初中数学卓越课堂教学的实践研究*

张 静 (江苏省苏州高新区实验初级中学教育集团 215011)

“瘦、皱、漏、透”四个字是宋代名贤米芾对太湖石之美的艺术性概括，诠释了太湖石瑰奇之形、纹、质的“神”与“形”的自然韵致[1]． 在“基于高认知的初中数学教学实践研究”课题研究中，我们提出并研究了基于学生核心素养提升的“初中数学卓越课堂教学”的内在特征：瘦、皱、漏、透. 该视角下的初中数学卓越课堂有以下外显特征：(1)倡导简约(瘦). 设计精巧、思路精妙、板书精美. (2)注重生动(皱). 语言生动、有效互动、思维灵动. (3)鼓励留白(漏). 疏密相间、动静相宜、补白相机. (4)旨在深刻(透). 教材析透、教师讲透、学生悟透．[1]卓越课堂的内在追求是通过课堂教学设计研究，课堂互动生成研究，概念教学、解题教学等的研究实现学生核心素养的提升和教育教学质量的全面提升．

1 重视数学课堂教学设计的研究，体现其精练之美

教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划,一般包括教学目标、教学重难点、教学方法、教学步骤与时间分配等环节． 目前有些教学模式还是以传统的灌输式为主，忽视学生自主思考的重要性．[2]有的教学又过于注重形式，情境创设喧宾夺主，忽视数学本质的教学．

苏联教育家巴班斯基认为：无论是教学设计、教学内容的选择还是教学策略、教学评价的实施都应把简约化作为一项重要原则来指导教学. 用“简约”理念来指导教学，我认为应该对数学课堂教学进行“瘦身”，就是教学设计清晰、精巧，教学目标明确，外形简约而内涵凸显，关注学生的逻辑推理、数学运算以及数据分析素养． 精益求精的教学设计是课堂教学的灵魂，展现的是数学课堂教学的神韵，同时教学设计中应该始终贯穿有效提问． 有了问题思维才有方向，有了问题思维才有动力，有了问题思维才有创新．

课例1方差．

初中数学中的公式教学是一个重点，传统教学中教师往往侧重于“记忆—应用”的平庸模式，这样的传统模式抹杀了学生的能力发展，没有培养学生数学抽象等核心素养． 笔者设计“方差”一课时，先利用简单的案例让学生通过探究学习发现规律，理解公式的现实意义；再注重公式的本质教学，加强拓展训练，以“提升学生思维，培养应用能力”为教学目标．

例题如下：一次期中考试中，小明、小华、小丽、小轩、小玲五位同学的数学和英语成绩等有关信息如下表所示，请填表．

小明小华小丽小轩小玲平均分方差数学/分7172696870英语/分8882948576

本题意在让学生自主练习如何计算方差. 大部分教师在学生得到公式之后便开始利用该公式进行大量的练习，或者进入其他教学环节，而我在计算后根据知识层面创设新情境，对学生进行有效提问，引导学生思考探究：

(1) 进入初三后，数学、英语满分成绩均提高为130分，于是我们把每人的英语分数加上30分，他们的平均分、方差如何变化？

(2) 数学成绩扩大为原来的1.3倍，则平均分、方差如何变化？

在笔者创设的以上2种拓展训练情境中，通过对原有例题进行追问，让学生体会方差的性质. 学生自主交流、合作探究，总结出数学规律：每个数据同时增加或者减少一个数，则方差不变；每个数据扩大或缩小一定的倍数，则方差改变． 将性质符号化，得到：已知数据a1,a2,a3,…,an的平均数为x，方差为y，则数据2a1-3,2a2-3,2a3-3,…,2an-3的平均数为，方差为．

提出一个好的数学问题是增强课堂提问有效性的重要环节． 如何适时恰当地提出问题是一门学问，更是一门艺术，是提高教学质量的有效手段． 上述教学设计中，题目虽然简单但引发了学生深刻的思考，拓展得到的情境简约而不简单，让学生产生归纳意识，实现从自发思考到自觉思考的过渡，精准达到培养学生逻辑推理、数学运算以及数据分析素养的目标．

教学设计的清晰和精巧除了体现在问题设计上，同样体现在板书设计上． 好的板书给人赏心悦目的感觉，让人过目不忘，一节好课的板书往往是随着课堂的深入而逐步生成，最终形成完整的知识体系展现在学生面前，并给学生留下深刻印象．

课例2中心对称与中心对称图形．

笔者在“中心对称与中心对称图形”中设计的板书就充分体现了轻巧的特色(图1)． 通过板书，学生了解到中心对称与中心对称图形的区别与联系，同时性质中最关键的要素被简洁地呈现在学生面前，重点突出，结构清晰明了．

