反比例函数问题中的特殊模型探究

蒋飞

[摘  要] 反比例函数具有极强的知识综合性，常与关联知识构建特殊模型，如几何面积、三角函数、不等式、实际问题等，该类综合题侧重考查学生探究反比例函数模型的能力. 文章将结合实例探究反比例函数的四大特殊模型并总结解题方法，与读者交流.

[关键词] 反比例函数;面积;三角函数;不等式;三角板;模型

问题综述

反比例函数是初中数学的重点内容，具有“数”与“形”两大性质特征，这使得反比例函数与几何、代数、方程、不等式有着紧密的关联. 中考常以综合的形式考查相关知识，如以反比例函数为背景，综合一次函数、几何、三角函数、不等式以及现实情形等构建问题模型，可全面考查学生的知识基础、方法综合、探究拓展能力. 掌握反比例函数的知识内容是基础，问题突破的关键是把握知识关联，核心策略是合理构建模型，数形结合解析，下面结合实例深入探究反比例函数背景中的问题模型.

实例探究

探究一：反比例函数中的几何面积模型

反比例函数常与几何图形相结合，其中求解图形面积是常见的问题形式，知识联系点是曲线上的点，由点坐标可求曲线表达式，也可求解线段长. 突破重点是结合面积公式构建模型.

例1  （2020年徐州市中考卷第26题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图像经过点A（0，-4），B（2，0）交反比例函数y=（x>0）的图像于点C（3，a），点P在反比例函数的图像上，横坐标为n0<n<3，PQ∥/y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD，QD.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式;

（2）求△DPQ面积的最大值.

问题简析：（1）设直线AB为y=kx+b，分别将点A和B代入直线AB，可解得k=2，b=-4，则直线AB为y=2x-4. 将点C（3，a）代入直線AB，可解得a=2，则C（3，2）点C位于反比例函数图像上，代入y=中可得m=6，则反比例函数的表达式为y=.

（2）PQ是平行于y轴的线段，则可将△DPQ视为是以PQ为底，点D为顶点的三角形，点D位于y轴上，则高就为点P的横坐标值. 设Pn，，则Q（n，2n-4），其中0<n<3，则PQ=-（2n-4）？摇=-2n+4，所以S=n-2n+4，分析可知，当n=1时，△DPQ面积最大，为4.

方法总结：反比例函数背景中的图形面积问题可归为两类：一是多边形面积，常使用面积割补法转化为求三角形面积;二是三角形面积，规则三角形可直接使用对应公式构建模型，不规则三角形可用“铅垂”模型以及割补法. 具体求解时由点坐标推导线段长，进而求出图形对应的高和边长.

探究二：反比例函数中的三角函数模型

反比例函数与三角函数结合是常见的综合形式，问题往往要求三角函数值，中学阶段求三角函数值常结合直角三角形，实则就是解直角三角形，故问题求解需要构建直角三角形模型.

例2  （2020年丹东市中考卷第14题）如图2，矩形ABCD的边AB在x轴上，点C在反比例函数y=的图像上，点D在反比例函数y=的图像上，若sin∠CAB=，cos∠OCB=，则k=_________.

问题简析：求k的值，需要求出点D的坐标，即AD和AO的长，已知sin∠CAB=和cos∠OCB=，需要构建直角三角形模型，从中求出相关线段长.

设点Cx，（x>0），由矩形性质可得∠ABC=90°，AD=BC，则OC==. 在Rt△OCB中，cos∠OCB==，即=，解得x=，所以OB=，BC=2. 在Rt△CAB中，sin∠CAB==，即=，解得AC=2，由勾股定理可得AB==4，所以AO=，则点D的坐标为-，2. 点D位于反比例函数y=的图像上，代入解析式，可得k=-×2=-10.

方法总结：涉及三角函数的反比例函数综合题有两种命题思路，一是直接求三角函数值，二是已知与三角函数值相关的条件，求关联条件. 问题突破的核心均为构建直角三角形模型，将三角函数值转化为直角三角形中的边长比值，而其中的边长可由两点之间的距离公式获得.

