立足函数性质背景 解决数列中的恒成立问题

江苏省盱眙中学 (211700) 梁 义

恒成立问题是高考中的热点问题，在近几年的各地模考、高考试题中，以数列为载体的恒成立问题，立意更高，综合性更强，值得我们去研究和关注.等差、等比数列作为两个特殊的数列，其通项公式、求和公式和一次函数、二次函数、指数函数都有一定的联系，充分挖掘二者的函数背景，可以加深对等差、等比数列的理解．

一、典例精析

若2d-1>0，不恒成立，舍去；

综上所述0

评析：数列本质上是一种特殊的函数，因此，研究数列的图象和性质，应注意从函数的观点入手，灵活运用函数思想，选用参变分离、含参讨论等方法，将其转化为函数最值问题进行处理.

二、借题发挥

分析：本题第(3)问中的{cn}为等差数列，所以通项cn是关于n的一次函数表达式，根据一次函数的单调性分析可得d=0；而数列{dn}、{en}的单调性可以通过作差来确定，结合反证法得d=0，c1=0.

解析：(1)(2)略；

综上，存在唯一的等差数列{cn}，其通项公式cn=0，n∈N*满足题设．

评析：数列可看作自变量为正整数的一类函数,数列的通项公式相当于函数的解析式,所以我们可以用函数的观点来研究数列.但要注意数列与函数的不同,数列只能看作是自变量为正整数的一类函数,在解决问题时要注意这一特殊性.

三、思维拓展

分析：第(3)问根据数列{cn}是等比数列可知通项为指数型函数，故可以对不等式两边取对数运算，“化超越为平凡”，进而了构造新函数，再以导数为工具分析新函数的单调性，从而得到q的取值范围.

评析：以等比数列为例，其离散点对应的连续曲线符合指数函数凸性背景，可以看出本题源自于函数，以数列为载体呈现，其实还是以函数为主导的考察．

四、策略微探

数列是特殊的函数，因此，对于与数列有关的恒成立问题，可以联系函数中求最值的常用方法与策略：分离变量——构造新数列——作差(商)比较或借助导数——判断数列单调性——确定最值，进而求得变量取值范围.除了单调性，周期性、凹凸性等在数列中也有广泛的应用，在较高的层面对函数性质的运用有了新的要求，在学习过程中要加以总结规律，梳理方法步骤.

五、自主探究

(2)若an>0，且Sn+1≥2an+1，是否存在正整数k，使得无穷数列bk+1，bk+2，bk+3，…成公差不为0的等差数列？若存在，给出数列{an}的一个通项公式；若不存在，请说明理由.

(2)若an=n+k-3(k>0)，且{an}的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；

(3)若an=1+pn-1，其中p>1，记{an}的“L数列”的前n项和为Sn，试判断是否存在等差数列{cn}，对任意n∈N*，都有cn