高三专题复习如何增效、提质？——公开课“隐圆问题”的教学思考

江苏省无锡市第一中学 (214031) 冯一成

上好高三专题复习课，第一需要关注学情，合理设计；第二需要关注文化，提升品质；第三需要关注思维方法，立足解决问题.每位高三数学教师都应该通过有针对性的课堂设计去训炼学生的思维能力，并且能够在思维方法的指导下解决问题.

很多事物的本质都隐藏在现象的背后，我们一定要努力培养透过现象看本质的思维习惯.现实生活中有很多人都在研究事物变化过程中的不变性，试图找到规律.我们在数学问题的研究中也存在的同样的过程，今天我们就一起来看其中一个问题.(展示课题：隐圆问题)

一、隐迹初探

生1：代数法.设点带入条件推导得方程，然后通过方程的形式再判断轨迹图形的.

师：很好，这里用到的是解析法，使得探究轨迹的过程变得简单.谈到解析法我们就一定需要知道笛卡尔这位数学家了，他创造了平面直角坐标系，开创了用代数的手段研究几何问题的先河.阿波罗尼斯和笛卡尔能有如此伟大的成就和他们善于发现，善于思考，善于归纳的品质是分不开的，希望大家也能培养良好的学习品质，取得属于自己的成就.追随前人的脚步，下面我们一起来再来看一些新的问题.

二、隐迹再探

问题2 两定点A(0,0)，B(0,2)，满足PA2+PB2=10的动点P构成什么曲线？

学生探求，教师巡视，展示答案.

师：这两题我们探求轨迹的方法一样吗？

生4：不一样，问题2是代数法，问题3是几何法.

师：很好，我们说当一个动点在满足特定条件时，那么一定要具备轨迹思想，通过代数或者几何的手段去找到它的轨迹，具备了轨迹思想后，下面我们可以来看这样一个问题.

师：很好，到这里我们可以小结一下，题干中若涉及动点满足特定条件，可概括为：隐迹问题显性化，轨迹思想是关键.得到圆的方程后生6如何进一步解决问题呢？他把问题转化为两圆相交通过几何法列式计算出了结果.有没有同学从代数角度求解的？请举手.

[有几个同学偷偷的举手，又不好意思的放下了.]

[通过诗话的语言，概括出隐圆问题的求解策略：隐迹问题显性化，轨迹思想是关键；觅得轨迹若是圆，数形结合巧计算.让学生记忆更加深刻，求解策略更加明确.]

三、理解本质，变式求解

已知圆O：x2+y2=1，直线l：2x+y-a+2=0,若直线l上不存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为.

师：大家有没有感受自己变强了，这个题目无论从形式和内容上都变的更为复杂，但是我们求解起来确变得相对轻松，这就是思维方法的力量，我们发现这题通过轨迹思想把握住动点P的轨迹，再通过数形转换变成我们熟悉的直线与圆的位置关系，最后再求得结果，自然流畅.

[关注到学生的学情，因为学生总体水平较弱，通过变式的练习，及时的巩固所思所得，通过适时的鼓励提高学生的自信，激发学习的热情.]

下面我们来看两个高考题，探探其中的玄秘.

四、探秘高考

例2 (2013年江苏卷第17题改编)如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y=2x-4．设圆C的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

图1

生7：先求出M的轨迹是个圆，可记为圆P，因为存在点M即在圆C上，又在圆P上，两圆有交点，故圆心距大于等于半径差的绝对值，小于等于半径和，可解得结果.

师：很好，我们再看一题.

(学生板演，由板演分析问题)

师：这种做法对不对，如果不对，是哪里出了问题？

生8：将解不等式问题当成解方程来做，最后加上区间符号，是对问题的不等价转化.从图上可以看出，-5,1其实只是两圆交点的横坐标.

师：很好，在坐标系背景下，没有数形结合的意识，不会结合图形去求解容易出现错误.正所谓数缺形少直观，形缺数难入微.重新审视高考隐迹问题，我们会发现命题形式虽然会有改变，但是考察的思想方法是一致的.

[将重点引向高考，借助高考题的示范作用，展示隐圆问题在高考中的命题方式及求解策略，体现自我研究的价值，肯定方法的正确性，科学性和有效性.]

五、课堂检测

1.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x-a)2+(y-a+2)2=1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，则实数a的取值范围是．

师：两问的隐迹就是问题2，问题3的结果，我们延续思路，容易探求到结果.通过本节课的学习，给你印象最深刻的内容是什么？你觉得最大的收获是什么？

生11：在今后遇到动点满足特定条件时要先想到挖掘隐性轨迹，再根据轨迹形式进行求解.

