接触参数对啮合传动的影响

史宝军 程澄 孟原 杨美德 张德权

摘要 为提升啮合传动的传动准确性与平稳性，提出了一种改善啮合传动性能的策略，分析了接触参数对啮合传动的影响。首先，采用基于赫兹接触理论的冲击函数法，推导了接触力的计算公式;其次，以含有侧隙的齿轮传动为例进行仿真分析，研究了接触力对传动准确性及平稳性的影响;最后，通过仿真分析及多项式拟合技术，研究了接触参数对传动性能的影响，进行了参数的敏感性分析。分析结果表明，较小的接触力可获得较为准确及平稳的啮合传动，对传动准确性和平稳性影响最敏感的参数为接触刚度，最不敏感的参数为摩擦系数。以啮合力最小为优化目标，通过优化摆线针轮及RV减速器中啮合的接触参数，获得了准确又平稳的传动，验证了所提分析方法的有效性。

关 键 词 接触力;接触参数;啮合传动;敏感性;摆线针轮

中图分类号 TH132.4     文献标志码 A

文章编号：1007-2373（2021）06-0023-07

Abstract In order to improve the accuracy and stability of the meshing transmission， a strategy to improve the meshing transmission performance is proposed， and the influence of contact parameters on the meshing transmission is analyzed. Firstly， the impact function method based on Hertz contact theory is used to derive the formula of contact force. Secondly， taking the gear transmission with side gap as an example， the simulation analysis is carried out to study the influence of contact force on the accuracy and stability of the transmission. Finally， through a simulation analysis and polynomial fitting technology， the influence of contact parameters on transmission performance was studied， and the sensitivity of parameters was analyzed. The analysis results show that a relatively accurate and stable meshing transmission can be achieved with a small contact force. The contact stiffness is the most sensitive parameter to the accuracy and stability of the transmission， and the friction coefficient is the least sensitive parameter. Taking the minimum meshing force as the optimization objective， the accurate and stable transmission is obtained by optimizing the contact parameters of cycloidal needle wheel and RV reducer， and the effectiveness of the proposed analysis method is verified.

Key words contact force; contact parameters; meshing transmission; sensitivity; cycloidal needle wheel

0 引言

嚙合传动在机械领域中十分常见，利用一定形状的轮廓做相对运动实现动力传递，一般使用在传动设备中。啮合传动中最重要的是保证传动具有良好的平稳性及准确性。啮合传动中，通过控制传动过程的振动程度、瞬时传动比的变化范围以及实际传动比相对于理论传动比的变化范围，得到性能优良的啮合传动。啮合传动中，影响传动的平稳性及准确性的因素主要是啮合产生的接触冲击，传动速度越高，接触冲击力也越大[1]。

接触冲击现象在传动啮合过程中常见，冲击也是造成传动不平稳、不准确的主要因素。文献[2]建立了齿轮啮合接触冲击模型并提出求解算法，分析了冲击转速、冲击位置对冲击力及冲击应力的影响，结果表明冲击转速、冲击位置对冲击力的影响较大。

文献[3]利用一种非线性有限元方法模拟了齿轮的接触特性，提出可以减少表面接触疲劳破坏的微观几何形状，经过微观几何形状修正的齿轮已经成功应用在汽车变速器中。文献[4]利用有限元分析软件分析了轮齿之间的接触，分析了圆柱直齿齿轮的接触力、轮齿变形及啮合刚度的变化。文献[5]提出了一种综合考虑啮合传动条件及齿轮形状参数多种因素的接触有限元分析方法。

啮合传动过程中材料、物理参数的变化都十分复杂，为了更加准确又高效地分析啮合传动过程，需要建立分析模型。文献[6]基于材料在弹性阶段到塑性阶段的变化是连续光滑的假设下，提出了一种新型的粗糙表面弹塑性微观接触模型。文献[7]推广了一种用于接触模型建模的静态模态切换方法，该方法的精度与全模态加静态增强的方法具有相同的精度，提高了求解效率。文献[8]建立对数螺旋斜齿轮三维模型和啮合模型，对啮合角速度和切向接触力进行仿真，仿真结果表明：与常规螺旋斜齿轮相比，对数螺旋斜齿轮的传输稳定性较好。文献[9]基于分形理论和赫兹接触理论建立含有微凸体的圆柱齿轮滑动摩擦接触力学模型，在载荷一定的条件下，发现微凸体的分形维数和特征尺度对接触面积存在影响。文献[10]建立了结合面法向静、动态接触模型，得到接触刚度和接触阻尼参数，利用泰勒公式对静态接触载荷和接触刚度展开，得到动态载荷下的能量损耗。文献[11]建立了三维机械结合面切向分形接触刚度的理论模型，为表面接触的动力学研究提供了基础。

