合理引导 有效探究——“直线与椭圆”复习课教学实录与反思*

张 琥 (北京外国语大学附属苏州湾外国语学校 215200)

1 基本情况

1.1 授课对象

教学对象是省四星级学校高三理科班学生，数学基础较好，有一定的自学能力、推理能力及运算求解能力．

1.2 教材分析

直线与椭圆的综合题是解析几何中的重点问题，江苏高考卷中必考的大题，学生对这类问题，常常是有解题思路，但是在运算时字母多、式子繁，很难找到合适的方法来处理，而且运算量较大，有的学生甚至一遇到这类问题就有畏惧感． 直线与椭圆所涉及的知识点较多，对解题能力的考查层次要求也较高，所研究的问题是直线与椭圆的位置关系、定点(定值)、最值以及参数取值范围等． 解决这类问题一定要注重通性通法，不能简单地寻找一个个的解题套路，要在审题和解题策略上下功夫，通过强化训练，不断克服解题中的运算难关，以达到优化解题过程的目的．

1.3 教学目标

(1)感知直线与椭圆的有关问题；明确直线与椭圆的常见问题及解题策略；运用直线与椭圆的定义、方程及性质来解决直线与椭圆中的定点问题；巩固解析法的基本思想．

(2)在解决问题的过程中，体会直线与椭圆的位置关系的判定方法，领悟函数与方程的思想方法；经历运用椭圆定义与性质解决问题的探索活动，积累如何选择恰当的方法解决具体问题的经验，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力．

(3)感受数学活动是充满探索性和创造性的，树立运算的信心和耐心，提高学习数学的兴趣与数学学习力．

教学重点 如何将曲线的几何特征准确地转化为代数形式，根据图形研究直线与椭圆中的定点问题．

教学难点 如何选择合适的方法来解决直线与椭圆中的定点问题．

2 教学过程

2.1 提供资源，入境生趣

课前教师给出5道基础题(引例)，通过问题引导学生复习直线、椭圆的基本知识和基本思想方法，为本节课的学习做好心理和知识准备．

1．将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线．(苏教版选修2-1第29页例2)

说明通过课本题和改编高考题的对比练习，让学生及时查阅课本，寻找相关信息，从比较中明辨道理，引起学生积极地思考，使学生主动投入到本节课的学习情景中，对高考试题充满期待，为后续学习作铺垫．

2.2 自学生疑，了解学情

师：同学们课前做的5道题，都是直线与椭圆有关的基本问题，而要解决这些问题，我们一定要具备直线与椭圆的相关知识，那么你能联想到哪些基本知识和方法？把你想到的都写出来． (教师巡视发现写得比较好的在展台上展示，并和学生一起补充完善)

生1：(1)直线方程的常见几种设法：y-y0=k(x-x0),y=kx+b,x=my+n；(2)椭圆的定义、标准方程及简单的几何性质．

生3：弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，还可以运用“差分法”(也叫“点差法”)．

……

师：大家回顾、总结得比较全面，复习就是要建构知识网络，以自己的方式建立起对问题的理解，达到知识间的前后联系、融会贯通．

2.3 学习释疑，弄清疑难

师：请同学们回忆课本题的解法，并认真思考，也可讨论与交流，你能用几种不同思路和方法解答如下的高考题？(引导学生思考、分析、解题，教师点拨)

图1

生7：如图2，设AF=m,BF=n，AB的倾斜角为α，由椭圆第一定义及余弦定理得

图2

4c2+n2-4cncos(π-α)=(2a-n)2， ①

4c2+m2-4cmcosα=(2a-m)2． ②

师：请同学们总结、反思，每一种解法各有什么特点？

生8：第一、第三种方法是代数法，这是解决此类问题的通性通法，易想但运算量偏大，且运算过程中易出错；第二种方法是几何法，运用平面几何知识和椭圆的第二定义，解题简洁、运算量小，是4种方法中较好的解法；第四种方法是用余弦定理和椭圆第一定义来解的，解法也比较好．

