不同坐标系下傅立叶变换性质

李盘润 刘 瑶

（四川信息职业技术学院，四川 广元 628000）

傅立叶变换作为一种线性积分变换，在物理学及工程技术有许多应用，通常将时域信号转变为频域信号，分析信号的频域成分。对于简单的时间信号。通常仅考虑一个维度的信号变化，即一维傅立叶变换。近年来，图像处理技术越来越多采用傅立叶变换技术，而空间上图像不再是简单的一维信号，可以由一维推广获得二维傅立叶变换。对于更高维信号，同样存在高维傅立叶变换。

本文主要针对二维傅立叶变换进行研究。在笛卡尔坐标系下，在空间上对信号做采样处理，将连续傅立叶变换(CFT)转换为离散傅立叶变换(DFT)，进而容易在数字计算机上进行计算。而对于某些中心对称函数，更容易在极坐标上描述，则需要定义在极坐标上傅立叶变换，如傅立叶光学。此时采样信息为极坐标采样，因此不能够采用离散傅立叶的快速算法。而极坐标上采样可以认为是一种非均匀采样方法，进而可采用NEFT 实现极坐标采样条件下的离散傅立叶变换计算。但对于一些特殊的极坐标函数，容易获得相应连续傅立叶变换的解析解。

本文将针对不同坐标定义下的连续傅立叶变换进行研究，并给出关于连续变换与离散变换及非均匀变换之间的关系。进一步针对某些理想区域上的特殊函数，利用傅立叶变换积分定义，容易计算相应傅立叶变换的原函数。对于特殊的高斯函数，计算其对应的傅立叶变换对。

1 积分变换定义

本节给出不同坐标系条件下，二维傅立叶变换的定义，同时，给出一维Hankel 变换，在后面的内容中，二维极坐标上的傅立叶变换可转为一维Hankel 变换。

1.1 笛卡尔坐标系傅立叶变换

笛卡尔坐标下，函数f（x，y）在[-∞，+∞]有定义，且满足傅立叶积分定理条件，则函数：

称为f（λ，ω）的傅立叶逆变换。

f（λ，ω）称为f（x，y）在傅立叶变换下的象函数，反之，称为原函数。象函数与原函数构成一组傅立叶变换对。

1.2 极坐标系傅立叶变换

对于某些二维函数，具有中心对称的性质，相比与笛卡尔坐标系，该函数更容易在极坐标系上描述。在极坐标下，设空间域函数，其对应域上的傅立叶象函数为F（ρ，φ）。则傅立叶变换的形式如下：

极坐标系的傅立叶变换定义与式(1)与式(2)等价，象函数与原函数构成一组傅立叶变换对。关于两种定义的等价关系，可通过积分的变量替换方法实现证明，此处不做详细说明

1.3 Hankel 变换

Hankel 变换为另一类积分变换，n 阶Hankel 变换定义为如下积分：

极坐标上的二维傅立叶变换，可通过一维上的Hankel 变换描述，从而容易计算极坐标上的傅立叶变换对。

2 离散傅立叶变换

在笛卡尔坐标系上，式(1)通常为连续傅立叶变换。为使该积分变换的计算能在计算机上进行，需将式(1)连续傅立叶变换转为离散傅立叶变换。若f（x，y）在x=nT，y=mT（n，m=0，±0，±1，±2，…）是连续的，称f（nT，mT）为采样间隔为T 的采样波形。其对应的离散傅立叶变换为：

根据采样定理，频域上采样间隔δf=1/NT,关于上式存在快速计算方法(FFT)，需要注意离散傅立叶变换空间采样及频域采样存在极强的耦合关系。

在研究过程中，任意函数关于(1)的连续傅立叶变换不存在耦合关系，但其直接积分计算，需记住黎曼积分计算频域上特定位置的象函数：

比较(7)与(8)，即连续傅立叶变换与离散傅立叶变换的频域振幅存在T2的倍数关系，从而可根据快速傅立叶方法（FFT）获得特定频域位置上的傅立叶象函数。类似简单推导可应用在逆变换上。

3 基于采样的非均匀傅立叶变换

式(7)为离散傅立叶变换，它的快速算法FFT 的计算复杂度为O（nlogn）。但是存在诸多限制，比如频域点与空间点存在极强的耦合关系δf=1/T，且必须在采样空间必须均匀采样。这些限制导致在应用中，如果使用FFT 算法，无法通过在频率域加密采样来提高空间域变换结果的精度。连续傅立叶变换，可以避免频域点与空间点的耦合关系及采样条件限制，但是需进行复杂且耗时的积分运算。存在基于采样的非均匀傅立叶变换。

其中x 为空间上任意位置，从而避免的限制，其计算复杂度为O（n2）。对于频域均匀采样而空间域非均匀c 采样的非均匀傅立叶变换，同样存在快速计算方法[3]。

非均匀傅立叶变换的快速实现。其本质为连续傅立叶变化的离散化。对于离散采样精度直接影响空间域变换结果的精度，直接的办法可通过在频率域加密采样，提高计算精度。对于某些函数F（p），若采样结果F（pi）=0。则加密采样的同时。会增加计算的时间，但对于精度的提升有限。另一种方法是提高频域采样精度，取采样结果为F（pi）采样对应区域与F（p）有效区域相交面积。该方法等价于在频率域加密采样，但仅选择特殊位置的采样结果去计算式(9),且该位置的采样结果为周围采样结果的均值。

基于采样离散傅立叶变换可获得特定位置(原)象函数值，而非均匀傅立叶变换容易获得任意位置的（原）象函数值。另一方面，极坐标上的采样可认为是笛卡尔坐标上的非均匀采样，从而极坐标上傅立叶变换容易通过非均匀傅立叶变换快速计算。

4 傅立叶变换与Hanker 变换的关系

本节中，着重说明极坐标条件下，连续傅立叶变换可表述为一维Hanker 变换的无穷级数。

4.1 径向对称函数

极坐标上某些径向对称函数(高斯函数等)，仅需ρ 径向描述该二维函数，考虑极坐标系下的傅立叶变换定义(3);

对于径向对称函数，二维空间上的傅立叶变换，可通过一维的Hankel 变换计算。

4.2 径向非对称函数

根据文献[6]，笛卡尔坐标系的傅立叶变换核存在如下级数展开式：

即傅立叶变换对中，空间函数的级数展开系数fn（r）与对应频域函数的级数展开系数Fn（ρ）存在倍数关系。

5 理想函数的傅立叶变换

5.1 多边形区域

若采样窗口大小为ω 和h，且对应频域采样点fn和gm分别为

则对于简单多边形区域，顺时针定义多边形区域Ω 的顶点(xi，yi),根据(1)，对应的傅立叶变换：

5.2 圆形区域

针对理想函数，上节对于简单多边形区域，给出了笛卡尔坐标系下的傅立叶变换的计算过程。对于更一般的圆形区域，其傅立叶变换更容易在极坐标下的傅立叶变换实现积分计算。

6 结论

本文分别针对两种坐标系，分别考虑相应的连续傅立叶变换定义。在笛卡尔坐标系条件下，介绍了基于采样的离散傅立叶变换及非均匀傅立叶变换，通过数学描述与连续变换之间的关系。在极坐标系条件下，二维傅立叶变换容易通过一维上的Hankel 变换快速计算。并分别针对多边形区域、圆形区域的理想函数，根据傅立叶变换定义，计算相应的(原)象函数。最后，根据Bessel 函数性质，二维高斯函数容易在极坐标系上描述，根据相应傅立叶变换定义，容易获得空间及频域上的傅立叶变换对。

致谢:感谢审稿人提出的宝贵修改意见。