解决离心率试题的四重境界

王淼生 黄勇

摘    要：离心率的大小决定圆锥曲线的类型，因此离心率是圆锥曲线的核心概念，也是考查的热点、重点与难点.求解离心率一般分为纯代数解法（坐标运算）、纯三角解法（焦点三角形结合正弦定理实施转化）、二级结论法（借助相关结论）、解析方法（将代数运算、平面几何性质与圆锥曲线定义深度融合）等四重境界.

关键词：离心率;圆锥曲线;四重境界

例题   已知[F1]，[F2]分别为双曲线[C]：[x2a2-y2b2=1]（[a>0]，[b>0]）的左右焦点，过[F2]且与[C]的渐近线平行的直线与[C]相交于[P]，[PF1⊥PF2]，则双曲线[C]的离心率为（          ）

[A]. [2]        [B]. [3]        [C]. [2]        [D]. [5]

例题为厦门市2020届高三毕业班一道质检题.这是一道典型的离心率综合试题，主要考查直线方程、圆的方程、双曲线方程、渐近线定义、离心率定义、向量数量积及直线平行、直线垂直、直线与双曲线相交等基础知识，主要考查数学运算、逻辑推理与分析问题及解决问题的能力.

一、第一重境界：依赖坐标运算的纯代数解法

既然解析几何出发点是为了借助代数运算，因此纯代数解法通常成为学生首选.请看以下解法.

解法1   由题意可知直线[F2P]的方程为[y=bax-c]，联立直线[F2P]的方程与双曲线的方程得到[y=bax-cx2a2-y2b2=1][?][x=a2+c22cy=-b32ac][?][Pa2+c22c，-b32ac].

据此得到

[        =-c-a2+c22c，b32ac]，[        =c-a2+c22c，b32ac].

注意到已知条件：[PF1⊥PF2]，即[PF1] ·[PF2] =0，则有

[-c-a2+c22cc-a2+c22c+b32ac2=0]

[?][-c2+a2+c224c2+b64a2c2=0]

[?][-4a2c4+a2a2+c22+b23=0]

[?][-4a2c4+a2a2+c22+c2-a23=0]

[?][-4a2c4 + a2a4 + c4 + 2a2c2+][  c6-]

[3c4a2+3c2a4-a6][ =0]

[?][c6-6c4a2+5a4c2=0]

[?][c4-6c2a2+5a4=0]

[?][c2-5a2c2-a2=0]

[?][c2-5a2=0]（[c2-a2=0]，舍去）

[?][e=5].

解法2   由已知条件[PF1⊥PF2]可知点[P]在圆[x2+y2=c2]上，联立该圆的方程与双曲线的方程，得到点[Pac2+b2c，-b2c]，并代入直线[F2P]的方程求解离心率（解答过程略）.

解法3   我们还可以将直线[F2P]的方程：[y=bax-c]与圆的方程：[x2+y2=c2]联立，得到点[P]坐标，并代入双曲线方程：[x2a2-y2b2=1]求解离心率（解答过程略）.

解法4   借助上述解法1、解法2及解法3所得到的点[P]的坐标，显然点[P]横坐标（或纵坐标）相等，由此得到

[a2+c22c=ac2+b2c]

[?][a2+c2=2ac2+b2]

[?][a4+c4-2a2c2=4a2b2]

[?][c2-a22=2ab2]

[?][b2=2ab]

[?][b=2a]

[?][e=5].

解法1、解法2、解法3及解法4总体上侧重于代数运算，属于通性通法，但运算量明显较大.导致运算量较大的主要原因在于纯粹采取代数计算，弱化了圆锥曲线本质属性.表面看起来，似乎解法4运算量并不大，其实运算量更大，只不过其运算过程被解法1、解法2、解法3分担而已.

二、第二重境界：利用正（余）弦定理转化为纯三角解法

离心率试题往往与圆锥曲线中焦点三角形密切相关.借助正（余）弦定理来解决离心率，也是学生常常使用的方法.请看以下解法.

解法5   设渐近线倾斜角为[α]（[α]为锐角），在[Rt△PF1F2]（焦点三角形）中，由正弦定理可得

[PF1sinα=PF2sinπ2-α=F1F2sinπ2]（正弦定理）

[?][PF1sinα=PF2cosα=F1F21]

[?][PF1-PF2sinα-cosα=F1F21]（初中代数等比性质）

[?][2asinα-cosα=2c1]（双曲线定义）

[?][ac=sinα-cosα]          （*）

[?][ac2=sinα-cosα2]（回到三角）

[?][a2c2=1-sin2α]

[?][a2c2=1-2tanα1+tan2α]（三角万能公式）

[?][a2c2=1-2ba1+ba2]（利用[tanα=ba]）

[F1]，[F2]分别为双曲线[x2a2-y2b2=1]（[a>0]，[b>0]）的左、右焦点，[F2]关于渐近线的对称点[P]恰好落在以[F1]为圆心、[OF1]为半径的圆上，则该双曲线的离心率为                      .

命题教师给出类似于上述解法1的纯代数计算方法，十分复杂，吕老师则给出以下赏心悦目的解析方法.

解：如图2，连接[F1P]，设[F2P]与渐近线相交于[Q]，由题意可知[Q]为线段[F2P]的中点且[OQ⊥F2P]，又[O]为[F1F2]的中点，则[OQ//F1P]，故[F1P⊥F2P]（充分利用平面几何性质）.

在Rt[△][F1PF2]中，[F1P=c]，[F1F2=2c]，所以[∠PF1F2=π3]，即渐近线[OQ]倾斜角为[π3]，则[ba=tanπ3=3]，于是[e=2]（充分利用圆锥曲线性质）.

精准应用圆锥曲线定义（包括渐近线、离心率等）解题，困难不在于圆锥曲线定义自身，关键在于初中平面几何性质（尤其是圆的切线、三角形中位线等），并将平面几何相关性质恰当迁移到圆锥曲线“身边”，喂到圆锥曲线“嘴巴”，顺其自然地运用圆锥曲线定义.只有对初中平面几何性质熟练掌握（这正是吕老师任教十年初中的优势），才有可能真正融入圆锥曲线定义，这才是吕老师频频“奇思妙解”的原动力.其实，这不是“奇思妙解”，而是实实在在的通性通法，更是原汁原味的回归定义.他山之石，可以攻玉，他人之解呢？可以模仿，发扬光大.上述例题的解法8与解法9就是笔者长期“偷学”吕老师的收获.

在处理離心率问题时，既要通性通法，夯实基础，脚踏实地（如解法1、解法2、解法3及解法4），又要形数兼顾，比翼双飞，多管齐下（如解法5），还要善于借助外力，牢记结论，多快好省（如解法6、解法7），更要回归定义，高屋建瓴，勇于创新（如解法8、解法9）.尤其第四重境界——演绎定义，充分凸显圆锥曲线自身特定的内涵（比如双曲线定义、离心率与渐近线倾斜角含义、虚半轴本质及相关性质、结论等），精准应用平面几何相关性质（尤其圆的切线、三角形中位线等），熟练掌握数学运算（优化运算对象、探究运算方向、选择运算方法等）.优势互补，强强联手，将解析几何的精髓——数形结合以及圆锥曲线的源头——定义优先，演绎得精彩纷呈、赏心悦目.

参考文献：

[1]王淼生，黄昌毅.焦点三角形性质归类[J].数学通讯（教师刊），2016（9）：41-45.