《数学物理方法》课程教改的探索与实践

杨 明， 王小六

(东南大学 >数学学院，南京210096)

1 引 言

数学物理方法在现代数学发展中占据重要地位. 牛顿、莱布尼茨在17世纪后叶发明微积分是数学发展到现代数学阶段的重要标志，此后现代数学在分析、代数、几何等各个方向上快速发展，现代数学的快速发展为人类的科学技术进步打下了坚实的基础，促成了第一次工业革命和第二次工业革命. 伴随着工业的大发展，人类遇到了很多自然现象需要用数学工具给出精确的科学解释，比如：热的扩散、波的传播、流体的运动等等. 法国数学家达朗贝尔在18世纪中叶提出弦振动方程标志着数学物理方法(偏微分方程)的诞生，至今已有两百多年的发展历史. 我们这里所探讨的数学物理方法主要是指偏微分方程从18世纪中叶到19世纪末的发展历史，这个阶段主要研究方程显式解的求解方法，而进入20世纪后数学物理方法进入了新的发展阶段，随着研究对象的复杂化，不再以研究显式解的求解方法为主，而是更加注重研究解的定性性质以及解的数值计算方法. 国际上与国内数学物理方法类似的课程一般称为偏微分方程，诸如布朗大学W.A.Strauss教授的偏微分方程引论课程. 也有一些大学将此课程的主要内容放入其他课程之中，比如斯坦福大学B.Osgood教授的傅里叶分析及其应用. 国际上对这门课相当重视，教材与现代数学紧密结合且内容丰富. 在信息化和全球化时代，面对全球科学技术的竞争，我国提出了发展高等教育的“双一流”战略决策. 建设一流大学和一流学科，推进我国科学技术的快速发展，对于理工科学生在数学基础和数学素养方面的要求越来越高. 从数学物理方法的发展历程可以看到数学物理方法课程综合应用了各个数学分支的内容，是提升理工科本科学生应用数学能力的重要基础课程. 国内早年学习苏联模式，数学物理方法一般分为物理类和工科类，经过几十年的教学建设和教学改革，教材经过多次迭代改进，影响比较大的有南京大学、北京大学、武汉大学、中国科技大学、东南大学、电子科技大学等的教材. 数学物理方法课程改革的核心是教学内容的改进. 随着时代进步，结合我校实际情况，并参考兄弟院校的教学成果[1-3]，总结出教学内容改进的主要方向有：大学数学体系中多课程内容的自洽、融合现代数学思想对课程的深入理解以及内容安排上满足学生的认知规律. 以这三个方向作为教改的创新点，本文以课程作用、课程安排以及教学内容的梳理改进为主线，介绍我校数学物理方法课程教改的探索与实践.

2 探索与实践

2.1 课程作用及其安排

大学课程体系中的数学物理方法主要是指线性偏微分方程的求解方法，当然从广义的角度来看，数学物理方法还应该包括非线性偏微分方程、积分方程以及积分微分方程的内容. 数学物理方法课程综合应用了各个数学分支的内容，它的前修课程包括：一元函数微积分，多元函数微积分，傅立叶级数，常微分方程，复变函数和线性代数. 一般在国内理工科高校，物理专业的数学物理方法由物理学院开设，而面上的其它专业的数学物理方法课程由数学学院开设. 在我校经过课程优化，复变函数作为一门32课时的课程在大二上学期开设，而数学物理方法作为48学时的课程在大二下学期单独开设. 数学物理方法对物理类的各门课程均有重要作用，同时也是工科类的电磁场与电磁波，信号处理等课程的重要基础. 在我校一般还会设有计算方法和数学建模课程，数学物理方法也能为这些数学课程提供模型素材和数学工具. 更进一步，在理工科的研究生阶段将要学习泛函分析、数值分析和高等数理统计，这三门课会涉及大量的现代数学概念，比如：广义函数、函数空间、算子理论等等，在数学物理方法课程中正好涉及适当的内容，能够给学生建立这些抽象数学概念的感性认知，从而构建起经典数学到现代数学的知识桥梁. 如果没有这个桥梁，没有对这些内容充分的感性认知，同学们就会对这些十分抽象的现代数学概念感到迷惑，很难对其熟练掌握和建立深刻的认识. 根据教学实践，发现引入这样的内容到课程中是有益的，这些内容包括：引入线性算子的概念定义线性方程并给出线性叠加原理，双曲型线性算子的因式分解，在平方可积空间中建立傅立叶级数的收敛性，自共轭算子形式及其特征值理论，狄拉克函数及其相关的广义函数以及它们的傅立叶变换等等.

