中空气流场尺寸为长120 mm、宽120 mm、高150 mm，电池单体表面的边界条件为给定电池表面对流换热系数以及电池周围的环境温度的第三类边界条件。在20 ℃的自然对流条件下，电池单体表面的对流换热系数为 5 W·m-2·K-1［6］，其雷诺数远小于临界雷诺数，选择层流模型（Laminar）。三维模型为对称模型，为提高仿真求解效率，提取1/4 模型进行不同充放电工况下的仿真，获得动态传热过程中的电池瞬态温度场分布。

图2 电池在空气中的三维模型及网格模型

2.3 CFD仿真不同工况下电池生热率

电池生热率的仿真主要分为以下3 种工况：（1）充电工况，0.5C、0.75C 及1C 恒流充电至截止电压4.2 V；（2）放电工况，1C、2C 及 3C 恒流放电至终止电压2.75 V；（3）大倍率充放电循环工况，以一次大倍率1C 充电至截止电压，再以一次大倍率3C 放电至终止电压。

根据动态生热率模型仿真流程（见图3），首先，基于代入多种因素（温度、SOC 及充放电倍率）影响的动态内阻数学模型和受温度与SOC影响的动态温熵系数数学模型所构建的多因素动态生热率模型，并分析电池传热机理，计算电池导热数学表达式（式（6））所需的集总热物性参数；然后，运用Solidworks建立电池在空气流场中的三维模型，在Hypermesh中对1/4的三维模型进行网格划分，确定电池初始温度和边界条件后针对3 种工况的多因素动态生热率数学模型分别开发充电、放电及充放电循环工况下的UDF 仿真程序；最后，分别在3 种工况下采用Fluent 仿真软件运用不同对应工况的UDF 程序，以1 s 为时间步长在各工况下实时迭代计算每个时间节点的电池生热率和网格单元体温度，从而获取电池的动态生热率和动态温度（见图4～图6）。

从图4～图6 中可知电池单体在不同充放电工况下的温度场分布均呈现相同的规律：①电池温度的仿真值Tsim从底端至顶端逐渐增加，从电池表面至中心逐渐递增，电池最高温度均在电池顶端的中心，最低温度在电池底端的外表面温度；②在恒流充/放电和循环充放电工况下，单体电池的最高温度、最低温度及温差（单体电池最高温度与最低温度之差）均随着充放电倍率的增加而升高。

图3 动态生热率模型仿真过程

图4 不同倍率恒流充电工况电池温度分布

图5 不同倍率恒流放电工况电池温度分布

图6 充放电循环工况电池温度

各个工况具体仿真结果：恒流充电时，1C 恒流充电工况的电池温度最高，最高温度为305.32 K；恒流放电时，3C 恒流放电工况的电池温度最高为334.03 K；大倍率充放电循环时，电池的最高温度为330.95 K，此时最高温度略低于3C 恒流放电最高温度，这是由于电池热量主要产生于放电阶段，且3C放电过程中由内阻产生的不可逆热在电池生热率中占主导地位。

3 实验测试与验证

3.1 电池表面温度测试

在搭建的电池充放电测试实验平台上进行电池表面温度的测量：阿尔泰DAM-3038 作为温度采集卡（精度为0.2%）、TT-T30SLE型热电偶作为温度传感器（范围为-200 ℃至150 ℃，精度为±0.25 ℃），如图7所示。被测电池竖直放置在20 ℃的自然对流空气场，在电池表面中部设置温度采集点，采集通道CH1采集记录工作过程中电池的动态温度数据。

图7 电池表面温度测试实验

3.2 电池表面温度实验与仿真对比

图8 电池表面温度仿真与实验结果

3种工况下的电池表面温度的实验值Texp与多因素动态生热率模型的仿真值Tsim的曲线变化见图8。用最大绝对误差（maximum absolute error，Max. E）、平均绝对误差（mean absolute error，MAE）、均方根误差（root mean square error，RMSE）和相对误差绝对值的平均值（mean absolute relative error，MARE）作为仿真模型的评估指标，Texp与Tsim的误差对比见表2。

