蝴蝶效应的数学模型

廖君华+姚振宇

【摘要】所谓蝴蝶效应是指一个很小的扰动，在特定条件下可能被不断放大的一种现象.本文通过对牛顿迭代法混沌动力特性的研究，发现一个混沌动力常数，并由此给出一个蝴蝶效应的数学模型.

【关键词】单纯区间；单纯点；单纯点树列；倍率

混沌动力学是复杂性科学的一个重要分支，也是近三十年来的一个热门学科.混沌（Chaos）是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动.一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象.混沌是非线性系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象，牛顿确定性理论能够处理的多为线性系统，而线性系统大都由非线性系统简化而来.因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的.

混沌现象最初是由美国气象学家洛伦茨，在20世纪60年代初研究天气预报中大气流动问题时偶然发现的.1963年，Lorenz在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”一文，指出在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期与不可预见性之间的联系.他还发现了混沌现象“对初始条件的极端敏感性”.这可以生动地用“蝴蝶效应”来比喻：在做气象预报时，只要一只蝴蝶扇一下翅膀，这一扰动，就可能在很远的另一个地方造成非常大的差异甚至引起风暴，将使长时间的预测无法进行.

以函数f（x） = x3-x为例，用牛顿迭代法求其零点.计算结果表明，当初始值取在不同区间上时，迭代将会收敛于不同的值.本文探索这其中更深刻的量化规律性.

由于f（x）是奇函数，仅在[0，+∞） 区间上取初始值作牛顿迭代法计算，下表所列是以步长b = 10-14 进行搜索得到的结果：（程序采用双精度进行计算，步长b虽可再降低两个数量等级，但考虑到计算误差，仅取 b = 10-14）

定义1 表中的各区间称为收敛于其迭代结果的单纯区间.

例如I5（第五号区间）是收敛于+1的单纯区间.

定义2 收敛于不同值单纯区间的分界点称为单纯点.

若以xi表示单纯区间Ii的左端点，则除了x20 = 0外，所有xi都是单纯点.而收敛于零的单纯区间是（-x19，x19），所以x20不是单纯点.另外，x1正巧是函数f（x）的驻点.

定义3 称单纯点构成的数列为单纯点数列.

规律1 单纯数列是单调有界的.

规律2 在单纯区间中，除最后一个I20是收敛于零之外，其余的单纯区间交错收敛于+1和-1.

计算表中从I2到I19各相邻单纯区间的长度之比，得到以下数列：

7.26，6.18，6.03，6，6，6，6，6，5.99，6，5.99，6，5.99，5.99，6，6.33，3.

这一数列的主基调明显是6，第一项偏离的原因与x1是驻点有关，最后一项偏离的原因与计算精度有关.

定义4 在以上数列中，去掉第一项与最后一项之后的平均值称之为函数f（x）的倍率.

这反映了牛顿迭代法的混沌动力学特性.

规律3 函数f（x） = x3 -x在[0，+ ∞）上具有倍率6.

由于f（x）是奇函数，所以有

规律4 函数f（x）在（-∞，0]上的单纯区间与[0，+∞）上的单纯区间以x=0点为对称，但迭代收敛值互为相反数.在x=0点两旁具有相同的倍率，即f（x）在（-∞，+∞）上倍率为6.

（上述结论已有严格的数学证明，将另行发表）

规律5 由于单纯区间的长度以1[]6的等比率递减，所以单纯点数列在[0，+∞）上存在一个极限点λ，在（-∞，0]上存在一个极限点-λ.（上表中x19就是λ的近似值 ）

综上所述，f（x）有两个驻点±x1，两个极限点±λ.（-∞，-x1]是收敛于-1的单纯区间，（-λ，λ）是收敛于零的单纯区间，[x1，+∞）是收敛于+1的单纯区间.而区间（-x1，-λ）与（λ，x1）则是对初始值高度敏感的区域，或称之为混沌区域.在混沌区域中单纯区间的长度以16比率无限减小，而单纯点数列无限逼近于极限点.这表明在极限点附近一个无穷小的扰动，将会引起迭代结果在不同点之间的激烈震荡.这正是蝴蝶效应.也就是说那只在几千公里之外引起大风暴的蝴蝶，应该在极限点附近扇动翅膀.（本文采用QBASIC 编程，可向有兴趣者提供）