师：评析得非常好． 请同学们评价一下，以上哪种解法更符合你的思维习惯？更容易想到？哪种解法你觉得思路比较难于发现？

(学生个人解题感受略)

师：此高考题的求解思路是源于课本题的，所以我们在复习过程中一定要重视课本例习题． 我们知道，在圆中有如下结论：已知AB为圆x2+y2=a2的直径，P为圆上任意一点，若PA,PB的斜率均存在且不为零，则kPAkPB=-1．

由此，我们可以联想到椭圆，在椭圆中有类似的结论吗？如有，那结论又是什么？

图3

师：我们利用变换(*)将圆中的结论迁移到椭圆中，此方法是发现椭圆中结论的一个重要途径． 其实，这是圆中的结论在椭圆中的推广，它揭示了椭圆的本质属性，是一个重要结论，利用此结论还可以解决一些其他问题．请同学们看例2：

图4

学生思考、解答，教师巡视，然后展示学生的解法．

师：这两个同学积极思考，灵活运用所学知识，将原有问题进行变式和推广，提出新问题，这种学习方法值得大家学习． 那么，他们俩得出的结论是否成立？若成立，大家能证明吗？(学生讨论、交流，教师巡视、点拨． )

生12：第一个结论成立，直线AB是经过原点的，对于第二个结论我还没有解出来．

师：大家讨论得很好，计算的结果是正确的．

2.4 引导实践，迁移创新

师：大家讨论、探究的学习热情非常高涨，老师很高兴． 下面我们再看一道高考题：

图5

(1)设动点P满足PF2-PB2=4，求点P的轨迹；

(3)设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．

图6

师：以上几个问题都与定点有关，题与题之间相互关联，可拓展引申． 这给我们的启示是学习要学会举一反三，由表及里，融会贯通，这样才能抓住问题的本质，善于发现问题和提出新问题，提高自己的数学学习力．

2.5 点难拨疑，练习解难

师：请同学们看课堂练习，并思考、分析、求解．

图7

师：同学们都做好了，请大家说说自己的解题思路和结果(过程略)．

师(追问)：如果把椭圆改为双曲线，则在双曲线中的结论又是怎样的？

师：同学们分析得太好了，值得表扬． 请大家课后完成证明． 练习1是由特殊到一般的解题过程，我们利用椭圆定义来处理焦点三角形的方法不断强化，以此推出一般情形的三角形面积表达式，进而由椭圆到双曲线，由定义类比到算式，由图形特征到严密的求解． 通过计算和类比，达到巩固本节课的核心内容． 练习2与课前练习第5题的结论，形变神不变，大家课后再好好体会其中的关联．

2.6 反思学习，反思教学

师：通过本节课的学习，你学到了哪些知识？哪些数学思想和方法？

生17：(让学生自己谈本节课学习收获与体会，并相互交流，教师点评)解决直线与椭圆中的定点问题，可分成三个步骤：首先联立直线和椭圆两个方程，消元后所得一元二次方程的判别式和韦达定理正确列出；其次用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；再次把前面两步得到的结果综合起来，解转化而来的纯粹代数运算问题，并将结果化归到原来解析几何问题．

师：今天我们主要学习的是直线与椭圆中的定点问题． 通过对问题适当挖掘与变式、拓展与引申，加深对直线过定点问题的理解，在解后反思中提炼数学思想方法和解决问题的策略，在变式训练中发展合理运用数学思想方法的能力，实现解题策略和解题方法的迁移，提高我们的解题能力．

布置作业(略).

