以“数”解“形”，以“形”助“数”

姚慧

教学内容：人教版《义务教育教科书·数学》六年级上册第107页例1。

教学目标：1.通过从不同的角度观察图形，发现图形中隐藏着的数和式的规律，能用数和式来表达图形的规律，感悟形的问题中包含着数的规律;2.根据数或式，联想与之对应的图形，能借助图形来解释数和式的规律，感悟数的问题也借助形来解决;3.借助数形结合，探索发现从1开始的连续奇数之和与“正方形数”的关系，感受数形结合解决问题的优越性。

教学重点：充分感受数与形之间的紧密联系，体会数形结合思想。

教学难点：借助数形结合，探索发现从1开始的连续奇数之和与“正方形数”的关系，感受数形结合解决问题的优越性。

教学准备：课件、圆片图、探究学习卡。

一、谈话引入

（一）引出华罗庚名言

师：同学们，认识他吗？对，他就是我国伟大的数学家华罗庚先生。

师：华罗庚先生曾说过这样一段话，一起来读一读吧。

（课件出示：数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。——华罗庚）

师：谁能说说你对这段话的理解？（生答略）

师：正如你们所说，这段话的意思就是说：只有数，没有形，不够形象直观，只有形，没有数又难以分析得细致入微。数和形相辅相成，密不可分。

师：既然数与形的关系如此密切，今天，我们就一起来探究数与形的奥秘。

（师板书：数与形）

（二）解读“数”与“形”

师：在小学六年的数学学习里，其实我们每天都与“数”和“形”朝夕相处。那你们觉得“数”包含什么？

生：自然数、整数、分数、小数……

师：你们说得不错。不过，这里的“数”不仅包括整数、分数、小数这样的数，它包含的内容更广。想想看数与数还可以组成什么呢？

生：算式、等式、不等式……

师：对了。像数列、算式、等式、不等式等等同样属于“数”的范畴。

师：“形”又包含什么呢？

生：平面图形、立体图形……

师：除了平面图形、立体图形、想想看，我们还接触过哪些图形？……

生：线段图、统计图……

師：是的，这里的“形”包含的内容也很很广泛，还包括我们接触过的点子图、线段图、统计图等等。

二、以“数”解“形”：用“数”或“式”表达“形”中的规律

（一）借助“三角形”点子图 想 “数”和“式”

师：说到点子图，我们在一年级认识数的时候就接触过。今天，我们就借助它来探寻隐藏在图形中的规律。

1.用“数”表达“形”

如果用1个小圆点代表1，请看，这是哪个数？这个呢……

（师逐个课件出示4个“三角形”点子图，并结合生回答出示对应的4个“数”）

生：1、3、6、10。

2.用“算式”表达“形”

师：那如果用“算式”来 表达 小圆点的个数，可以怎么表达？第1幅图对应的算式就是？第2、3、4幅图呢？

生：1、1+2、1+2+3、1+2+3+4。

（师结合生回答课件逐个出示4个“三角形”点子图对应的4个“算式”）

师：我们就以最后这幅图为例，说说你是怎么观察得出算式的？

生：横看或斜看。（左斜、右斜）

师：那第4幅图对应的算式就是？第3、2、1幅图呢？（生答略）

（过渡）师：刚才我们从不同角度观察 一组图形，却都得出了同样的算式。是不是所有的图形都是如此呢？

（二）借助“正方形”点子图 想 “数”和“式”

1.用“数”表达“形”

师：大家看，这幅图可以表示哪个数？这个呢？这个呢？

生：1、4、9、14。

（师逐个板贴4个“正方形”点子图，并结合生回答板书对应的4个“数”）

（板书）

1

4

9

16

2.用“算式”表达“形”

