结构化视角下“集合问题”的教学思考与实践

李国良

【摘 要】众所周知，小学数学的知识是有结构的，学生的认知也是有结构的。教师需要站在学生的角度帮助其形成知识“串”，将数学学习整体化，最终使他们得到的不仅是数学“知识链”，更多的是数学思维与学习能力的提升，进而掌握数学思想与方法。笔者试着通过对“集合问题”知识点的分析、学生认知基础的调查来整体设计与架构，实施有结构化的集合问题的教学。

【关键词】结构化 集合 思考

结构主义认为事物是一个复杂的整体，任何一个组成部分都处于整体的关系网内。怎样运用结构化的思维来构建课堂，发展学生的结构化思维能力，笔者对“集合问题”一课进行结构化的教学尝试。

一、分析教材内容，明确集合问题的前世今生

所谓集合就是把指定具有某种性质的事物看作一个整体，每一个事物称为集合的元素。集合作为现代数学的基本语言，能简洁、准确地表达数学内容，是最基本的思想方法，它在小学数学的四个领域里均有涉及与运用。

1.寻找集合知识的延伸点

小学数学教材中渗透的集合主要有并集（A∪B）、交集（A∩B）、子集（A∈B）。根据不同集合中元素的特征把集合之间的关系表述为并列关系（无共同元素）、重叠关系（有部分共同元素）和包含关系（一个集合的元素包含另一个集合的元素）。

在一年级新入学的准备课中，把3张凳子、4个垃圾桶用封闭的曲线围起来，直观地表示数的概念，这是早期集合思想的渗透。教材中第一次出现集合圈是在一年级下册“100以内数的认识”单元中，要求把12个数按照个位上是5或0分别进行分类（如图1），也就是组成两个集合，这两个集合是12个数集合的子集，这些数是互斥的，存在着并列关系。三年级上册“长方形与正方形”单元，在研究长方形与正方形的特征后总结：正方形是特殊的长方形，用图表示就是长方形里包含了正方形（如图2）。在学习“集合”单元知识后，用集合圈来表征数与数、图形与图形等关系的知识点明显增加，如四边形的分类，三角形的分类，长方体、正方体的关系，公因数、公倍数，角的分类，数的分类，等等。其中四边形的分类较为复杂（如图3），平行四边形和梯形分别是四边形的子集，长方形、正方形又是平行四边形的子集，有包含关系，平行四边形与梯形在整个四边形集合里没有包含关系，按并列方式存在。

通过对教材的简单梳理后需思考三个问题：一是在一、二年级用集合来表示分类、关系时，不存在包含关系，它们的关系容易理解，教师可以适当地渗透集合的思想;二是三年级研究正方形是特殊的长方形时，这种关系理解起来容易，但学生无法用集合圈来表示它们之间的关系，其探究过程比重叠问题来得更难;三是从三年级的集合问题直接过渡到四年级的四边形分类缺少必要的知识铺垫，学生很难真正懂得其中的关系。因此，在教学集合问题时有必要对集合问题进行系统的研究，使集合问题在学生的大脑中建构起结构化的知识网络。

2.剖析集合单元的知识点

“集合”作为数学广角单元的唯一知识点，由1个例题和8个习题组成。例题中呈现了跳绳和踢毽子比赛名单有重复的统计表，通过学生自主观察、动手表征等方法让人一眼就看出参加两项比赛的人数，发现用集合圈（维恩图）的形式最直观，随后认识各部分名称并通过计算来求出人数。习题中的7道题目按例题的模型进行编排，只是形式上有所变化，但最后一题有明显的不同（如图4），出现了包含关系（子集），解决这一问题需要从众多的信息中提取并甄别来进行集合圈的表示和解答。

笔者认为，单元的最后一道练习进行适当的拓展是可行的，它可以提升学生的发展能力。但这一题目的呈现有两个问题值得商榷：一是与先前一直用共同的元素来表征题目的意思并进行计算有明显的区别，造成了思维的断层;二是题目中直接呈现了包含关系的集合图，学生缺少对知识的探究过程，难以理解其本质内涵。因此，我们觉得，在新课的研究过程中结合交集（有共同元素）的知识点渗透空集与子集思想，让学生完整建构起小学中常见的集合图，能为后续学习四边形的分类、数的分类打下基础。