3 回顾与反思

本节课遵循“知识问题化，问题情境化”的教学理念，运用“引导—探究”式进行教学． 教学立足于“四基”，学生在学习了直线和椭圆的基础知识，掌握了研究问题的基本方法的前提下，以直线与椭圆的重点知识为载体，聚焦解析几何的核心思想与方法，进一步探究直线与椭圆中的定点(值)问题． 设计一个核心，多个层次，多种选择． 从引导学生发现问题，抓住核心问题，到经历动手实践、讨论交流、总结归纳等活动，分析解题思路，完善解题过程，促进学生数学素养的提升．

3.1 问题引领，优化认知结构

从课本例习题出发进行教学，不但有利于引导学生在复习中重视课本的再学习，而且让学生了解课本题与高考题之间内在的联系，消除学生对高考题的神秘感，帮助学生学会思考，看清问题的本质． 本设计对例题的处理用“概念+问题+数学思想方法”引领解题方法和技巧，不仅让学生深刻领悟“几何问题代数化”的解析几何核心思想方法，而且还通过探究使学生充分体会函数与方程、数形结合、等价转化等数学思想．

例1的四种方法，看似是不同的解法，但其实质均是对题目中几何条件的认识，对几何构图的分析． 代数工具的使用，一定是建立在对几何问题充分认识的基础上的，只有对几何问题自身认识清楚，理解到位，才能将其准确地转化为代数问题，才能选用简洁合理的代数方法进行求解，并在其基础上产生新的认知和理解、拓展与延伸，在方法研究中提升学生的转化能力．

3.2 引导探究，发展数学思维

教师是学生学习的引导者，引导学生激活进一步探究所需要的先前经验． 教学时要善于引导学生回顾先前经验，促进学生对先前经验的重新组织、归纳和深化，最终达成学习结果. 在教学中，教师要着重设计出适合的数学探究活动，引导学生变“听数学”为“做数学”，变“看示范”为“动手操作”，变“机械接受”为“主动探究”，使学生在探究活动中加深对数学基础知识和基本技能的理解与掌握，感悟和运用数学思想方法，发展学生的数学思维，提高他们的解题能力．

在研究解析几何问题时，要用运动变化的眼光审视图形，关注运动变化中不变的位置关系和数量关系． 也就是说运动变化是解析几何思维的起点，抓住运动变化中的不变关系是解析几何思维的落脚点，而这正是以准确分析几何构图为基础． 例如，将直线与圆中的相关结论，通过压缩变换，进而联想、类比到直线与椭圆中的结论，再进行变式、拓展. 从这些操作和探究的表象中深刻思考，挖掘和感悟探究活动背后隐含的数学方法和原理，探究活动的核心是思维．

3.3 拓展引申，提升关键能力

例2、例3从不同的视角加以分析、引申和拓展，既考查了思维的过程与方法，又考查学生的运算求解能力，凸显思维的灵活性和深刻性. 复习教学就要对问题的“源”与“流”进行剖析，本课的三个层次的问题(课本题、变式题、拓展引申题)，各题目之间既相对独立，又有紧密联系，形成相对完整的知识网络，不同层次的学生学有所得．

所选例题都是在课本题的基础上发展而来，环环相扣，层次递进，知识间联系紧密，思想上一脉相承，方法上各有不同． 课堂练习是对开始问题情境的呼应，又为接下来研究直线与圆锥曲线的最值和轨迹问题埋下伏笔，起到承上启下的作用． 教学中，要培养学生对原问题的变式拓展的探究和创新能力，通过变式研究深化对问题的理解，揭示问题的本质． 通过多层次、多角度地提出问题和研究问题，才能不断地获得新的发现，积累新的解题经验，提高解题水平，提升数学关键能力．

3.4 不足与改进

本节课还有一些缺憾和需要改进的地方，如合理运用信息技术，以此提高数学教学的有效性，这方面做得不到位，课上仅是PPT的静态展示，而几何图形的动态化、直观可感，以及解析几何中蕴含的动中有静的几何特征体现不够． 小结是一节课必不可少的环节，如果能把一节课的知识、技能和方法总结归纳出既有思想又有文化的小结，则是完美收官，本节课由于留给学生交流、探究的时间较多，课堂小结很仓促． 如果前面的时间安排紧凑点，小结就更丰富了．