分析传动性能的目的是将啮合传动理论用于分析实际工程中，并对工程问题进行优化。文献[12]通过数值模拟手段获得了减变速一体化齿轮动态接触轨迹，进而研究了节圆参数和安装误差对齿面接触的影响规律及接触应力分布。文献[13]利用接触理论分析了动车组牵引螺旋齿轮在多种工况下的接触情况，通过对齿轮基本参数的优化，通过减小齿轮接触应力的方式改善了齿轮啮合冲击，提高了齿轮传动性能。

国内外研究大都针对啮合传动中的齿轮传动情况进行接触分析，其分析对改善齿轮传动性能具有重要意义。但是，对于摆线针轮等特殊的啮合传动研究较少，因此本文从啮合传动中的接触力角度出发对啮合传动进行分析，使其结果对于提升特殊的啮合传动性能具有重要意义。建立基于赫兹接触理论的冲击函数，借助多体动力学软件进行运动仿真，研究啮合传动中接触力和传动情况之间的关系以及接触参数与传动情况之间的关系，获得传动优良的接触条件。

1 赫兹接触理论与冲击函数法

1.1 赫兹接触理论

赫兹接触理论在弹性力学范围内揭示了法向接触力[FK]的大小和接触变形[δ]之间的关系，即研究弹性接触问题。弹性接触示意图如图1所示：半径为[r]的球A与地面B接触，产生弹性变形[δ]和法向弹性力[FK]，赫兹接触理论描述弹性碰撞力[FK]的大小和接触变形[δ]之间的关系为

1.2 冲击函数法

赫兹接触理论是纯弹性接触理论，未考虑摩擦两物体之间的能量损耗。若考虑接触物体之间的能量损耗计算两接触物体之间接触力的大小则有两种计算方法[14]：补偿法和冲击函数法。为了更好的探究弹性部分、阻尼部分对接触力、传动的影响，本文利用冲击函数法计算两物体之间的接触，冲击函数由弹性力部分和阻尼力部分两部分组成，可以研究线接触情况。基于赫兹接触理论的冲击函数的表达式[15]为：

2 接触力与接触参数对传动性能的影响

为了探究接触力与啮合传动之间的关系及接触参数与啮合传动之间的关系，建立含有侧隙的齿轮三维模型。本次研究采用一对齿轮啮合，小齿轮齿数[Z1=9]，大齿轮齿数[Z2=27]，模数[m=1.5]。电机驱动加在小齿轮上，转速设置为[n1=1 500 rmin]。本次研究的接触参数有接触刚度、接触阻尼，穿透深度及摩擦系数。

2.1 接触力

利用ADAMS对齿轮啮合传动进行仿真，通过调整啮合传动过程中接触力的大小，得到不同数值接触力下的输出速度特性样本，求解样本的均值和标准差，利用多项式曲线拟合数据，获得接触力均值与输出速度均值之间的关系，以及接触力均值与输出速度标准差之间的关系，分别如图2a）和图2b）所示，图中实线为离散样本点的拟合曲线。

由图2a）可知，接触力增大，输出速度均值与理论值的误差越大，即接触力越小，传动越准确。由图2b）可知，接触力增大，输出速度的标准差越大，即接触力越小，传动越平稳。因此，较小的接触力可以使得啮合传动更准确、更平稳。

2.2 接触刚度

接触刚度影响弹性力的大小，从而影响了接触力的大小。对式（1）进行变形可得

即接触刚度

通过仿真获得了接触刚度与输出速度均值之间的关系以及接触刚度与输出速度标准差之间的关系，分别如图3a）和图3b）所示，图中实线为离散数据点的拟合曲线。

由图3a）可知，随着接触刚度的增加，输出速度均值与理论值的误差越来越大，较小的接触刚度可获得较为准确的传动。由图3b）可知，随着接触刚度的增加，输出速度的标准差越来越大，接触刚度的增加，使得输出速度数值越离散。因此可以得出：较小的接触刚度可获得较为平稳的传动。

