教师要脚踏实地，也要仰望星空

常静锋

笔者最近参加了靖江市初中数学青年教师教学基本功大赛。在笔试环节，有这样一道几何证明题：请用直接证明的方法求证对角互补的四边形是圆的内接四边形。即：

已知：如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，求证：四边形ABCD内接于一个圆。

笔者由于经常参加所在市初中数学试卷的调研、命题，所以，对于初中数学解题，还是比较自信的。看到这样的问题，笔者首先想到了反证法。

如图2，过A、B、C三点作⊙O，假设点D不在⊙O上，则点D可能在⊙O内或在⊙O外。

假设点D在⊙O内，连接并延长BD必与⊙O相交。设交点为D′，连接AD′、BD′，则必有∠AD′C+∠ABC=180°，因为∠AD′B<∠ADB，∠CD′B<∠CDB，所以∠AD′C<∠ADC，所以∠ADC+∠ABC>180°，这与“∠A+∠C=180°”矛盾，说明点D不可能在⊙O内。同样可证明点D不可能在⊙O外，故点D只能在⊙O上，即四边形ABCD内接于一个圆。

我们知道，一个命题的逆否命题与原命题等价，而反证法的本质就是证明原命题的逆否命题。通常在直接证明比较困难的情况下，用反证法更容易。这道题也可用直接证明的方法，但是，参加比赛的教师中居然没有一位教师能够直接证明出来。考试结束后，数学教研员给我们进行了讲解：

由于∠A+∠C=180°，而四边形ABCD的内角和为360°，所以∠A+∠C=∠B+∠D。

（1）若∠A=∠B，则∠C=∠D，有四边形ABCD是等腰梯形，且AB∥CD（如图3）。作AB的垂直平分线l1，l1必然垂直平分CD，作AD的垂直平分线l2，l2交直线l1于点O，连接AO、BO、CO、DO，则有AO=BO=CO=DO，所以四边形ABCD一定有外接圆。

（2）若∠A≠∠B，不妨设∠A>∠B，由∠A+∠C=∠B+∠D，有∠A-∠D=∠B-∠C。

如图4，分别在∠A、∠B内作射线AG、BG，使得∠1=∠D、∠2=∠C，两条射线相交于点G，且分别与CD相交于点E、点F。

如果点G恰好在CD边上（即E、F、G三点重合），则有GA=GB=GC=GD，那么四边形ABCD内接于一个圆。

如果点G不在CD边上，分别作AD、BC的垂直平分线l3、l4相交于点O，所以OA=OD，OB=OC。

因为∠1=∠D、∠2=∠C，所以EA=ED、FB=FC，故OE平分∠GEF，OF平分∠EFG，所以在△EFG中，点O必在∠G的角平分线上。

而∠A-∠D=∠B-∠C，即∠3=∠4，所以AG=BG，所以直線GO垂直平分AB，即OA=OB，所以OA=OB=OC=OD。故以O点为圆心、OA长为半径的圆经过B、C、D三点，即四边形ABCD内接于一个圆。

笔者惊叹道：“原来这道题还可以这样证明啊！”显然，直接证明的方法仍然基于初中几何知识。笔者在享受这道题直接证明方法的同时，也产生了一种深深的自责，不禁想起裴光亚先生在《青年教师的专业成长》中的一段话：“不论你具备什么样的学历，毕业于哪个院校，如果没有进取的愿望，没有人生意义的追求，没有理想，没有对教师使命的崇高理解，你的水平都将向同一个层次聚焦，这个层次便是中学。沿着阻力最小的方向，这是一个极限的过程。若以中学水平为极限，当你以高学历为起点时，这将是一个单调下降的过程。”这段文字好像就是笔者的自画像。

笔者反思自己的教学生涯，无非就是备课、上课、批改作业、辅导学生应试，有时还会为自己擅长解中考题，教的学生考高分而沾沾自喜。殊不知，长期下去，自己的专业水平逐渐下降，学科素养明显削弱。通过一段时间的阅读、实践与反思，笔者体会到，要想成为一名优秀的初中数学教师，既要脚踏实地，也要仰望星空;既要有大知识观、数学哲学观，还要有素质教育观。

数学教师要有大知识观。例如，在平面几何中，有许多教材中没有出现的经典定理或结论，如托勒密定理、梅涅劳斯定理、笛沙格定理、塞瓦定理等，这些定理在教学中不要求学生了解，但作为初中数学教师，必须了然于心。只有这样，教学时才能胸有成竹。

数学教师要有数学哲学观。我们都有这样的体会：学生学习了高中、大学内容后，总感觉初中教师是不是讲错了？以“平行线的定义”为例，初中教材上是这样描述的：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。这是基于欧氏几何的结论。事实上，非欧几何认为：在同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）。这是由“改进”的球面模型得出的基本公设。我们可以设想：教师如果有数学的高观点，上课就不会对学生说出“过头”的话，学生也不会认为初中教师讲错了。数学教师不能只研究教材，研究学生，研究教法，还应该多阅读，与名家对话，与大师对话。如了解数学的起源在哪里，数学是发现的还是发明的，数学的对立与统一等。数学教师只有通过阅读，才能感悟数学的哲学意蕴，使自己有数学哲学的高观点。

数学教师要有素质教育观。教育不只在于传授知识，还应该熏陶学生的精神和情感。比如，本文中的第一个案例，因为中考试题中不会出现，所以教学中不可能涉及。但教师如果课堂上引导学生进行探究，作出完整的证明，学生自然能从中感受到数学的奇妙，从而激发几何探究的兴趣，数学的理性精神也会得到熏陶。

（作者单位：江苏省靖江市滨江学校）