二、调查学生基础，把握集合问题的认知起点

1.调查方法与对象

为使调查具有一定的真实性与可靠性，笔者采取了无记名、不暗示的形式进行书面问卷调查，选定了城区和镇属三所学校各2个班的学生，每道题目均在5分钟内完成。

2.调查内容与结果分析

笔者设计了不同维度的3道题目，每一项调查内容由2个班级的学生完成测试。

调查一：统计表转化成维恩图的能力

出示一张统计表（如图5），组织学生根据统计表的信息填入维恩图中，表示出各部分的名称，主要是调查学生对维恩图各部分意义的了解情况。梳理后发现，完全正确的占63.2%，把6个学生名单正确地填入集合圈的占84.1%，其中典型错误主要是无法写出只参加跳绳和只参加跑步的两个集合的名称，占了21.0%。

调查二：对维恩图的理解程度

给定维恩图并标注出部分信息（如图6），让学生通过集合图说出每一部分所表示的意思，主要是了解学生能否读懂、理解维恩图。统计后发现，有50.6%的学生能正确地回答，92.1%的学生能正确填写跳绳和跑步的人数，其中有3个学生直接写5人和4人，有2个学生列出3+2与2+2。但在描述只参加跳绳和只参加跑步的两个空格中，错误率反而高于调查一，占40.8%。

调查三：表征维恩图的水平层次

此问卷与调查一有相似之处，但更加开放，结合教材的内容给出统计表，设置3道思考性问题，主要了解学生读取信息的能力和用怎样的方法来表征统计表中信息。（如圖7）

问题一：在计算参加跳绳与跑步的总人数中，正确率是64.6%，其中有44.3%的学生用5+3-2=6人来计算，错误中出现最多的是5+3=8人，占20.3%。

问题二： 86.1%的学生能发现小明和小丽重复参加了两项比赛，其中26.6%的学生表达不到位，如：有一些人既跳绳又跑步，有人重复了，等等;有11.4%的学生在比较跳绳与跑步之间的人数差异。

问题三：统计中发现，用维恩图表示的有49人，占62.0%，其中33人正确，16人错误，在正确的表征中有6人直接用数量来解释;10人用表格的方式来解释题意，占12.7%;在38.0%的错误中有22.8%的学生空白或没有完成，10.1%的学生各部分数量表示错误。

从上述三个问题中，可以发现：一是约有60%的学生初步了解并掌握了一些维恩图的知识，能正确地把统计表中的信息转化为维恩图，并能解释各部分的意义，说明他们已经具备了一定的语言转译能力，让各部分的概念变得更为直观与清晰，同时，也基本具备了对隐性逻辑关系显性化的表达，初步掌握了参加某项的人数与只参加一项的人数和两项都参加人数之间的联系与区别;二是这3份问卷调查中，不管是哪个区域的学生都有近30%的人数对只参加一个项目的集合意义理解不够，无法正确把握哪部分是参加一个项目，哪部分是只参加一个项目;三是这3类学生中，对交集部分的理解比较到位，明白他们是重复参加的人员。

笔者认为，通过对集合问题认知基础的调查给教学提供了思路：一是可以大胆借助大部分学生能建构起维恩图的基础，直接从统计表过渡到对维恩图的理解;二是在理解维恩图各部分意义的基础上，与算式的多样化进行有机融合;三是拓展对交集部分（重叠元素）的理解，部分元素重叠，没有元素重叠，一个集合圈内的全部元素重叠，架构起集合问题的结构化知识体系。

三、开展教学实践，架构集合问题的整体意识

根据对教材的系统分析和学生认知基础的全面调查，笔者在整体思路的构建下开展了教学实践与研究。

1.在自主表征中把握维恩图的本质意义

数学中的问题情境多以文字、表格、图示等形式呈现出来，让学生从情境中收集、甄别信息，从而处理信息显得尤为重要。课始，出示两张统计表（如表1、表2）并设问：这两个班级分别有多少人参加比赛？通过观察，发现两个班级有个显著区别：三（2）班有重复的人数。接着，组织学生用自己喜欢的方式来表征三（2）班参加比赛的情况：有什么好的方法让别人一眼就能知道三（2）班参加比赛的情况和人数？根据学生的表征情况（如图8）进行讨论，分别说说表示的意思。