（1）自主探究

师：仔细观察，你还能分别用“算式”来表达每个图形小圆点的个数吗？

下面请大家先独立思考，完成探究学习卡1。（课件出示活动要求）

（生探究学习，师巡视指导，选取代表性作业单）

（2）分享交流

师：老师邀请了几位同学上台分享，请分享的同学重点以最后一幅图为例，给大家说说你们是怎样观察和思考的。

①方法1：横向观察或竖向观察。（如图所示：或）

1×1、2×2、3×3、4×4

1、2+2、3+3+3、4+4+4+4

12、22、32、42

师：这些算式的观察角度一样吗？表达的意义一样吗？

生：一样，都是横向或竖向观察，都表示的是几行几列的正方形点子图。

师：来。我把你们的成果板书在黑板上。请所有同学一起，一边用手势比划这种观察的方法，一边说出对应算式。

师：你们很不错，通过横向观察、竖向观察，用 乘法算式 表达了图形的规律。

②方法2：斜向观察。（左斜或右斜）（如图所示：       或         ）

1+2+1、1+2+3+2+1、1+2+3+4+3+2+1。

师：我也把你们的成果也板书在黑板上。请所有同学一起，一边用手势比划这种观察的方法，一边说出对应算式。

师：你们很有想法。通过斜向观察，用这样的加法算式表达了图形的规律。

③方法3：折向观察。（如图所示：或或或）

1+3、1+3+5、1+3+5+7。

师：这位同学发现的规律比较独特，请你也以最后这个图为例，分享一下你是怎样观察思考的。

生：第一幅图形中有1个圆形，用1表示;第二幅图形是在1个的基础上增加了一个“┐”字形，增加了3个……

师：你们眼光可很犀利，还还想到这样 拐着弯来观察，用另一种加法算式 表达了图形的规律。

师：我把你的成果也板书在黑板上。请所有同学一起，一边用手势比划这种观察的方法，一边说出对应算式。

（3）巩固观察方法

师：借助划线的方法，我们能很直观地就看出了每个算式表达的规律。现在根据划出的线，你能很快速地说出相应的算式吗？（课件动画出示各种划出1根线标出观察方向的“正方形”点子图）

（4）沟通“数”、“算式”和“形”的联系

师：你们看。同样的图形，观察的角度不同，得出的算式就不一样。这些算式又有什么关系吗？

生：相等。

师：是的，这些算式都相等，而且都等于？

生：16。

师：为什么这些算式不同，结果却又完全相等呢？

生：那是因为这些算式都对应着同一副点子图。

师：那黑板上面的这几组算式结果相等吗？

生：相等，都等于9或4或1。

（过渡）师：形的问题包含着数的规律。那么，数的问题是否也可以借助形来思考呢？

（师板书）

三、以“形”助“数”：由“数”或“式”想“形”

（一）根据算式，想图形、平方数、其它算式

师：那现在如果给出1+3+5+7+9这个算式，你会想到什么？把你想到的都记录在探究学习卡2上。

（生探究学习，师巡视指导，选取代表性作业单）

师：你想到了什么？你是怎样想的？

生1：我会想到边长为5的点子图。1对应着边长为1的点子图……1+3+5+7+9应该对应着边长为5的点子图。

师：你能想到算式对应的图形，真棒。

生2：我想到了1+3+5+7+9=52。因为1+3+5+7+9这个算式对应的应该是4行4列的“正方形”点子图，所以，点子的总个数就是52。

师：你想到了借助图形来思考，真不错！

生3：我会想到1+3+5+7+9=5×5=1+2+3+4+5+4+3+2+1。我是先想到边长为5的正方形图，然后从横向观察就可以得到5×5，斜向观察就可以得到1+2+3+4+5+4+3+2+1。