图1

2 重视课堂互动生成的研究，努力培养学生的自主研究能力

课堂互动是师生之间相互作用的交往活动过程，也是实施素质教育、培养新型人才的基本途径． 互动是课堂教学中必不可少的行为，没有了课堂活动就没有了师生之间、生生之间的对话沟通． 《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程． 数学教学重在知行合一，往往动“心”之处方是动“行”之时． 数学课堂教学需要师生的互动碰撞而迸发火花，形成身临其境的体验感、生成感，才能始终牵动学生的思维，实现数学新知识的同构；在师生互动的“境”中实现数学建模的完美． 教学问题的巧妙造就了数学教学新知识生成的生动性、学生思维的灵动性．

课例3公式与拼图．

江苏省中小学教学研究室董林伟先生有个课题“动手做数学，初中‘数学实验’的设计与开发研究”，研讨了如何利用数学实验来充实数学课堂，使数学课变得生动、有趣、好玩. 其中有一节典型课例“三角形纸板拼图”，与观摩活动中的“公式与拼图”有异曲同工之妙．

活动1 课堂上，教师拿出准备好的纸片：边长为a的正方形纸片，边长为b的正方形纸片，长宽分别为b和a的长方形纸片若干(图2). 教师让学生随意拼图形，启发他们拼出更大的正方形或者长方形，而且可以重叠．

图2

活动2 选择其中两幅典型图例(图3)，归纳出完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2、平方差公式b2-a2=(a+b)(b-a)．

图3 图4

活动3 教师再给出一副图例(图4)，让学生归纳得出式子a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)．

活动4 学生间互相合作，任意写一个关于a和b的二次多项式，用准备好的硬纸片拼成一个长方形，使这个长方形的面积可以用这个式子表示． 如果学生不能解决，则启发学生用其他形式的二次多项式来表示一个长方形的面积． 该问题最终让学生从游戏中归纳出规律，从而实现在玩中学的目的．

在这节课中教师只是一个引导者，学生分小组合作，通过拼图找出其中蕴含的乘法公式；每个小组都上台展示自己的作品并进行讲解，其他学生对其点评． 整个课堂始终以学生为中心，充分发挥了学生的主体作用．

3 重视概念教学和解题教学的研究，全面提升学生的综合思维能力

概念是数学学科的核心，也是基石． 概念教学是数学教学内容的主要组成部分，要充分重视． 对教学内容进行深刻打磨，有助于学生在概念生成过程中不断理解、概括，从而获得新概念并运用概念去解决相关问题，这是数学教育教学的任务．[3]初中数学中涉及的概念很多，例如有理数、无理数、一元一次方程、函数等，很多教师忽视概念教学，将概念教学简单化，往往让学生读一下、划一下就当学过了，没有去揭示概念的深层意义，这不利于学生全面提升综合能力．

课例4无理数．

有理数与无理数是小学数系的扩充，是初中数学的重要基础． 本节课在对学过的数进行整理分类的基础上给出有理数的概念，并通过无限逼近的思想方法探索无理数的概念． 学生进入初中，时间不长就经历了数系的两次扩充，第一次扩充是在小学非负有理数知识的基础上引进负数，对数的了解扩充到有理数范围；数系的第二次扩充是引入无理数，实际上是将数系从有理数扩充到实数范围，使学生对数的认识进一步深化． 因此无理数的概念课在课时设计时设计了两节课是有一定道理的．

课堂引入部分：设计两个环节.

环节2 剪一剪、拼一拼：请拿出准备好的两个边长为1的小正方形和剪刀，将小正方形沿对角线剪开，设法重新拼成一个大正方形(图5)． 你知道拼成的大正方形的边长是多少吗？

图5

提问：①设大正方形的边长为a，它满足什么条件？②a可能是整数吗？说说你的理由；③a可能是分数吗？说说你的理由．

学生们通过充分讨论，研究a是否为整数、a是否为分数，都可以通过举例来验证自己的观点．

数学课堂教学中也应着眼于“漏”，即“留白”，给学生一个自我思考、自我领悟的时间和空间． 这就要求教师在数学课堂教学中要点面合理布局，给学生创造自主探究的空间，利用留白空间，引导学生分析问题时投入数学抽象、直观想象，亲历感悟，在自由空间中探求数学知识细微、真实的原貌，呈现卓越课堂的留白绵延之美．

概念教学中的留白，在于给出的实例中从面积为1.44的正方形边长到面积为2的正方形边长，这里是一个层层推进的过程，a既不是整数也不可能是分数． 学生在多次找寻过程中逐步认识到a可能不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此体会到数又不够用了，为无理数的“闪亮登场”做好了铺垫． 同时在探索a的过程中，让学生感受逼近思想和夹逼方法，这也是卓越课堂“透”的体现． 卓越课堂追求的“透”，即教师讲透、学生悟透． 数学课堂教学的实施过程是师生情感体验的过程，从一个个知识点到一个个掌握数学规律的情感升华，都是学生高效的深度学习，也正是课堂的指向．

