知识重组 一线串通 技术融合

苏国东

[摘  要] 教材“正方形”的内容不到两页篇幅，教学中对内容的处理直接影响正方形在本章的地位及作用. 笔者从拓展教材、重组整合、重设题目、技术融合的角度，设计了一节别出心裁的新授课，凸显学生的主体地位，取得较显著效果.

[关键词] 别出心裁;正方形;新授课

引言

人教版八年级教材[1]“正方形”一课的内容不到两页篇幅，教学中对内容是照本宣科，还是改造重组，直接影响着正方形在本章所处的知识地位和发挥作用. 笔者经过研究，设计了一节别出心裁的“正方形”新授课，经教学实践，效果显著.

教学案例

1. 创设情境，讲授新知

（1）知识回顾. ？摇

教师在几何画板中制作两个平行四边形，邀请两位学生上台操作，经历矩形和菱形的生成过程. 一位把平行四边形的一个角拖动成直角得到矩形，一位把一组邻边拖动至相等得到菱形. 教师点击动画按钮一步步呈现矩形和菱形的定义，如图1.

教学分析  对旧知不能三言两语带过，而是重现其生成过程，利用几何画板搭建学生展示的平台，有效激发其学习兴趣.

（2）正方形的定义.

教师设问：“如果把平行四边形的角特殊化后再把边特殊化，或把边特殊化后再把角特殊化，会变成什么图形？”学生充满了好奇心. 教师邀请学生上台尝试操作，均得到了正方形. 仿照上述定义，师生共同得出正方形的定义，如图2.？摇

教学分析  有了矩形、菱形的铺垫，进一步把边和角特殊化就显得合情合理了. 两种方式殊途同归，学生对正方形的产生过程有了深刻理解，定义也就水到渠成了. 实际上，在这个过程中已经把正方形的判定教给了学生，只欠规范表述.

（3）正方形的判定.

“能否用一幅图简洁表示整个变化过程？”教师引导学生一步步画出图3，借助图中各种四边形的符号在黑板上写出三个“等式”，即正方形的判定方法：

判定1：+一个直角+一组邻边相等=□（定义）;

而+一个直角=□，所以“判定2：□+一组邻边相等=□”;

同理，+一组邻边相等=◇，所以“判定3：◇+一个直角=□”;

把判定2和判定3结合起来，有“判定4：□+◇=□”.

教学分析  基于前面环节的巧妙设计，学生已能够把亲历的变化过程表示成关系图，得出判定方法，本环节也是对本章各种图形判定的一次有效回顾. 用简洁的式子更能体现各种联系，有助于记忆.

（4）正方形的性质.

教师用集合形式表示出几种四边形的包含关系，让学生填写正方形的位置（图4），由此得出：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形.

因此正方形具有它们所有的性质，教师请一位学生上台探索正方形的性质，在表1的相应空格打“√”.

学生在填表中更发现了技巧：先勾选平行四边形的性质，由于后三种都是特殊的平行四边形，所以平行四边形的性质都勾选;再勾选矩形特有的性质，正方形是特殊的矩形，所以矩形的性质也都勾选，菱形也一样处理.

最后把正方形所有的性质分类汇总（结合图5），板书如下：

边： ________________________角： ________________________对角线__________________________________________？摇 轴对称性： ___________________

教学分析  正方形的性质不是孤立存在的，本环节借助表1把各种四边形的性质再次联系起来，让学生更能理解它们的联系和区别，也对本章各种图形的性质进行了全面梳理. 从探究填表到括号归类，符合学生的认知规律.

2. 巩固新知，学以致用

1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（      ）

A. 四边相等

B. 四个角都为直角

C. 对角线互相垂直

D.对角线互相平分

2. 正方形添加一条对角线后，图形中共有________个________三角形，若添加两条对角线，则图形中共有____个________三角形.

3. （2014苏州改编）如图6，正方形ABCD中，∠ADB=______°，若AC=2，则BC=______，正方形的周长为______，面积为______.

4.（2014海口期末）如圖7，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，则CFDE______正方形（“是”或“不是”）.

