引导学生建构数学模型的教学策略

张小英

[摘 要]建构数学模型是一个数学抽象和数学概括的过程。结合“乘法分配律”一课的教学，探讨如何借助几何直观及变式练习，引导学生感知、抽象并内化“乘法分配律”模型，以此提升学生的数学素养。

[关键词]数学模型;乘法分配律;建构策略

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）35-0063-02

数学课程标准特别强调，在引导学生进行数学学习的过程中，必然要经历对实际问题进行抽象的过程，使其可以自主建构数学模型，并完成解释和应用。对学生来说，数学建模必然是一个自主化的过程，但是当前的教学实践未对建模过程展开深入探究，所以很多学生对数学建模的理解普遍停留在表面，难以准确把握其内涵。

“乘法分配律”是小学数学教学的难点所在，在具体教学过程中，教师需要结合记忆以及反复的练习，引导学生深入探究，进而体会数学模型的建构过程。这一点非常关键，不仅有助于学生理解乘法的意义，还能够让学生对乘法分配律的成因展开深度思考，帮助学生完成对数学模型的建构，高效且透彻地理解其内涵。

一、借助几何直观，感知“乘法分配律”模型

虽然引入学生比较熟悉的生活问题，可以拉近学生和乘法分配律之间的距离，但是想要实现成功的教学，不仅要揭示其现实意义，还要使学生透彻地理解其数学意义。而在教学过程中引入几何直观，可使学生对乘法分配律的数学模型形成更深刻的感知。

首先向学生呈现教材中的主题图，然后设计数学问题：在给厨房贴瓷砖的过程中，如果左面墙壁每排能够贴5块，总计贴4排，右面墙壁每排可以贴5块，总计贴6排，请问一共需要多少块瓷砖？

在解答这一问题之前，要求学生先画图，再列式。学生很快列出了两道不同的算式：（6+4）×5=50（块）;6×5+4×5=50（块）。

师：大家先认真观察大屏幕所给出的图形（如图1），然后和同桌探讨为什么这两个算式是相等的。

生：因为等号左边代表的是10个5相加，而右边代表的是6个5相加和4个5相加，因此这两个算式相等。

在理解这一知识点时，学生自主联系了之前学习过的长方形面积计算公式，可见，图形能够辅助学生理解算理。同时在学生进行表达时，教师还要提高他们数学语言的表述能力，为接下来乘法分配率的提炼奠定基础。

数学这门学科探讨的是空间形式和数量之间的关系，数形之间保持着极其紧密的关联。因此，在组织教学时，不仅要强调乘法的意义，还要引入数形结合，帮助学生建立丰富的表象认知，体会数与形之间的密切关联，然后理解其本质含义。这样才能够为下一步数学模型的建构奠定良好的基础。

二、引导数学概括，抽象“乘法分配律”模型

当学生对模型建立了初步的感知之后，可向其提供大量的类似材料，帮助学生丰富表象、感悟模型，并留足够的思考空间，使学生可以通过具体的例子发现规律，然后使用规范的数学语言对其进行描述，完成对模型的抽象和建构。

1.引导数学观察，探究算式规律

首先给出两个算式（55+38）×2=55×2+38×2和（6+4）×3=6×3+4×3，要求学生观察等式两边，找出规律，然后使用规范的数学语言表达。学生基于现有的认知水平，已经能够做出相对准确的表述：等式左右两边相等，左边是两数之和与另一个数相乘，右边是两个加数分别与乘数相乘，然后再相加。