师：很好，最后我们用这一段话为本节课研究的问题做个小结：隐迹问题显性化，轨迹思想是关键；觅得轨迹若是圆，数形结合巧计算.

[检验课堂的达成度，进一步巩固思想方法，将课堂立足于问题解决]

六、教学思考

透过这堂课的教学实践，笔者关于高三专题复习课应该怎么上？作出了如下的教学思考：

1.关注学情，合理设计

把握学情是高三复习课的基础，若老师对学生实际能力把握不当，导致设计过难或者过简单，都会使得教学效果达不到预期，基于此在备课阶段笔者主动了解了开课班级的学情，及时的调整教学内容，使教学内容符合学生实际接受能力.良好的情感互动交流是提升课堂质量的有力手段，老师在课堂上若与学生之间存在明显的距离感，可能会导致教学过程遇到学生不配合，思考不积极等阻力，无论是教学设计，还是教学活动教师都应当以学生为主体，学生的能力是否能够达到教师的设计要求，学生是否能够积极主动的参与到课堂活动中来，都影响着一节课的成败.

2.关注文化，提升品质

新的高中课程标准中，数学文化是单独的一个板块，从中可以体现出数学文化在数学教学过程中对学生学习的影响力在不断的增加.所以我们教师一定要努力使学生在学习数学过程中感受到文化的力量，对学习的内容产生文化共鸣，体会数学的文化品位.但是渗透数学文化，不是说在课堂中生硬的，强盗式的植入相关内容.如何自然的让学生感受数学文化，体会数学文化的魅力，是在课堂设计过程中教师需要认真仔细思考的.每一个知识方法在数学历史的发展过程中都不是轻易获得的，教师在专题复习课准备的过程当中，应当注重知识内容的文化价值，通过合理的教学设计，潜移默化的去影响学生.本节课以高三学生熟知的阿波罗尼斯圆为引，使学生掌握解析法在重新研究阿波罗尼斯圆中的优势，体会用代数的方法解决几何问题的本质，展示了我们现在的研究很多都是在延续前辈的脚步，但是合理整合所学方法，能够让我们对以往感觉研究困难的问题，得到更好的解答.另外还可以通过科学家们良好的学习品质，去感染每一个学生，为学生的终身学习提供内动力.

3.关注思维方法，立足解决问题

笔者认为高三专题复习课，最应关注的两个点，一个是训锻炼学生思维，另一个是解决实际问题.如何通过课堂设计去训炼学生的思维能力，并且能够在思维方法的指导下解决问题，笔者认为应该做到以下四点：第一，设计应当做到高观点，低起点.学生思维的形成是循序渐进的，但是所要达到的高度是有上限的.本课思维起点较高，需要研究事物变化过程中的不变性，但是不同的事物其变化规律是各不相同的，如何研究规律，会有怎样的规律，是比较高的一个研究点.但是最终起点在于阿波罗尼斯圆的轨迹探求，符合学生的认知，容易让人进行下一步研究.第二，重视变式教学，准确定位目标.一般来说，思维方法不是靠一个题的解决就可以概括出来的，笔者认为高三专题复习课通过变式教学，可以让思维方法的凝练变的相对轻松.比如这节课中，笔者将问题做了几次变化，问题1到问题2，3，立足于轨迹思想的形成.例题到变式求解，立足于先找轨迹，若轨迹是圆，通过几何性质转化求解的思想方法.到最后的比一比，背景是问题2，3，属于问题拓展式变式，起到巩固思想方法，完成课堂评价的目的.总体说来，几个变式做到了形变神不变，目标定位相对准确.但是笔者反思，如果设计过程中可以增加一个活动环节，就是让学生自己作出变式，也许能够让学生对于问题实质的理解达到一个更深的层次.第三，聚焦高考，有的放矢.高三的教学应当以高考为指挥棒，通过分析高考试题的命题形式，对问题背后思想方法的深度剖析，以达到更高的解决问题这一立足点上.学生只要有了良好的思维方法和过硬的计算能力，才能更好的解决问题.本课中通过两个有层次变化的高考试题，由浅入深的展示了解决问题的方法，最后通过错解的辨析，使得学生的思维水平得到升华.高考虽然不直接考查轨迹方程问题，但是轨迹思想的考查随处可见，在今后遇到动点满足特定条件时相信让同学能够有先想到挖掘隐性轨迹，即使在条件变化为非常规的不等条件时也能把握其中的关键把轨迹对应的区域寻找出来，再结合数形结合思想灵活准确求解，那这应该就是这一节课成功的的标志了.