在我校有通信工程、电子工程、生物医学、土木力学和物理学这五个专业学习数学物理方法这门课程. 不同专业的学生对数学物理方法的需求是不同的，不同之处主要体现在内容的广度和深度两方面，这些都需要任课教师灵活把握教学内容的广度和深度. 对于通信工程和电子工程专业的学生来说，教师可以对傅立叶级数和傅立叶变换的内容做更加细致的分析，这样有利于他们后续信号处理等课程的学习，也可以对赫姆霍茨方程和麦克斯韦方程组的求解做适当的介绍，这些对他们学习电磁场和电磁波有很大帮助. 对于物理学专业来说，可以加入用傅立叶变换求解量子力学中薛定谔方程初值问题以及薛定谔稳态方程特征值问题. 对于力学专业来说，可以加入用分离变量法讨论横梁的振动问题，而在平方可积空间里讨论傅立叶级数的收敛性等相关内容则可以相对简化，只要求他们了解一些基本结论即可. 另外根据专业需求也可以穿插一些借助数学软件研究数学物理方法的内容.

2.2 核心内容的知识框架

在数学物理方法的教学中涉及到内容比较庞杂，不容易抓住主线，经过我校数学物理方法教学团队多年的教学实践，渐渐摸索出一个比较适合学生认知规律的内容安排，即从建立典型方程的定解问题出发，分别介绍傅立叶级数方法，积分变换方法，波方程初值问题的特征线法球面平均法和降维法，格林函数法，最后是特殊函数及其应用[4-6].

根据所用的数学工具将这些求解方法总结为如下四个核心的内容框架：

(i) 微积分方法，即一阶线性偏微分方程的特征线法到二阶双曲型方程的特征线法，以及更复杂的三维波方程初值问题的球面平均法和二维波方程初值问题的降维法；

(ii) 广义傅立叶级数方法，即从分离变量法[7]，特征函数展开，到贝塞尔级数和勒让德级数展开，以及更复杂的球面调和函数展开；

(iii) 积分变换法，即从傅立叶变换法[8]，拉普拉斯变换法到更一般的积分变换法；

(iv) 格林函数法，即从基本解概念，到位势方程格林函数法与发展方程的格林函数法.

有不少优秀的教材采用上面内容框架来展开其教学内容[9-10]，由于教学对象的差异，我们的教学内容做了以下两处处理. 在第一章里会将一阶线性偏微分方程的特征线法作为一个最简单的方法引入，让学生建立求解偏微分方程的初步认识. 此时如果将难度较大的球面平均法和降维法引入，虽然都是微积分方法，但是由于后者包括了一些复杂的运算技巧，反而不利于学生掌握. 因而遵循从简单到复杂的认知规律，将二阶双曲型方程的特征线法和球面平均法以及降维法放在第四章里，等学生对偏微分方程的求解有了一定的了解的基础上再进行讲解. 在第二章里主要讲解了分离变量法和特征函数展开法求解一维定解问题，并对简单的高维问题做了一些尝试和铺垫，对于相对复杂的区域上的问题留到最后一章，利用特殊函数来仔细研究. 由于特殊函数内容复杂且难度较大，在教学安排时，注重从物理模型出发来理解特殊函数，让学生理解特殊函数的应用场景，比如从鼓面振动问题导出贝塞尔方程，从圆外的赫姆霍茨方程结合辐射条件导出汉克函数等等.