探究三：反比例函数中的不等式关系模型

反比例函数与不等式之间有着一定的关联，由曲线图像在坐标系中的位置关系可构建不等式关系模型，故可利用直观的函数图像来求解不等式的解析式，问题突破的基础是精准绘制图像.

例3  （2020年雅安市中考卷第22题）如图3，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图像与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y=（m为常数且m≠0）的图像在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=6.

（1）求一次函数与反比例函数的解析式;

（2）求两个函数图像的另一个交点E的坐标;

（3）请观察图像，直接写出不等式kx+b≤的解集.

问题简析：（1）先求出点A，B，C的坐标，然后使用待定系数法，可求得一次函数的表达式为y=-2x+6，反比例函数的解析式为y=-;

（2）一次函数与反比例函数的两个交点分别为点C和E，可联立两者解析式构建方程来确定坐标，即y=-2x+6，y=-，可解得x=-2，y=10或x=5，y=-4.故另一个交点E的坐标为（5，-4）;

（3）求不等式kx+b≤的解集，其中左边可视为一次函数y=-2x+6的y值，右边是反比例函数y=-的y值，在图像中的意义则为一次函数位于反比例函数下方及交点的部分，该部分自变量x的取值为-2≤x<0或x≥5，故不等式的解集为-2≤x<0或x≥5.

方法总结：不等式问题可转化为函数问题，可利用函数图像模型来求不等式解集，问题突破需要关注不等号两侧所对应的函数解析式，然后结合曲线的相对位置与不等号关系来解析. 对于函数y1与y2，若y1>y2，则表示函数y1位于函数y2的上方;若y1=y2，则表示函数y1与函数y2相交的点;若y1<y2，则表示函数y1位于函数y2的下方. 求不等式的解，则只需关注对应线段下的x值.

探究四：反比例函数中的现实模型

反比例函数现实问题在中考中较为常见，往往围绕反比例函数构建现实模型，问题解析需要关注图像特点，结合反比例函数特点进行问题突破. 往往实际问题中变量的取值为非负数，需合理截取图像曲线.

例4  （2020年昆明市中考卷第19题）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19 min;完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11 min.

（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？

（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图4所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y=2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图像的交点为A（m，n）. 当教室空气中的药物浓度不高于1 mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明.

问题简析：本题目是关于反比例函数与一次函数的实际问题，需结合题干信息了解曲线意义，理解曲线变化，然后结合函数知识进行解析.

（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要x min和y min，由题意可得3x+2y=19，2x+y=11，解得x=3，y=5，即校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3 min和5 min;

（2）一间教室的药物喷洒时间为5 min，则11个房间需要55 min，当x=5时，y=10，则点A的坐标为（5，10）. 设反比例函数的表达式为y=，点A位于反比例函数上，代入其中，有=10，解得k=50，则反比例函数的表达式为y=，当x=55时，y=<1，所以一班的学生可以安全进入教室.

方法总结：与反比例函数相关的现实问题除了考查相关函数知识，还考查学生读图应用、建模解图的能力. 突破的重点是剖析反比例函数现实模型，解析时首先需要关注曲线坐标含义，结合文字信息理解曲线变化、曲线的交点，探究实际情形与函数曲线的联系，将实际问题转化为数学问题.

反思总结

反比例函数是初中函数的重要组成部分，虽然曲线较为简单，但其性质特点具有一定的代表性且有着众多的知识关联点，这也是中考反比例函数综合题构建的基础，也出现了众多的反比例函数特殊模型. 上述所探究的四大反比例函数特殊模型是其中的典型代表，探究模型的构建思路、解析策略，对于提升解题能力、拓展解题思维有着极大的帮助.

在教学实践过程中，建议教师立足反比例函数知识基础，深入探究曲线特性，关注反比例函数与其他知识的关联点，构建知识网络，完善知识体系. 注重探究反比例函数的特殊模型，关注模型的构建形式、解析思路、剖解方法. 教学中可以实际问题为例，引导学生体验探究过程，自主归纳解法，总结对应模型问题的特点，形成自我的解题策略. 同时注重解题探究的思想渗透，依托考題讲解数学思想，促进学生知识水平与数学素养的双重提升.