不动点定理求解递推数列的敛散性

郭献洲 刘文文

摘要 设递推数列[an+1=fn（an）]，[fn（x）]为其压缩映射。利用不动点定理引入并证明一致压缩定理、幂压缩定理等，从而求解收敛递推数列的极限并判断递推数列发散的快慢。将结果推广到更广泛的完备锥度量空间。

关 键 词 不动点定理;递推数列;一致压缩;幂压缩;锥度量空间

中图分类号 O177.91     文献标志码 A

文章编号：1007-2373（2021）06-0051-05

Abstract Recursive sequence[an+1=fn（an）]， [fn（x）]is the compression mapping. We introduce the fixed point theorem and prove the uniform compression theorem， the power reduction theorem and so on to solve the limit of the convergence of the recursive sequence and judge the divergent speed of the recurrence sequence . Then we generalize the result to a wider range of complete cone metric space.

Key words fixed point theorem; recursive sequence; uniform compression; power compres-sion; cone metric spaces

0 引言

利用不动点列来求数列极限是一种有效简便的方法。首先，它能够去掉递推函数只能与通项有关的限制;再者，用递推关系式表达的序列其通项表达式不易得到，但不动点列可以直接求解得到其一般的通项表达式，更易得其极限。这样，对于由递推公式给出的数列，可以把求数列本身极限的问题转化为求不动点列的极限问题[1]。本文用Banach不动点定理来讨论递推数列[an]的敛散性，将求数列的极限问题转化为求方程[fx=x]是否有唯一解的问题。类似的，在考虑如何判断数列发散快慢的问题时，本文提出初等发散列的概念作为比较对象，再引入发散不动点的概念，就可以更简单的判断数列发散时的阶的情况。

参考文献：

[1]    江正华. Banach不动点定理的一个推广[J]. 南京大学学报（自然科学），2014，50（1）：9-13.

[2]    HUANG L G，ZHANG X. Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications，2007，332（2）：1468-1476.

[3]    REZAPOUR S，HAMLBARANI R. Some notes on the paper “Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings”[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications，2008，345（2）：719-724.

[4]    RAJA P，VAEZPOUR S M. Some extensions of banach's contraction principle in complete cone metric spaces[J]. Fixed Point Theory and Applications，2008，2008（1）：768294.

[5]    HUANG H P，HAN Y，XU S Y. Some fixed point results on a class of contractive mappings in cone metric spaces[J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics，2013，28（4）：539-545.

[6]    ASADI M，RHOADES B E，SOLEIMANI H. Some notes on the paper “The equivalence of cone metric spaces and metric spaces”[J]. Fixed Point Theory and Applications，2012，2012（87）：1-4.

[7]    綦建剛，刘衍胜，吕永敬. 函数的不动点与数列的极限研究[J]. 山东师大学报（自然科学版），1997，12（1）：87-90.

[8]    董巧丽，郭文雅. 非扩张映像的一类惯性θ方法[J]. 河北工业大学学报，2018，47（1）：44-47.

[9]    李娟. 利用压缩映像原理处理有关数列收敛性[J]. 甘肃联合大学学报（自然科学版），2011，25（5）：29-31.

[10]  郭献洲，张相梅. 一类算子的换位代数的K-群[J]. 河北工业大学学报，2015，44（6）：73-75.

[11]  童裕孙. 泛函分析教程[M]. 上海：复旦大学出版社，2003：49-56.