生活中的问题发现对数学教学的启迪*

叶新和 (江苏省泰州市高港区教育局 225301)

1 期望与现实间的落差

培养学生数学学科发现问题的能力是《义务教育数学课程标准(2011年版)》(下称《课标》)总目标中新增要求：通过义务教育阶段的数学学习，学生能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力[1]8． 据此可以猜测，从2011年开始对数学学科发现问题能力的培养会成为数学教育界的研究热点，会产生大量研究成果． 然而实际情况似乎并非如此．

中国人民大学书报资料中心编辑出版的《初中数学教与学》2020年第4期“问题提出专题研究”专题的“编者按”中指出：“修订后的数学课程标准进一步明确了数学课程的‘四能’：从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力． 通过各类测评和调研发现，学生发现和提出问题的能力相对薄弱，而且很多教师对于引导学生从数学角度提出问题也缺乏有效的策略． 本期专题对国内外的相关研究进行了梳理，并对学生问题提出能力的水平进行调查研究，进而分享了一些有益的教学探索，希望能对老师们有所启发”[2]． 对此，笔者感到困惑的是：“编者按”中提到“发现问题”，然而为何不对“发现问题”进行研究，而是对“提出问题”进行研究？

2020年8月29日，笔者在“维普期刊”以“发现问题”为关键词进行搜索，得到2 029条记录，增加关键词“核心期刊”再次搜索，得到207条记录，再增加时间“2011—2020”进行搜索得到19条记录，这19条记录中没有一条是涉及数学的． 再在中国知网以“发现问题”“核心期刊”为关键词进行搜索，结果得到245条记录，其中与数学有关的15条，增加“期刊时间‘从2011年至不限’”进行搜索，只剩下7条，其中只有1条与数学有关． 由此可见，2011年以后，相关研究不仅没有得到加强，却反而明显有所弱化，在数学学科方面的成果更是很少． 从“问题提出”的研究来看，似乎也可以作为佐证：由文[3]中的数据得到表1，可以看出，以2011年为分界线，2011年以后研究成果低于2011年之前． 为何《课标》颁布之后研究成果反而变少了？

表1 2002—2017年有关问题提出研究统计

对于一线教师而言，《义务教育数学课程标准(2011年版)解读》(以下简称《课标解读》)权威性比较高． 然而其中关于“问题”的描述以及对“发现问题”的界定，细细推敲，读来令人不解． 关于“问题”，书中如此描述：问题可以是自己的疑惑，可以是自己的困难，也可以是自己的发现，等等[4]116． 此处“发现”为名词，因为没有进行限定，如果改为动词，需要自行补充内容，是否可以任意补充内容呢？比如说只要是“发现”便就是“问题”，那么自己发现的数量关系、空间关系等结论对自己来说也是“问题”？关于“发现问题”，书中如此界定[5]124：所谓“发现问题”，是经过多方面、多角度的数学思维，从表面上看来没有关系的一些现象中找到数量或者空间方面的某些联系，或者找到数量或者空间方面的某些矛盾，并把这些联系或者矛盾提炼出来． 困惑之处在于“将找到的联系提炼出来”被认为是“发现问题”． “找到联系”一般认为是“发现结论”，如果“找到联系”是“发现问题”，那么“发现结论”成了“发现问题”？此两处的说法难以令人信服，用于指导实践说服力不强．

在进行培养中学生数学学科发现问题能力的探索中，笔者和课题组成员感觉研究不易深入，注意到数学源于生活又服务于生活，拟通过对生活中问题发现的实例进行剖析，来为培养中学生发现问题能力提供启迪．

2 生活中的问题发现

笔者生活自理能力比较差，在日常生活中经常“发现”问题． 下面为笔者身上发生的真实案例．

案例一天上午上班前我偶然发现支付宝不能登录，原因是以前设置的指纹登录方式取消了. (后来回忆，几天前进村走访指导居民登录手机APP时，需要用自己的手机来示范． 手机设置了指纹解锁登录． 由于当时戴的橡胶手套，如戴着手套便无法解锁，而不戴手套，既不卫生又不安全，便取消了手机指纹登录的设置． 没想到，支付宝指纹支付的方式不好用了． )