生1：小明和小丽分别参加了两个项目，写在表格中间，而小张、小红、小芳只参加了跳绳比赛，小王只参加了跑步比赛，一共有6个人。

生2：我用两个圈来表示，两个人都参加的写在中间，小张、小红、小芳只参加跳绳的和小王只参加跑步的写在两边，一共有6个人。

随后，组织讨论：哪种方式能比较清楚、直观地表现三（2）班参加比赛的情况？显然学生把目光聚焦到维恩图上，认为这个图既方便又简洁，还直观。接着，讨论集合圈中每一部分的意义并结合算式进一步巩固意义，同时用统计表中的表述方法与维恩图进行关联，明确它们之间的相同之处。

笔者觉得，教学时从认知冲突入手有利于把问题集中到重复部分（共同元素），在充分考虑学生的认知基础上，通过自主表征、讨论，归纳出维恩图能把共同元素清楚地表示出来，结合计算又感受到算式与图示的另一种表征与转换方式。通过这一环节的教学，让学生初步体会到集合的含义及集合的运算，学会用集合思想方法解决简单的实际问题。

2.在合作对比中建构维恩图的变化情况

在初步了解维恩图的含义后，要深入掌握集合思想、结构化呈现集合知识需要更多素材支撑。

接着，出示三（1）班和三（3）班参加比赛情况的统计表（如表1、表3），组织学生仔细观察并用维恩图来表征（男女生分别完成一项），针对表征情况选择有代表性的作品（如图9、图10）进行讨论。

师：大家能看懂吗（图9、图10）？为什么这样来表示呢？

生3：因为三（1）班参加跳绳与跑步比赛的人没有重复，所以重复部分是0人，跳绳比赛有4人参加，跑步比赛有3人参加，一共7人参加。

生4：三（1）班参加跑步与跳绳比赛的人没有重复，他们之间没有关系，可以分成两个集合，一个是跳绳比赛的集合，一个是跑步比赛的结合，一共7人参加。

师：这两种表示方式有联系吗？

生5：有联系的，因为第一种表示方法没有重复的是0个，而第二种表示方法没有重复的也是0个。

生6：这两种方法都表示参加跳绳和跑步比赛的人没有重复。

师（小结）：把第一种表示方法中重复部分0人慢慢擦去，就变成了第二种表示方法，这两种表示方法的意思是相通的，都没有重复部分，却是不同的表征方式。

师：三（3）班这样的表示方法（如图11、图12），能看懂吗？它们分别表示什么意思？

生7：参加跑步的3个人都参加了跳绳比赛，只参加跑步的人没有，就是0。

生8：参加跳绳比赛的人包含了参加跑步的3人，而小海和小陈只参加了跳绳比赛。

师：看着这个图（如图12），你想到了什么？

生9：想到了长方形与正方形的关系，正方形是特殊的长方形。

师：那这个特殊在哪里呢？

生10：小萍、小钟、小高是特殊的，他们既参加了跳绳又参加了跑步比赛，没有人只参加跑步的。

……

随后，组织学生研究图8、图9、图10、图11、图12的聯系和区别。经过讨论，大家一致认为参加跳绳和跑步的人数都可以用集合图来表示，但集合圈因重叠部分的数量和参加项目的不同，它们表征的形式有所差异，关系也不一样。

笔者认为，在理解维恩图各部分名称、意义的基础上，运用共同元素的变化情况，把小学所涉及的集合知识点进行整体的渗透，不仅拓展了集合的意义，使学生感悟到集合元素的互异性和无序性，而且使集合的知识呈现结构化，从并列关系到重叠关系再到包含关系，让学生在大脑中完整地建构起三个集合图，能为后续的学习奠定基础。

3.在前后联系中认识集合图的广泛应用

众所周知，一、二年级一直渗透着集合思想，教学时呈现已涉及集合知识点的内容，可调动学生的经验，帮助其加深对集合意义的理解。

教学最后，出示教材中的两个重叠问题，组织学生用集合图来表征，讨论每部分所表示的意义及数量，并思考与所学知识的联系。我们认为，学生对集合有了整体的建构后，教师需适当安排练习进行巩固，便于正确把握教材的核心思想，这样的练习能让学生进一步明白重复部分的量就是交集、求总数就是并集的思想，促使他们向更深层次开展学习，提升表征知识和反思思维的能力。

数学课程标准指出：数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性。因此，运用结构化的思维对“集合问题”进行整体设计正是对这一理念的诠释，它能让学生全方位、多角度、立体化地分析与思考这类问题，强化集合中各部分之间的关系与特定的意义，真正建立起有效的知识系统。