2.引导举例验证，归纳算式规律

师：这个规律可以适用于任何地方吗？是否可以举出一些实例？

生1：例如（3+9）×22=3×22+9×22。

师：在这个例子中，等式的左右两边分别代表什么？

生1：左边是12个22的和，右边是3个22和9个22的和。

生2：又如（2+7）×3=2×3+7×3。

师：请你也解释一下。

生2：左边是9个3的和，右边是2个3和7个3的和。

……

师：通过大家所举的例子，我们可以发现，根据计算结果，能够证明这个计算规律成立，这个规律叫作“乘法分配率”。如果让你介绍这个规律，你会怎样表达？

生3：两数相加的和与另一个数相乘，所得的结果与这两个数分别与乘数相乘之后再相加的结果相等。

之后组织学生思考，完成模型（▲+■）×●=？的建构。学生得出：（▲+■）×●=▲×●+■×●。针对学生的回答，教师先表示肯定，然后再对具体的规律进行总结归纳。

3.引导交流总结，抽象数学模型

师：我们可以使用更简单的数学语言来呈现这个规律：（a+b）×c=a×c+b×c。

所谓数学表象，就是根据所呈现的客观事物，以及结构或者形式，对其进行概括或者描述，由此形成观念性表象，如图式。通过这一方式，可以帮助学生对计算规律形成初步感知，在经过对比、观察以及分析之后，总结规律，尝试描述、表达，然后再对规律进行抽象，形成数学模型。为了确保这一环节顺利开展，需要教师在建模时引导学生仔细观察数学符号，进而完成模型建构以及相对规范的语言表达。

三、借助变式练习，内化“乘法分配律”模型

在应用乘法分配律的过程中，很多学生出现了理解以及应用困难，他们能够理解 a×c+b×c=（a + b）×c，但是逆向运用就出现了困难，既不能形成直观的感知，也难以实现意识层面的深度理解。为此，需要运用合理的方式引导学生逆向思考问题。一方面要加强练习，使学生理解乘法的意义;另一方面，需要完成对模型结构的内化，帮助学生深化认知，加强應用。

1.借助对比练习，强化模型认知

实际应用过程中，学生经常会出现错用的情况，如所给出的算式并不需要应用乘法分配律，却被学生错误地使用。特别是在一些简化运算中，有些学生会忽视“因数相同”这样一个非常关键的条件。针对学生的这一易错点，可给出两道算式：（1）47×88+53×88;（2）47×88+53×89。

解题之前，先要求学生对比这两个算式，然后展开细致观察，找出二者的异同，然后再和同桌展开探讨。学生发现这两道算式都是求两个乘积之和，但是算式（1）中有一个因数相同，算式（2）没有相同的因数。根据学生的这一发现，要求他们对照乘法分配律，了解只有算式（1）才适用这一法则。这样的方式能够帮助学生深化认知，感受其中的关键性条件。

很多学生还会将乘法分配律与乘法结合律相混淆，所以需要在练习中增加对比环节：通过多个题组，引导学生准确把握不同的规律以及特点。例如，（40+4）×25和（40×4）×25、25×125×25×8和25×125+25×8。在练习之前，可以辅以引导式提问：这几组算式具有怎样的特征？存在怎样的区别？分别需要运用哪个运算规律？借助这一运算规律，是否可以真正简化运算过程？这么计算的原因是什么？让学生通过对比，清晰地把握不同法则各自的特征以及应用条件，深化学生的理解，强化学生的认知和记忆。

2.借助逆向练习，内化数学模型

在教学乘法分配律的过程中，需要教师给出丰富的感性材料，使学生展开有目的、有顺序的观察，并通过合理的对比和逆向练习，内化数学模型。为此，教师可提供两组练习：（1）99×38+38;（2）46×38+54×39。

学生刚接触这两道题时，都认为不能使用乘法分配律解题，但通过仔细观察，就能够发现这两道题很有特点，可以对其进行變式，之后再应用对应法则。例如算式（1），可以将38改写为38×1，这样就能够成功地利用之前所学习的旧知，即某个数与1相乘，这个数不变。在引入这一知识点之后，不仅有助于提高学生的解题能力，还能够就此深化他们的认知。对于算式（2），通过观察可以发现，其中有两个乘数相加之后能够得到100，对此学生就会思考：在不存在相同因数的情况下，究竟应该怎样变式才能使用乘法分配律对其进行简化呢？教师引导学生关注乘数39，对比前一组数字中的38，两者相差1，将39改写为38+1，就可以解决这一问题。在上述两道题中都使用了乘法分配率，一次为顺向、一次为逆向，通过这样解题，有助于深化学生对知识点的认知，有效训练其思维的灵活性，提高其解题能力，使其树立解题自信，并从内心生发浓厚的数学学习热情。

总之，在学习乘法分配律的过程中，既要充分链接学生的生活经验，使学生可以完成对数学模型的提炼以及建构，还要辅以数形结合，帮助其理解深化认知，并为日后的深入学习奠定良好的基础。

（责编 罗 艳）