空间结构化：引领学生触摸分类思想精髓

曹炯 沈杰

《三角形的分类》是四年级下册空间与图形的重要教学内容，是一节渗透分类思想的经典课例，从知识概念结构层面剖析它是隶属于空间观念核心词之下的图形认识范畴。理解是描述数学对象的特征和由来，是建立数学概念的基本要求;而把握更多的是数学方法的习得，是对数学性质推理演绎能力的基本考查。因而这节课分类是帮助学生形成空间观念的重要学习方法，但教学旨归应是基于分类过程中对学生空间思维能力与数学思想的生长与培养。

一、揭示分类意义，体现概念层级衍生

概念是人脑对事物本质属性的反映。数学概念反映的是一类对象在数与形方面的内在、固有的本质联系，它是数学知识体系中的基本元素，是其他命题推理的基础。任何概念都不是孤立的、静止的，只有建立动态关联才能更加坚固知识的框架结构。因此，在第一部分环节应当以角与三角形两个概念的交集分类作为核心内容。

在一年级上册第四单元《认识图形（一）》中，将生活中的物体按照长方形、正方形、圆柱、球四种形状进行分类，这是学生第一次感受图形的分类，或者说图形是可以分成不同的类别的。按照加涅的学习结果中智慧技能的五个层级分类，这时的学生处于第一个层级：辨别，只要注意直观的某些特征，并不强调数学概念的介入与解释，更多是数学活动的经验积累。

四年级下册《三角形的分类》学习学生已经迈过了辨别层次，因为这时学生是在定义三种不同类型的角和三角形概念之后，依据两者的交集属性再进行分类，现在的分类学习行为属于第二层级“具体概念”向第三层级“定义性概念”转变，简单地说，就是从“概念定义”（单个概念本身）到“概念同化”（概念之间关系），这是一个对空间概念及思维不断生长与衍生的学习过程。

二、加法多向操作，减法提炼概念交集

线上教学由于受到教学环境的限制无法为学生提供有效的三角形实物材料，同时也综合考虑减少学生分类的思维泛化和外部因素干扰，突出角的概念与三角形概念的融合，在两者概念互相交融的中间地带寻觅一片交集区域，以剔除非本质属性的方式提炼更为精炼、准确的表达结构，为此提出以锐角三角形+问题+画角为结构的教学设计。

【教学环节：学习角的分类】

师：（先画了一个三角形）请大家观察一下，这三个角分别是什么角？

生：都是锐角。

师：你能自己画一个不是三个锐角的三角形吗？学生画。呈现学生的两种情况：

师：有同学这样画，是一个直角，两个锐角。谁也是这样的？（板书：一个直角，两个锐角）

师：还有同学画的是一个钝角，两个锐角。谁也是这样的？（板书：一个钝角，两个锐角）

师：还有不一样的吗？

师：有没有可能有两个直角？为什么不可能？

生：我们可以试着画画，如果有两个直角，就不能围成三角形了。

（生画）

師：看来通过画一画都能清楚地告诉我们在一个三角形里最多只有一个直角。

师：有没有可能有两个钝角？为什么不可能？

生：也只能是一个钝角，因为一个钝角超过90°，两个钝角就超过180°了，两条边叉的更开了，根本不可能围成三角形，肯定不会有两个钝角的。

师：看来在一个三角形中，直角或者钝角最多只有1个。

（师小结：按角分，三种情况）

师：现在看来，三角形按角分，你们觉得有几种情况？分别是哪几种呢？

生：三种。ɑ.三个锐角。b.一个直角，两个锐角。c.一个钝角，两个锐角。

师：数学上，对这三类三角形规定了专用名称，依次叫锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。（对应原来板书中的三句话，写在合适位置）

师：我们把三角形按角分，可以分成锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类。

1.辩证看待锐角三角形。教师示范画锐角三角形有两点考虑：一是从数学图形学习结构层面连接角与三角形的两重概念，三角形里是有锐角的，同时角的大小也能体现三角形的特征与相关属性，利用角帮助学生对三角形概念的正确建构与加固。二是从辩证的角度理解，这是对锐角三角形本体结构的认可，这是肯定。同时也隐含了否定的蕴意：还有可能不是锐角三角形的其他三角形吗？古希腊的柏拉图曾说过：在哲学范畴肯定和否定往往能体现事物相对立情境，但在日常生活中，这两者更多的是相互依存、联系，甚至是转化。因而锐角三角形是开启学生按角分类的幸运钥匙，借助它就能引导学生逐步触摸到藏在它背后的直角三角形与钝角三角形。

2.统领问题探究聚焦化。两种设计都体现了核心问题对学生引领思考、推动教学进程发展的积极作用。是小学数学教学的基本模式。“你能画一个不是三个锐角的三角形吗？”这个问题更具提挈性与构成性，它聚焦于角的大小与三角形分类的直属关系，给学生的独立思考与主动探究留下了空间，帮助学生走出锐角单一的直觉与经验的窠臼，迈向更为广阔的思维场域，为思维的发展提供了更大的张力与生长态势。

3.操作提升思考更理性。在个体既定的认知水平下，外部表征是否合适的最大问题在于外部表征的层次性把握不到位，从而影响了学习效果。为此，我们将教学起始点设置在第二水平层次：关系提炼，摆脱实物三角形动手操作的教学束缚，跳出动手直接分类的教学常规。两者的主要差别在于教师设计的操作范围与定向表征程度，相比传统教学，我们的改良更加符合学生的思维，更加贴近学生的认知需求，相应的操作结果使学生对三种不同类型的三角形分类概念形式理解得更丰满。

三、乘法变化扩展，除法寻绎结构共鸣

教师设计以动态角边联结的规律探究内容，让学生多向度、多维度深度感受到三角形的结构变化特征，最后逐步发现角边规律，达成三角形结构的认知共鸣。

1.迈向形式化演绎层面。按角与边分类是学生对角与三角形概念的形式化加工，还处于零散的结构状态，两者还没有达到空间形体结构的重叠，学生还没有走出直观描述的学习困境，其认知过程只能停留在模仿、记忆与强化，只能达成“工具性理解”，若是突出数学知识之间的内在联系，其认知过程侧重经历、感知、体验，就会形成“关系性”理解，达到形式化演绎水平。

2.沟通结构化空间思维。作为空间几何初步知识的内容，三角形角与边的联系非常密切，沟通两者的形体的内在结构，可以促进学生更加深刻地认识三角形的本质特征。从钝角、锐角等腰三角形两腰长短与顶角规律的初步认识，再到直角等腰三角形唯一性的怀疑，最后形成规律的再认识。空间观念是物体形状大小、位置关系、运动变化在人脑中的反映。学生在这一个严谨、连贯的思维活动过程中，学生经历了顶点运动、角与边的大小、位置对三角形形状的决定作用，从结构化层面获得了深刻的理解。

2019年6月，中共中央、国务院颁布《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，首次提出在宏观方面坚持“五育”并举，全面发展素质教育，在微观方面强化课堂作用，切实提高教学质量。这就要求教师在平时的教学中下足功夫，优化传统教学方法，在“图形与几何”等相对抽象的教学内容中，遵循儿童的年龄特点和认知规律，适当点拨与干预，从而促进学生空间观念的有效发展。

（作者单位：浙江省嘉善县教育研究培训中心/嘉善县惠民小学）

（责任编辑 张妤）