表2 各工况下仿真值与实验值的误差

由图8和表2可知：（1）单体LR1865SZ锂离子电池在3 种工况下，在对应的各充放电工况时间内，相同充放电倍率下电池表面Tsim随时间变化的曲线与Texp的曲线变化基本一致（见图8（a）和图8（b））；图8（c）中的1C恒流充电Tsim和Texp的曲线与图8（a）中1C恒流充电Tsim和Texp的曲线几乎全部吻合，在充电结束时误差变小，因此图8（c）中Tsim和Texp在拐点处匹配度较高，这说明仿真值与实验值之间保持较好的一致性。

（2）在恒流充电和恒流放电工况下，随着充放电倍率的增加Max.E、MAE 和RMSE 的值有所增加，但其MARE 基本不变，这是由于所构建的动态生热率模型充分考虑充放电倍率对内阻引起的不可逆热生成速率的影响，有效消除充放电倍率变化带来的电池生热率误差。

（3）3 种工况下的最大误差发生在大倍率循环充放电工况，其 Max. E、MAE、RMSE 和 MARE 分别为3.25 ℃、1.328 ℃、1.471 ℃和2.91%。

（4）电池在恒流充电时间为2 000 s 时，充电倍率 为 0.5C、0.75C 和 1C 的Tsim分 别 为 23.53 ℃ 、26.01 ℃和29.64 ℃；电池在恒流放电时间为500 s时，放电倍率为 1C、2C 和 3C 的Tsim分别为 22.72 ℃、31.85 ℃和44.44 ℃。结果表明：电池的温升速率随着充放电倍率的增大而增大。主要原因可由式（2）分析得出：电池可逆热的生成速率与充放电倍率近似成正比，不可逆热的生成速率与充放电倍率的平方近似成正比。

（5）在恒流充电和恒流放电工况下，电池的温升速率均为先大后小，是因为电池在充放电的初期，电池温度较低导致内阻较大，电池的生热速率较大，且此时电池与外界环境温差较小，导致电池的散热速率较小；随着电池温度的上升导致内阻减小，电池的生热速率逐渐减小，电池与外界环境的温差增大，散热速率增大。

以上分析说明所构建的动态生热率模型能够适用于充电、放电和充放电循环工况，具有良好的多工况适用性和有效性。该动态生热率模型融合温度、SOC 和充放电倍率，能够准确预测工作中任意时刻的电池温度场分布，减小不同充放电倍率下的生热率仿真误差和提高模型精度。基于Bernardi 数学模型构建的多因素生热率模型相比于其他复杂模型（如电化学模型），建模过程中更加容易进行数学处理和实验设计。该数学模型只需要根据电池的电性能参数就能够通过迭代计算预测电池充放电时的温度。

4 结论

通过分析Bernardi 生热率数学模型中的动态参数的影响因素，建立了以温度、SOC和充放电倍率为因变量的动态内阻数学模型和以温度和SOC为因变量的动态温熵系数数学模型，并将这两个动态参数模型融入到Bernardi 生热率模型，构建出适合充放电状态的多因素动态生热率模型。

将该模型与电池传热机理结合，采用CFD 仿真出电池在3 种不同工况下的电池动态生热率和动态温度，并与实验测试对比，该模型对电池温度具有较高的预测精度，预测误差不超过3%。这表明所建立的多因素动态生热率模型适用于电池充电、放电及充放电循环工况，能够有效仿真不同工况下的动态电池生热率和动态电池温度，准确预测电池温度场分布。

目前所构建的动态生热率模型仅对单体电池进行仿真和实验验证，未针对电池包进行验证，后续将动态生热率模型应用在电池包，对适用于电池包的生热率电池模型进行研究。