最后，学生们从a2=2探寻得出a的值为1.414 213 562 373…，并认定它是有理数以外的数，从而有了无理数的概念．

此外，在现在的数学解题教学过程中，许多学生机械地模仿教师的解题过程，没有从本质上理解其中的数学道理，缺少独立思考能力，在遇到复杂题时不能灵活运用所学知识，解题遇到困难． 因此，中学数学的首要任务就在于加强解题能力的训练． 在习题评讲课中更能体现教师的基本素养． 由一题多解到多解归一、到通性通法，需要教师从“瘦、皱、漏、透”四个维度进行设计和践行． 教学设计简约，题目不在多而在于精、在于成体系，即为“瘦”． 教师不是一讲到底，而是以问题串的形式层层铺垫，引发学生思考，甚至有时让学生做在前，暴露问题，再引导学生寻找问题、解决问题，一波几折，是为“皱”． 解题教学贵在方法的启发与归纳，应详略得当，该留给学生思考、计算、归纳的就不要越俎代庖，甚至在一节课结尾时留下悬念或思考题，让思考延伸到课后，是为“漏”． 重点题型和思想方法讲透、析透、悟透，是为“透”．

课例5线段最值问题．

关于求几何最值问题，我们一般可以借助以下两个公理来处理：

(1) 定点到定点：两点之间线段最短

线段之和最短问题，又称“将军饮马”问题，是中考试题研究中的一个典型案例，其本质是利用对称思想解决最短路程问题． 近几年的中考试题中也常常以此为原型，将问题背景换成角、菱形、圆等几何图形，求解最短路程问题．

如图6，A,B在直线l的异侧，这时，连结AB即可得到点P，使得AP+BP最短. 这里运用的是“两点之间线段最短”． 将军饮马问题可以类似解决：我们只要作点B关于l的对称点B′，根据轴对称性可知PB=PB′． 因此，求AP+BP最小就相当于求AP+BP′最小，很显然当A,P,B′在一条直线上时，两点之间线段AB′最小(图7)，即AP+PB′最小． 因此连结AB′，与直线l的交点就是要求作的点P． 我认为这里首先要搞清楚为什么要利用“作对称点”来解决这个问题；其次为什么这样做线段之和最短，这里体现留白艺术，图7可以让学生自行讨论体会；最后得出看似三角形两边之和大于第三边，实质也是“两点之间线段最短”，这里体现解题教学中的“透”．

图6 图7

在进行简单练习后，可以抛出另外两个模型：费马点问题、圆外一点与圆上距离的问题．

费马点问题：如图8，△ABC的内角都小于120°，在△ABC内部有一点P，连结PA,PB,PC，当PA+PB+PC的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数．

图8 图9 图10

我们要想办法把PA,PB,PC这三条分散的线段转化为连续的折线，然后借助两点之间线段最短找到符合条件的点P． 在解决几何最值问题过程中，我们常借助对称变换、平移变换和旋转变换. 这里牵涉三条线段，因此可以考虑旋转变换．

将△ACP绕点C顺时针旋转60°得到△A′C′P′，则这两个三角形全等，CP=C′P′,AP=A′P′,∠PCP′=∠ACA′=60°，得到△PCP′是等边三角形(图9)． 因为PA+PB+PC=AP′+BP+PP′≤A′B，所以当A,P,P′,A′共线时，PA+PB+PC最小(图10)，最小值为A′B． 此时，∠BPC=180°-∠CPP′=120°，∠APC=120°．

学生通过思考、讨论，发现这里的实质也是“两点之间线段最短”．

可以再跟学生回忆一下圆外一点与圆上距离最短的问题的处理方法：如图11，已知定圆O外有一定点P，圆上有一个动点Q，PQ何时最短？通过画图，学生可以发现，这里其实也蕴含着“两点之间线段最短”．

图11 图12

这节课还可以继续拓展：

(2) 定点到定直线：垂线段最短

在初中数学中，除了两点之间线段最短以外，还有一个相关的涉及最值的命题，即“垂线段最短”. 这里可以将“将军饮马问题”继续变式，便得到了下面的例题：

如图12，点A是∠MON内的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小．

解析 作点A关于OM的对称点A′，于是AP=PA′，PA+PQ转化为PA′+PQ，根据“垂线段最短”，从A′向ON作垂线，垂足即为点Q．

图13 图14

4 结语

四字特征彰显卓越课堂本色，卓越课堂落脚于核心素养提升． 数学课堂教学中的“瘦、皱、漏、透”是实现学生数学学科核心素养的必由之路，也是数学教师发展自我的必然路径． 在构建初中数学卓越课堂的道路上，笔者将努力着眼于学生的全面、可持续发展，努力让新的课程理念落实到每一节课上，让课堂成为师生共同成长的空间．

在卓越课堂的引领下，我校中考成绩节节攀升，建校17年已产生五位中考状元． 在2020年中考中，700分以上12人，690分以上52人，有近千人达到四星级高中录取分数线，在苏州大市范围内影响广泛，全国各地多个代表团到我校观摩学习． 今后，我们还将继续研究卓越课堂，努力提升教学质量．