江西省赣州市南康区第八中学 林康平
“动点问题”是几何教学的重点,主要以运动的观点来探究图形的变化,这类型题目考查的是学生对知识运用的灵活性,可以真实地反映学生的数学水平和理解能力,是一种开放性题型。下面本文就以动点问题这一关键词进行具体说明。
动点问题涉及的知识范围广,而且包含着众多的数学思想。对初中阶段的学生来讲,这部分内容的教学目标更直接、更明确,是对学生数学思想和分析问题能力的考查。此外,在动点问题的教学中,对学生也提出了一定的要求,不仅要求学生具有严谨的求学态度,更要具备一定的逻辑思维,针对具体问题深入分析,以对症下药。( )。
例题分析:从题意中可以知道,随着点P 位置的变化,△CPE的面积也会出现变化。从题目中可以得出:点P 和点E 重合的时候,△CPE 的面积为0,当点P 在EA 上运动的时候,△CPE 的高BC 不变,其面积是x 的一次函数,会随着x 的增大而变大,当x=2 时,面积最大为4;当点P 在AD 边上运动的时候,△CPE 的底边EC 不变,则面积是x 的一次函数,面积随x 的增大而不断增大,当x=6 时,最大面积为8;点P 在DC 边上运动的时候,△CPE 的底边EC 不变,则面积是x 的一次函数,面积随x 的增大而不断减小,最小面积为0,所以选C。
以动制动主要是借助函数的思想来描述动点的运动变化情况,通过对函数图像的研究和分析,将其转化为函数或方程,以实现解题的最终目的。
例2:在如图2 所示的正方形ABCD 中,其边长为4,点E 是AB 的中点,点P 从点E 出发,沿E →A →D →C 的路线移动,到C 点停止运动。假设点P 经过的路径长为x,三角形CPE 的面积为y,则下面哪个图像能够反映y和x的函数关系式:
当数学动点问题为求最大或最小值的时候,一般动点都在这些特殊位置中。动静的互相转化,抓住题目中隐含的图形变化中静下来的时刻,将特殊问题归于一般问题,进而抓住动静的联系。在初中数学的动点问题解答中,教师可以引导学生采取逆向思维来寻求条件,从特殊到一般抓住解题的关键,由此优化解题过程。
例3:如图3,点P 为半圆直径AB 上的一个动点,C 为半圆的中点,D 为弧AC 的三等分点,若AB=2,则PC+PD 的最短距离为多少?
例题分析:从题目中可以知道,AB 的值是固定不变的,而PC 和PD 的长度却是不断变化的,由此可以寻找点C 关于AB 的对称点E,连接DE 交AB 于P,此时PC+PD 的距离最短,并且PC+PD=PE+PD=DE,再根据C 为半圆的中点,D 为弧AC 的三等分点,由此可以得到弧长CD 的度数为30o,角CDE 为90o,由此便可以得出PC+PD 的最短距离。
动点问题涉及的知识点,对学生的能力有一定的要求,不仅可以综合考查学生的知识掌握情况,还能及时发现学生存在的问题,以开展针对性教学。在解答动点问题的时候,教师一定要引导学生认真观察和分析,找出题目中的变与不变,把握运动特殊位置关系,以有效转化,解决数学问题。