师：你不仅联想到了算式对应的图形，而且还借助图形从不同的角度观察思考得出了其它的算式，真厉害。

（师结合生回答，动画出示课件）

师小结：正是因为1+3+5+7+9对应的图形是一个5行5列的点子图，边长为5，所以，它的总个数就是5×5=52=25个。

（二）根据平方数，想图形、和其它算式

师：这次提高难度，不动笔，看见62，你又会想到什么？（课件出示：62）

生1：62=36。

生2：看见62，我会想到边长为6的点子图。

生3：我还想到一个有6个加数的算式。1+3+5+7+9+11=62=36

生4：1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=62=36。

（师结合生回答，动画出示课件）

（小结）师：同学们，你们真不错，你们都能由数或算式联想到图形。同时，再借助这个图形，又联想到了它对应的其它算式。由数想形，又由形想数，实现了数与形的结合。

（三）以形解数、探寻规律

1.观察算式，体会规律

师：现在看看我们刚才研究的过程，（下转第24版）    （上接第23版）左边的算式有什么相同的特征？ 左边的算式和与右边的平方数之间又有什么联系呢？（同桌交流）

课件出示：

生1：几个奇数相加，和就是几的平方。

生2：都是从1开始的。

师：我们结合图形想一想，如果加数不从“1”开始，圖形会是怎样？结果还会是奇数个数的平方吗？

生3：而且还是连续的奇数相加。

师：我们再结合图形想一想，如果不是连续奇数相加，图形又会是怎样？结果还会是奇数个数的平方吗？

（课件演示：从1开始 的几个 连续 奇数的和 = 奇数个数2）

2.以形助数、验证规律

师：是不是这样呢？我们借助点子图再来看一看。（PPT动画演示）

1个小圆点，1个奇数，对应边长为1的正方形，总个数是12，

1+3个小圆点，2个奇数，对应边长为2的正方形，总个数是22，

1+3+5个小圆点，3个奇数，对应边长为3的正方形，总个数是32，

1+3+5+7，4个奇数，边长为4，总个数是42 。

继续这样下去，这个结论正确吗？

师追问：那正方形的边长到底与算式中的什么有关系呢？

生：奇数的个数。

师：是的，我们会发现，有几个从1开始的连续奇数相加，就能排成一个边长为几的正方形点子图，它的总个数就是几的平方。

3.归纳推理，总结规律

师：像这样从1开始10个连续奇数相加，它们的和等于多少？ 50个呢？100个呢？

师：像这样从1开始，n个连续奇数相加，就能联想到一个边长为几的正方形？得数就是？

生：边长为n，得数是n2。

板书：

师：要想快速求出从1开始的连续奇数相加的和，关键是要关注什么？

生：奇数的个数。

师：有几个奇数它们的和就是？

生：几的平方。

（小结）师：同学们，不知不觉中，其实刚才我们运用“正方形”点子图帮助我们解决了从1开始的连续奇数求和问题。

通过刚才的学习我们发现，原来形中有数，数中有形，数与形是相互关联的，这就是我们今天研究的“数与形”。

四、拓展延伸：数史介绍

微课视频：同学们，你们知道吗？正是因为1、4、9、16、25这些数都对应着正方形的点阵图，古希腊数学家 毕达哥拉斯 把它们形象地称为“正方形数”，又叫平方数。我们再来看，课前，我们用1个、3 个、6 个、10 个小圆片刚好都能排成三角形。因此 1、3、6、10、……这样的数被形象地称为三角形数。以9这个正方形数为例，如果将这个正方形一分为二，你会发现三角形数和正方形数之间还有着奇妙的联系。随着学习的不断深入，同学们还可以认识到更多有趣的数，比如，梯形数、五边形数等等。而且这些数与形之间也有着奇妙的联系，等待着同学们进一步地去发现。

五、课堂小结

（一）知识回顾

师：形的问题包含着数的规律，数的问题也可以通过形来解决，这就是数形结合的思想。请同学想一想，我们曾经还学过什么样的知识是数与形相联系的呢？

生1：我们借助图形理解分数、小数的意义，

生2：我们利用图形转化的方法，推导平行四边形的面积计算公式。

生3：我们借助图形寻找植树问题中棵树和间隔数的关系。

生4：这学期，我们借助长方形模型理解分数乘、除法的算理。

师：同学们说得非常好，你们看，其实数形结合的例子无处不在、比比皆是。而在今后的学习中，我还将继续利用数形结合思想来解决更多的问题。

（二）畅谈收获

师：再次回顾华罗庚先生的这段话，你能结合本节课中你印象最深刻的例子，谈谈你的收获吗？

生1：通过今天的学习，我学会了借助图形来思考问题，比如，连续奇数求和的算式，直接计算很麻烦，但如果能联想到它对应的正方形图，就能很快得出答案。

生2：今天的学习让我充分体会了数与形之间的联系，比如，看到一个数，我会去联想它对应的图形，看到一个图形，我也会试着去观察图形的规律，并用数或算式去表达这个规律。

师：的确。把数和形结合起来解决问题，可以使抽象的问题变得更直观，使复杂的问题变得更简单。而有关数形结合思想 还需要同学们在以后的学习中不断地探索和应用，相信它一定会成为你们学习的好伙伴。

板书设计：

五、教学思考

数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形是数学的两大研究领域，两者有着千丝万缕的联系。数形结合的思想对于小学生而言，在之前的学习中有所感知，但这种感知往往只是渗透在某个教学环节中。而数学广角——“数与形”，以一个章节的篇幅出示，我想其目的就是要帮助学生更好地建立数和形联系的纽带。

通过仔细研读教材和教参，笔者发现，人教版教材《数与形》这一章节的编排不管是数，还是形，都突出对规律的探索。于是，在笔者的第一次教学设计中，笔者也将教学重点定位于：引导学生探究和发现“正方形方格图”中蕴含的多种规律，并通过数形结合，探索发现从1开始的连续奇数求和算式和正方形数（即平方数）之间的关系。但是，在磨课后，笔者意识到如此定位教学重点有失偏颇，因为过重地强调了规律的探索，就会使感悟数形结合思想的教学目标流于形式。于是，笔者重新对本课进行了结构性的调整。

（一）整合资源，合理定位教学重点

在磨课过程中，笔者又研读了其它版本的教材，例如，北师大版教材在五年级上册——图形中的规律 这一章节中，也有“数与形”这一内容，但北师大教材与人教版教材的编排有很大的不同，人教版教材这一章节名为《数与形》，但却注重探索规律、应用规律，而北师大版教材这一章节名为《图形中的规律》，但却更注重于“由形想数”，突出从不同角度观察图形，发现规律，并得出不同的算式。两种版本的教材各有所长，各有侧重。