提示信息显示可以通过短信验证码的方式来登录，然而试验几次不得要领，还是无法登录． 提示信息显示还可用刷脸的方式登录． 试着刷脸，弹出提醒要增加脸部的光亮，我便试着通过调整脸部跟手机摄像头的位置来增加光亮，试验几次无效． 儿子看后，说是前置摄像头模糊． 后来我便赶去上班． 当日午间在办公室登录电脑，搜索“OPPO手机的前置摄像头在哪里”，没有找到相关帖子． 根据感觉将正面上方的圆孔、小椭圆孔用棉签擦了一下再试，问题好像没有解决． 重新搜索“OPPO R9s”，在搜索结果中查找到有关OPPO R9s手机前置摄像头的图片，终于能够确定手机正面上方的小圆孔处就是前置摄像头的所在． 重新用棉签仔细擦拭后再用刷脸方式登录，终于成功了．

分析这个案例可以发现，登录支付宝之所以出现问题，系期望情形(指纹能登陆)与实际情形(指纹登陆取消)之间出现了差距． 恢复指纹登录、通过验证码登录、利用刷脸登录，都因为笔者欠缺相关知识经验，难以解决问题． 其中在用刷脸方式来解决时，不知是前置摄像头模糊的原因，导致需要增加脸部光亮然而没有办法，问题便转化为如何判断前置摄像头位置． 仍然因为欠缺相关知识经验，需要通过网络搜索相关知识来解决．

据此，我们或许可以这样来认识“问题”：当期望情形与实际情形之间出现差距，导致现有知识、经验不能解决时，便形成了问题． 相应地，发现问题是指意识到实际情形与期望情形之间存在差距，或者意识到现有知识、经验不能解决出现的情况．

对前置摄像头模糊的问题，实际解决经历了“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的过程． 其解决过程体现了准确描述问题很重要，同时也说明了：要准确描述问题，必须要具有相关的背景知识． 如果百度搜索时问题描述不正确，那么问题便得不到解决，自然最初的支付宝登录问题仍然无法解决． 撰写本文时，笔者又以“OPPO R9s 前置摄像头 位置”为关键词进行搜索，其中有一条名称为“OPPO R9s位置信息设置在哪里”的帖子，感觉问题的描述跟笔者当时的情形差不多，点开一看，帖子前段内容为：“OPPO R9s位置信息设置就是OPPO R9s 的GPS开关，打开GPS 设置就能获取定位信息. ”看来这是如何在OPPO R9s手机上进行定位设置的，与笔者期望解决的问题不是一回事． 这再次验证与强化了相关认识．

3 改进数学教学的探索

来自生活中问题发现及解决的有关认识对数学教学中培养学生发现问题的能力是否具有启迪价值？如果有，又如何应用于数学教学？

生活中不少问题往往由于条件或者情况发生了变化，期望情形与实际情形之间就产生了差距． 在初中数学教学中如何看待“期望情形与实际情形之间的差距”？数学是研究数量关系和空间形式的科学[1]1． 对于一个具体的情境，数学学科仅仅关注其中的数量关系或者空间形式． 如果将理解或者解决该数量关系或者空间形式最少所需要的数学“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)视为期望情形或者理想情形，并将学生进行理解或者解决时已经具备的数学“四基”视为实际情形，那么两者之间存在差距时会产生问题． 然而，对于具体的实际情境，需要寻找指定的数量关系或者空间形式时，学生往往不知道需要新学何种内容才能够解决，因此“期望情形与实际情形之间的差距”是从教师角度来看待的．

从学生角度看，意识到现有“四基”不能解决，此时可能会产生困难、焦虑、挫败等心理体验． 从心理体验的角度进行描述，可能正是《课标解读》中将问题解读为“可以是自己的疑惑，可以是自己的困难，也可以是自己的发现，等等”的原因． 不过，对于同一种情境不同的人会有不同的心理感受，并且心理感受的类型多种多样，列举难以穷尽．