根据式（2）可知，接触刚度与接触法向力之间的关系为正相关，接触刚度减小，接触法向力减小，接触合力减小。根据对接触力与输出速度均值和接触力与输出速度标准差之间的关系研究，可知较小的接触力可以获得准确又平稳的传动。因此，啮合传动中，较小的接触刚度可得到较小的接触法向力，进而得到较小的接触力，最终可获得准确又平稳的传动。

由式（6）可知，接触刚度的大小与接触物体的材料性质和曲率半径有关系。在满足使用条件的前提下，选择曲率半径小的齿形参与接触可得到平稳及准确的传动。在接触物体曲率半径无法进行改变的情况下，合理的选择材料参数同样也可以提升传动性能。根据各材料参数[16]可知，碳素低合金钢里推薦使用25钢，合金结构钢里推荐使用18Cr2Ni4W钢，冷变形钢里推荐使用53CAS钢，耐蚀钢里推荐使用1Cr18Ni9钢，铸铁、钢里推荐使用HT100，有色金属里推荐使用ZCuSn5Pb5Zn5。

2.3 接触阻尼

冲击函数中阻尼力部分涉及接触阻尼。接触阻尼的计算公式为

式中：[a]为弹性恢复系数，一般由实验测定;[U]为碰撞速度;[n]为非线性指数。

通过仿真获得了接触阻尼与输出速度均值之间的关系以及接触阻尼与输出速度标准差之间的关系，分别如图4a）和图4b）所示，图中实线为离散数据点的拟合曲线。

根据图4a）可知，随着接触阻尼增大，输出速度的均值与理论值得误差越来越小，接触阻尼的增大可获得较为准确的传动。根据图4b）可知，接触阻尼增大，输出速度的标准差越小，较大的接触阻尼可获得较为平稳的传动。

当两物体进行碰撞时，碰撞前后的接触法向速度方向不变的话，式（2）两物体接触时，接触法向力是弹性部分与摩擦部分相加的形式;当两物体进行碰撞时，碰撞前后的接触法向速度方向相反的话，式（2）两物体接触时，接触法向力是弹性部分与摩擦部分相减的形式。在啮合传动中，主动件与从动件之间进行碰撞时，碰撞前后的接触法向速度是相反的，因此式（2）为差的形式，接触阻尼与接触力之间的关系为负相关，接触阻尼增大，接触法向力反而会减小，接触力会减小，会获得准确又平稳的传动。文献[17]提出，改善接触阻尼最具有可行性的方法是在结合面注入合适的介质，介质的粘度越高，接触阻尼越大。

2.4 穿透深度

穿透深度是接触时物体产生的最大变形深度。通过仿真获得了穿透深度与输出速度均值之间的关系以及穿透深度与输出速度标准差之间的关系，分别如图5a）和图5b）所示，图中实线为离散数据点的拟合曲线。

由图5a）可知，穿透深度增加，输出速度均值增加，在0.15 mm之后有下降的趋势。由图5b）可知，穿透深度增加，输出速度数值越来越离散，传动越不平稳。

根据式（5）可知，力指数为1.5，由式（2）可知，穿透深度与接触法向力之间的关系呈正相关。因此较小的穿透深度可获得较小的接触法向力，进而可获得较小的接触力，最终可获得较为准确又平稳的传动。因此，其它条件相同的情况下，尽可能选择接触时穿透深度较小的材料作为啮合传动的零件材料。穿透深度与材料的硬度相关，为提升传动性能可选用硬度较高的材料参与接触。

2.5 摩擦系数

两零件啮合过程中，由于零件之间产生相对运动，产生摩擦，因此需要在两零件之间加入润滑剂，降低两物体之间的摩擦系数。摩擦系数的大小会影响啮合传动之间的接触力的大小，从而对啮合传动产生一定的影响。

通过仿真获得了摩擦系数与输出速度均值之间的关系以及摩擦系数与输出速度标准差之间的关系，分别如图6a）和图6b）所示，图中实线为离散数据点的拟合曲线。

由图6a）可知，随着摩擦系数的增大，输出速度的均值与理论值之间的误差越来越小。由图6b）可知，摩擦系数增大，输出速度的标准差呈下降趋势。因此，较大的摩擦系数可获得较为准确和平稳的传动。摩擦系数增大，即润滑性能越来越差，因此，啮合传动过程中，在满足润滑性能的条件下，尽可能选择较大的摩擦系数。