学生学习知识的过程一般可以分为大致初通、细节精通和融会贯通三个阶段. 如何让学生对核心知识能做到融会贯通对教师的教学设计提出了很高的要求. 一般通过设计需要多个知识点的综合性习题和教材相关的拓展研究来帮学生深刻理解各个知识点及其联系，了解各种数学工具的优缺点，对不同问题用多种方法求解最后再比较得出最优的方法. 当然融会贯通是学习的最高境界，希望通过教学内容改革能让优秀的学生能达到这些要求. 这里以格林函数法这部分内容来做说明. 格林函数的思想起源于基本解，掌握位势方程的格林函数法最关键的就是学会运用第二格林公式分析格林函数的所需满足的条件，而求解格林函数的方法有镜像电荷法、积分变换法和特征函数展开法，不同方法的运算量有区别，得到解的形式有差别，但可以化为同一形式，这里掌握的重点是镜像电荷法. 另外这三种方法都对区域有很高的要求，对于一般区域只能借助数值方法. 位势方程的格林函数法也可以推广到赫姆霍茨方程、热方程以及波方程等等. 最后对于学习能力突出的学生也可以由基本解拓展到单层位势、双层位势导出位势方程的积分方程方法.

2.3 思政内容在课程中的体现

我国高等教育的目的是为了培养出高水平的人才，并让这些人才为我国的社会主义建设做出应有的贡献. 结合数学物理方法的教学，谈三点认识. 其一，在数学物理方法发展过程中有很多数学家出生贫寒，通过不断学习进步刻苦研究，最后做出了伟大的贡献，在教学过程中穿插这些事例，让同学们向这些伟大的数学家学习其不畏困难追求真理的精神. 其二，在学习这门课的过程中，可以培养学生树立起唯物主义的科学观，正如傅立叶所说，“对自然界的深刻研究是数学发现的最富饶的源泉”. 其三，我国由于各种原因在近代发展落后，饱受列强欺负，在数学物理中的贡献很少，但是新中国建立以后，我们获得民族独立，各项事业迅速发展，在数学物理方法的新发展中做出了重要贡献. 比如数学家冯康在1965年独立发明了有限元方法，有限元方法是现代求解偏微分方程的主要数值方法，对数学物理中的各项研究起到了巨大的作用. 国内数学家在数学物理方法方面的贡献还有很多，再比如：李大潜院士为解决石油勘探而提出的“电阻率法测井的数学模型与方法”，周毓麟院士对核武器设计原理中的数学物理理论的贡献以及彭实戈院士创立“倒向随机微分方程”理论解决金融风险问题等等.

2.4 教学改革的效果

表1 课程考核情况

上表是近年来我校学生数学物理方法课程考核的部分情况，从数据来看，均分和优秀率稳步提高. 在平时的教学讨论中，老师和同学在教学群里各抒己见，思维碰撞的火花让同学们的学习积极性不断提升. 同学们对课程给出了积极的评价，比如：信息学院金文涛同学说，老师讲课条理清晰，给予学生充分的学习自由度，及时全面准确的学习辅导给了他很大的帮助；信息学院刘星晨同学说，通过这门课程的学习，将偏微分方程的知识和电磁学的知识紧密联系起来，对今后的学习大有裨益，老师讲解具有启发性，让他对知识的理解深入透彻；电子学院张潇雨同学说，领悟到用数学方法解决物理问题的奥妙，老师利用大量例子帮助学生们理解概念和解题方法，收获颇丰. 在教学改革的十年间，使用过我校教学团队所编写的三套教材[4-6]. 这些教材融合了不同时期的教学改革成果，受到了师生们的认可，也取得了满意的教学效果.

3 结 论

本文通过对数学物理方法历史发展的回顾，阐明了其在大学课程体系中作用，并由此介绍了我校数学物理方法课程的设置情况. 着重从三个方面进行教学改革，即：大学数学体系中多课程内容的自洽、融合现代数学思想对课程的深入理解以及内容安排上满足学生的认知规律. 具体来说:分析了课程体系中数学物理方法的作用，总结了数学物理方法内容的知识框架以及在此教学框架下如何展开教学内容，同时结合教学实践给出了教学内容的具体改进方案. 对于不同教学对象，对教学内容做出适当取舍，并将思政内容体现在教学过程当中. 最后结合学生考核和反馈的情况，呈现了教学改革的具体成效. 本文是对我校数学物理方法课程近年来教学改革的一次总结和思考，期冀对于“双一流”背景下新工科课程群的建设有着一定的参考价值.

致谢衷心感谢审稿人对本文提出的宝贵意见和建议！