我们注意到，学生在数学学科方面的知识、经验可以用数学“四基”来概括． “四基”是数学学科特有的提法，它充分体现了数学学科的特点． 这样看来，数学学科“发现问题”可能用“对于某个情境，学生意识到自己的现有数学‘四基’难以解决，或者感觉与自己现有数学‘四基’不一致”来刻画相对简便一些．

数学教学中培养学生发现问题的能力应从哪个环节开始？这一点颇费思量． 针对具体情境，很多时候老师跟学生说“你能够发现什么问题吗？”会显得牵强附会． 注意到案例中“提出问题”是在意识到问题的基础上运用有关术语来进行表述，这表明提出问题往往也意味着已经发现了问题，不妨从“提出问题”环节来进行发现问题能力培养．

《课标解读》中对“提出问题”的界定为：所谓“提出问题”，是指在已经发现问题的基础上，把找到的联系或者矛盾用数学语言、数学符号集中地以“问题”的形态表述出来． ”[4]124分析该界定，可以得到两点结论：一是“提出问题”是建立在发现问题的基础上的． 能够提出问题，说明已经发现了问题；二是提出问题往往需要相应的背景知识． 在数学学科中提出问题，需要应用数学学科知识(数学语言、数学符号)来进行表述． 这两点与剖析案例得到的认识完全一致． 数学教学中从“提出问题”环节开始来培养发现问题能力容易设计与实施．

案例中问题比较复杂，仔细分析，发现在问题解决的过程中问题是在不断变化的，原有的复杂问题不断转化为相对容易解决的问题． 可见，数学教学中不必纠缠于从“发现问题”开始还是从“提出问题”开始，只要在问题解决中不断生成新的问题，总能有效培养学生发现问题的能力．

基于这样认识，笔者结合“平方根”内容在培养学生发现问题能力方面进行了一些探索：[5]

问题1 有的计算器显示为“Error”． “Error”表示什么意思？选择的整数具备什么共同点？你有何猜想？换几个整数试试，验证你的猜想．

问题2 观察选择的数字以及显示的结果，你有何想法或者会提出什么问题？

问题4 对于算术平方根及其符号表示，你能提出什么问题来考考同学吗？

学生如果知道“Error”的含义，也会因为疑惑从而“生长出”一系列问题(或者由不知道含义到知道含义后会再次产生疑惑)：为什么有的显示为“Error”，而有的显示为数字？进而会猜想：出现这样的情况，或许是跟所选数字有关;如果有关，那么这些数字具备什么共同点？换几个具备这样特征的数来试一试，是不是还有这样的结论？

观察结果显示为具体数字的，感觉杂乱无章、眼花缭乱，有的学生可能会有一些想法：这里面是否具有一定规律？选择结果比较简单的情形进行观察、分析，试一试，能否有所发现？如果有所发现，对于结果比较复杂的情形(小数位数比较多的)，是否还有这样的结论(特征)？“你有何想法或者会提出什么问题？”这一问句能有效地鼓励学生说出自己的疑惑、困难，或者以问题形式来考考同伴在数量关系方面的认识(数量关系既可能是提出问题者已经有所发现而期望了解同伴是否也发现了，也可能是提出问题者没有意识到期望同伴能够发现并且告知自己的)．

问题1至问题5这些来自学生的系列问题不断驱动着他们的思维向纵深展开，不断引领着他们主动探索与发现，有助于培养他们的创新意识、创新能力，而这也是《课程标准》中新增“发现和提出问题能力”的初衷[4]123． 也因此在设计问题时笔者考虑较多的是如何设问更加自然、简洁并且直指数学学科本质．

从上面的分析与探索可以得到两点结论：一是培养学生数学学科发现问题能力虽然有难度，但是值得去做，也是能有所作为的；二是剖析生活中发现的问题及其解决的实例，以指导在数学学科中培养学生发现问题的能力，不失为一种新的研究视角，是一种行之有效的方法，值得继续探索与研究． 同时，也需要注意到两者毕竟有所区别，不要机械迁移到数学学科教学中．