2.6 敏感性

通过敏感系数评价各个参数对啮合传动的影响，敏感系数的计算[18]如式（8）所示：

式中：[f（XL）]表示因素变化后的计算结果;[f（X）]表示因素变化前的计算结果;[XL]表示敏感性因素变化后的数值;[X]表示敏感性因素变化前的数值。

根据多体动力学仿真数据，计算影响传动平稳性的各个参数的敏感系数，并取敏感系数的最大值作为参数的敏感度。

根据表1，對传动准确性的影响最敏感的参数为接触刚度，其余依次为接触阻尼、穿透深度，最不敏感的参数为摩擦系数;对传动平稳性影响最敏感的参数为接触刚度，其余依次为穿透深度、接触阻尼，最不敏感的参数为摩擦系数。

3 应用

3.1 摆线针轮传动

摆线针轮传动是啮合传动的一种，通过摆线轮和针齿之间的啮合实现动力传动，被广泛应用在工业机器人精密减速器中。本次研究的一齿差摆线轮针齿模型如图7所示，摆线轮齿数39，针齿数为40，传动比为39，输入偏心角速度为[2 900 °s]，针齿壳固定，理论上应该获得的摆线轮公转速度即输出角速度为[74.380 °s]，由于角速度为偏心角速度，所以获得的输出角速度具有正弦周期性。

通过对影响传动性能的接触参数研究，以接触力最小为优化目标，对摆线针轮传动中的接触刚度、阻尼、穿透深度及摩擦系数进行优化，并对优化前与优化后的摆线针轮之间的啮合传动分别进行仿真，获得了优化前与优化后摆线轮输出角速度随时间的变化情况，如图8所示。

通过对接触参数的优化，获得了优化后的输出速度特性，从图8中可以看到，优化后的输出速度更加接近正弦函数，且传动期间比较平稳，较优化前的啮合冲击较少。因此，优化后可得到更加平稳又准确的传动。

3.2 RV减速器

RV减速器广泛应用在工业机器人关节处，其由2级减速组成：第1级为行星齿轮减速，第2级为摆线轮针齿减速。RV减速器的传动原理如图9所示。

建立RV减速器的三维模型，输入轴速度[9 000 °s]，负载转矩[774 Nm]，以接触力最小为优化目标，优化RV减速器两级减速中的接触参数，对优化后的RV减速器传动进行仿真，获得了优化后的两级传动角速度随时间的变化情况，如图10所示。

在整个传动周期，两级减速的角速度都很平稳，传动过程无冲击。根据传动原理的相关理论可分别计算出每一级减速后的角速度，并与仿真结果进行比较，比较结果见表2。

由表2可知，理论计算结果与仿真结果相对误差较小，传动的准确性较高。通过优化接触参数优化RV减速器的两级减速，可获得较平稳又准确的传动。

4 总结与结论

本文基于赫兹接触理论的冲击函数法，对含有侧隙的齿轮传动进行运动学仿真分析，研究了接触力等接触参数对啮合传动准确性及平稳性的影响，分析了各主要参数对啮合传动性能的敏感性，并将主要结论推广应用于摆线轮针齿啮合传动。

1）基于赫兹接触理论的冲击函数法描述啮合传动中的接触力，通过运动学仿真获得接触力和输出速度之间的关系，啮合零件间的接触力越大，输出速度的准确性越差，传动平稳性越差。

2）影响接触力大小的因素有接触刚度、接触阻尼、穿透深度、摩擦系数，通过模拟仿真验证了主要接触参数对啮合传动的影响。结果表明，较低的接触刚度、较大的接触阻尼、较小的穿透深度、较大的摩擦系数，会使啮合传动更加准确及平稳。

3）根据啮合传动仿真结果，对影响啮合传动性能的参数进行了敏感性评价，发现对传动准确性和平稳性的影响最为敏感的是接触刚度，最不敏感的是摩擦系数。

4）将主要结论应用在摆线针轮传动及RV减速器的两级减速中，以接触力最小为优化目标优化接触参数，获得了较为平稳及准确的传动。

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