思考再三，笔者决定各取所长，为“我”所用。笔者认为，揭示数和形之间存在著的内在联系，让学生充分感悟数形结合的思想才是本节课的立足之本和核心目标。规律的探索虽然不能作为本课的教学重点，但可以作为数形结合的应用之一，借此让学生体会到数形结合在解决有些特定问题时的优越性，从而更深刻地感受数与形的密切关系。基于上述思考，笔者最终将教学重点定位为：充分感受数与形之间的紧密联系，体会数形结合思想。

（二）追根溯源，精心选择教学素材

对比人教版和北师大版的教材，在教学素材的选取上，人教版教材使用了小正方形图，而北师大版教材选择了点子图;到底如何取舍呢？通过查阅相关资料，笔者了解到“正方形数”其实有着深厚的文化背景，它是两千多年前古希腊数学家毕达哥拉斯研究正整数时发现的规律。“形数”原意为“石子”，毕达哥拉斯就是通过把小石子摆成不同的几何图形，然后从不同的角度来数出几何形体中的石子数， 从而发现了三角形、正方形数、多边形数等更多形数的特征。于是，笔者决定追根溯源，选择了用点子图作为本课的教学素材。

（三）数形结合，沟通数与形的联系

具体又从“由形想数”和“由数想形”两个方面来展开。

1.以“数”解“形”

（1）由“三角形”点阵图，想“数”和“式”

首先，给出一组“三角形”点阵图，引导学生观察图形得出数和算式，目的是让学生把从不同角度观察图形的经验顺势迁移到观察“正方形”点阵图中。

（2）由“正方形”点阵图，想“数”和“式”

其次，给予学生充分的时间和空间自主观察探究“正方形”点阵图， 有了观察“三角形”点阵图的经验，学生能自然联想到从横向、竖向、斜向，甚至倒L的方向等不同的角度观察图形， 由此获得不同的式的规律，而使学生观察问题的角度和思考问題的思维更加宽广、更加灵活。

2.以“形”助“数”

由数想形这个环节分为三个层次：

（1）根据算式，想图形，平方数、甚至其它算式

首先，提出问题“由1+3+5+7+9这个式子，你会想到什么？”放手让学生展开联想，自主完成探究学习卡2，进而发现了图形、算式、及平方数之间的联系。

（2）根据平方数，想图形和其它算式

给出62，让学生继续联想到对应的图形和其它算式，由数想形，同时又借形想数，实现了数与形的结合。

（3）以形助数、探寻规律。

最后，带领学生一起回顾前面得出的一组算式，通过生生、师生的交流互动，初步得出这组算式的规律，然后，通过图形验证得到的结论，推广到一般，发现蕴含在图形中的数学规律，最终，得出 从1开始的n个连续奇数的和，与边长为n的正方形存在着联系，并且计算结果是n2。以此，发展学生的合情推理能力，培养学生几何直观的意识和能力，也进一步渗透数形结合的思想。

（四）数史介绍，有机渗透数学文化

1.课前由华罗庚的名言引入，直奔主题，让学生初步体会数与形的关系;课末，通过再次回顾华罗庚先生的这段话，让学生能结合本节课中印象最深刻的例子，畅谈收获。这样首尾呼应，使学生对数学结合思想的感悟得以升华。

2.出示课题“数与形”后，引导学生说词解字，同时，传递给学生一个理念：“数”与“形”的涵义远比我们原来理解的范畴更广泛。

3.引导学生感受三角形数和正方形数的奇妙联系，做到一图多用，再次感受数形结合思想，同时，通过介绍各种“形数”，使学生感受数学文化独特的魅力。

4.通过简单回顾学生小学六年以来经历的与数形结合思想相关联的知识，使学生发现数形结合无处不在， 为学生今后更好的利用数形结合思想打下基础。

回顾全课，本课从“以数解形”和“以形助数”这两个方面入手，让学生充分经历了“由形想数”，又“由数想形”的完整过程，自然而然地发现了形中有数，数中有形、通过数与形的对应关系相互印证结果，使学生的思维在切实体会数与形的紧密联系，感受数形结合的思想中一步步顿悟、提升，最终升华。

参考文献：

[1]张学超，张惠丽，张新旋.“数与形”教学实录与评析[J].小学数学教，2018：1-2.

[2]马向葵，杜晓虎.“数与形”教学实录与评析[J].小学数学教育，2019：7-8.

[3]金妤茜.“反其道而行”，加强数形结合的价值体验[J].教育世界，2018（6）.