一道圆锥曲线定值问题的探究与思考

江苏省南京市栖霞中学 (210046) 刘建国

圆锥曲线的定值定点问题一直是高考考察的一个热点与难点，多以压轴题的形式呈现，此类问题多以考察学生的数学运算、直观想象、逻辑推理能力等数学核心素养，教师在平时教学中，不仅仅是引导学生掌握定值问题的解法，更要注重对这类问题的本质进行梳理与探究(如文[1])，通过类比发散，在试题的剖析上更要有深度与广度，引导学生在解题的基础上对其进行深度学习与探究学习，找到解决问题的路径与方法，在课堂中潜移默化的灌输数学思想方法，培养学生的数学核心素养.笔者主要借助于2020北京卷中圆锥曲线定值问题，对其进行探究与类比，得出相应结论，展示探究这类问题的一般思路.

一、试题展示与解析

评注：本题以椭圆为载体，主要考察了定值问题，常用的技巧是“设而不求”的思想，通过数形结合与解析几何的解题的通法解决问题，同时本题主要体现了数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养的考察.

二、提炼结论

由2020年北京卷圆锥曲线的定值问题，通过对条件与结论的对比观察，可以发现，点A的横坐标与点B的更坐标的乘积恰好是a2，得到yP+yQ=0,那么对于更为一般的椭圆方程，如果满足上述条件，则也具有相应的定值结论，如下所示：

图1

图2

三、结论推广

对于椭圆中有如上的定值结论，通过类比推理与逻辑推理，在圆锥曲线中的抛物线中也有类似的结论，如下：

图3

同样在双曲线中也有类似的结论，如下：

图4

评注：本结论的证明过程与结论1的证明过程类似，这里不再赘述，有兴趣的读者可以仿照结论1进行证明.

四、几点思考

1 深入探究题源，发挥高考题的功能

本文是以2020北京卷的圆锥曲线定值问题为载体，在解题过程中寻找条件与结论之间的关系，通过大胆猜想，小心验证的方式得到结论1，圆锥曲线有很多类似的性质，这些都体现了圆锥曲线的内在统一的特征，这些内在统一的结论可以通过类比思想将知识由一种曲线迁移到不同的曲线中去进行探究其结论，这就要求教师在解题教学中要善于思考与引导，这样有利于培养学生的逻辑推理与数学抽象等核心素养.因此，在平时备考过程中，教师有必要引导学生挖掘高考题的内涵与本质，而不是让学生成为解题的工具，跳出题海，才能让学生对数学产生兴趣.

2 强化题后反思，引导学生思维迁移

圆锥曲线的定值问题往往具有代表性，引申性，教师教学过程中，注重题后的反思，在引导学生对问题进行探究过程中，应积极引导学生的类比联想，让学生不拘泥于一道题目的解答，引导学生掌握题目本质上的内涵，方可达到一道题解决一类题的效果，从一个问题到解决另一个问题上的思维上寻找共性，只有这样，才能让学生真正明白题目命制的背景，在解题思路的基础上得到思维的发展，这就需要教师在引导学生探究这些结论时，应该注重学生思维的发展，加强学生能力的提升，重视数学核心素养的培养.

3 重视数学运算，培养学生运算能力

学习数学离不开数学与运算，不会算、一算就错、有思路算不出结果是大多数考生备考中最常见的问题，究其原因是因为学生数学运算能力的欠缺，应该重视对数学运算的教学，引导学生对算理的选择，帮助学生树立在圆锥曲线问题上的信心.