5. （2005天津改编）四边形ABCD中，O是对角线交点，能判定它是正方形的条件是（      ）

A. AB∥CD，AB=CD，AC=BD

B. AO=CO，BO=DO，AC⊥BD

C. AO=BO=CO=DO，∠ABC=90°

D. AB=BC=CD=DA，∠A=∠B

6. 如图8，E，F，G，H分别是正方形ABCD四边上的动点，且AH=BE=CF=DG. 求证：四边形EFGH是正方形.

第1题、第2题、第4题全体学生基本达标. 第3题求BC的长时学生提出了三种解法，教师利用希沃白板的克隆功能克隆出了两幅图供三人（三种解法）上台讲解：一位借助△ABC从斜边算出直角边;一位联系第2题利用△BOC从直角边算出斜边;一位联想到等面积法，利用正方形的面积S=BC2=AC·BD求出BC.

第5题各选项均有较多条件，教师以A项作示范：由“AB∥CD，AB=CD”可得平行四边形（在上方画？荀），添加AC=BD得出矩形（写成：？荀+“AC=BD”=□）. 学生仿照此法完成其他选项的讲解.

第6题需要综合运用性质和判定. 作为解答题，教师先作前半部分的板书示范，让学生规范书写余下过程. 教师使用希沃授课助手把学生的解答拍照上传到希沃白板中，再请该学生上台讲解，教师点评. 为了让学生进一步体会该题的内涵，教师利用几何画板拖动EFGH的顶点，在变化过程中验证它始终是正方形，并让学生思考：EFGH的面积是否存在最大值和最小值？

教学分析  题目质量直接影响学习效果，本环节题目经设计改编，由浅入深，又深入浅出. 把题目条件转化为带符号的式子，提炼出高效解法，培养学生多角度分析问题的能力，进一步提升知识应用能力.

3. 拓展运用，探究提升

（1）方法拓展.

第5题的A项、B项、C项都利用了对角线来判定四边形的形状，教师引导学生把对角线的方法添加到图3中. 结合判定4——“□+◇=□”——学生认识到判定正方形还可以走对角线这条路，逐步完善关系图（图9）.

通过齐答和个别提问的形式完成第7题，巩固新学的判定方法：

7. 满足下列条件的四边形是不是正方形？

（1）对角线互相垂直的矩形. （      ）

（2）对角线相等的菱形. （      ）

（3）对角线互相垂直且相等的平行四边形. （      ）

（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形. （？摇？摇    ）

教学分析  教学设计注重层次性和逻辑性：前面环节学习和巩固了边和角的判定方法，本环节再进一步学习对角线的方法，学生不易混淆. 第5题又为对角线做了铺垫，使本环节更加顺畅.

（2）探究提升？摇.

8. （2012呼伦贝尔改编）如图10，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC.添加一个条件使四边形EDFA是正方形，请至少写出两种添加方法. （不需要证明，可添辅助线）

教师引导学生先独立思考，再进行组内交流，利用希沃白板的计时器计时. 学生积极性高，思路开阔，找到了多种方法. 教师提前制作几何画板课件，邀请几位学生上台进行“添加辅助线”“拖动A点”等操作并讲解.

生1：添加∠A=90°. 由三个直角得到矩形，连接AD，“三线合一”得AD是角平分线，DE=DF，所以EDFA是正方形，跟第4题一样.

生2：添加DE∥AC. 通过同旁内角也能得到∠A=90°.

生3：基于生1的做法，还可证出△AED≌△AFD，AE=AF，所以AEDF的四边相等是菱形，加上直角就是正方形.

生4：添加E是AB的中点. 这时DE是△ABC的中位线，也能得到DE∥AC.

师：添加E是AB的中点后还有其他证法吗？利用生1连接的AD？

生5：“三线合一”得出△ABD是直角三角形，DE是斜边的一半，可得AE=ED，后面跟生3一样.

师：很好，生1、生2、生4都用到了“□+一组邻边相等=□”，生3、生5都用到了“？荀+一个直角=□”（教师在板书）. 还有同学挑战吗？

生6：连接AD，前面的同学已证出AE=AF，DE=DF，故AD垂直平分EF. 我添加EF平分AD（图11）. 这时AEDF是平行四边形，然后对角线垂直就是菱形，加上直角就是正方形.

师：他从平行四边形入手，还用上了刚学的对角线的判定方法. 非常精彩！（台下阵阵掌声）

教学分析  通过一道添条件的开放性问题，贯通了从矩形、菱形到正方形转化的知识脉络，学生思如泉涌，创新意识强，通过交流展示、一题多解，将整堂课的氛围推向了最高潮.

4. 课堂小结，深化理解

通过教师引导，学生自主分享的方式进行小结，根据分享的内容，用希沃白板的思维导图工具逐一呈现，如图12.

教学分析  梳理本课知识框架，总结解题方法. 思维导图工具能帮助师生将思考过程变得可视化，提升环节参与度.

设计与反思

1. 明确要求，拓展教材

教材内容不足两页（P58～59），指出了正方形各边、各角相等，具有矩形、菱形的性质，要求学生表示出各种四边形的关系，没有具体表述各种性质判定. 《标准》[2]的内容定位是探索并证明正方形的性质判定，正方形具有矩形、菱形的一切性质，层次较高但内容不够具体. 《考纲》[3]的考查内容则比较详细，对本课的各种性质判定基本都做了明确表述. 《标准》《考纲》对矩形、菱形的要求和表述则基本一致.

可能考虑到正方形在小学已有接触，相关性质判定在前三种图形中已给出证明和应用，所以教材在这一课花的笔墨较少，但教学和考核标准与前三种图形是一致的，这决定了本课需要拓展教材，定出详细具体的教学内容.

2. 重组整合，一线串通

结合前三种图形对应的教材内容和《标准》《考纲》的要求，确定了本课各种性质和判定的具体内容. 若按传统顺序“给出定义、总结性质、证明判定”来教，一是不具备连贯性，二是相当于照搬矩形、菱形的教学，花费的时间更多. 另外，考虑到教材对各种四边形的关系也作了要求，故需重组内容.

经研究，正方形的定义及推导过程就是它的各种判定，按“定义、判定、性质”的顺序更连贯. 正方形作为最特殊的四边形，定义推导应从平行四边形开始，要涵盖前三种图形并总结各种四边形的关系，因此本课必须整合本章内容. 最终确定为“从平行四边形变成菱形、矩形再变成正方形”，通过这一过程，把各种四边形的定义、判定、性质及关系一线串通.

3. 切合目标，重设题目

本课的教学目标是掌握正方形的定義、性质和判定，了解各种四边形之间的关系，能正确运用性质判定解决相关问题. 教材包括的一道例题、六道练习题，对图形性质和判定的运用考查力度、范围不足，不可照搬，部分需重新设计.

择优选用教材题目，如第2题、第6题、第7题源于P59例5、P62习题14、P60练习3;第5题原创，一题考查多种图形判定;其余选自或改编中考题和经典考题. 以达到内容全面覆盖教学，难度有层次提升，解法能发展能力、体现思维素养的目的.

4. 技术融合，凸显主体

《标准》指出“应重视学生在学习活动中的主体地位”. 本课结合几何画板、希沃白板、希沃授课助手等新媒体新技术搭建平台，设计了多项以学生为主体的教学活动：在新知环节让学生参与探究图形变化、填表归纳;在练习环节拍照展示，鼓励学生合作交流、一题多解.

学生在学习中增强了表达能力和创新应用意识，培养了勇于探索质疑的宝贵精神，提升了核心素养和关键能力. 新媒体新技术创设出了新的课堂教学模式，让课堂具有更强生成性，焕发出生命活力.

参考文献：

[1]李龙才等. 义务教育教科书·数学八年级下册[M]. 北京：人民教育出版社，2013.

[2]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]广州市教育研究院. 2019年广州市初中毕业生学业考试指导书·数学[M]. 广州：广东教育出版社，2019.