从“矩阵论”课程探索课程思政的教学案例

王诗云

（沈阳航空航天大学 辽宁·沈阳 211100）

1 研究背景

课程思政指以构建全员、全程、全课程育人格局的形式将各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应，把“立德树人”作为教育的根本任务的一种综合教育理念。我国对学校的思想政治教育工作一直非常重视。

1987年，《中共中央关于改进和加强高等学校思想政治工作的决定》指出：“高等学校培养出来的大学生、研究生，应当有坚定正确的政治方向，爱祖国、爱社会主义，拥护共产党的领导，努力学习马克思主义；应当热心于改革和开放，有艰苦奋斗的精神，努力为人民服务，为实现具有中国特色的社会主义现代化而献身；应当自觉地遵纪守法，有良好的道德品质；应当勤奋学习，努力掌握现代科学文化知识。还要从他们中间培养出一批具有共产主义觉悟的先进分子。”1994年，《中共中央关于进一步加强和改进学校德育工作的若干意见》中提出，要培养学生“自尊、自信、自强、自立”“正确的世界观、人生观和价值观，培养良好”“艰苦奋斗的精神和坚强的意志品质”等。

2004年，中央出台了加强学校思想政治教育工作的文件《关于进一步加强和改进大学生思想政治教育的意见》。上海首先思政教育的探索之路。2010年，上海承担国家教育体制改革试点项目“整体规划大中小学德育课程”，建设大中小学的德育课程。2014年，德育建设的探索从思政课程转移到课程思政。

2017中共中央、国务院印发了《关于加强和改进新形势下高校思想政治工作的意见》。2020年，教育部印发《高等学校课程思政建设指导纲要》，指出：“培养什么人、怎样培养人、为谁培养人是教育的根本问题，立德树人成效是检验高校一切工作的根本标准。”

我们看到，国家对学生的思想政治教育一直都没有放松。对学生的思想政治教育包括了学生的政治方向、价值取向、人格品质、与文化知识等多方面。越来越多的学校、科学门类和教师投入到课程思政的教学模式的研究之中，例如：参考文献[2,3,4,5,6]。

2 教学总体设计

“矩阵论”课程具有比较鲜明的高等数学类课程的特点：逻辑严谨，概念抽象，证明过程构造性强。因此，研究如何提高学生的学习效果，如何开展课程思政，从而实现对学生的知识传授，能力培养和价值塑造，是值得关注的问题。

该课程是沈阳航空航天大学的研究生必修课程，每个自然授课班大约200人。本课程采用线下授课配合雨课堂软件的使用，讲授过程应用PPT，黑板板书、雨课堂的弹幕、白板、主观题、客观题、上交作业等功能。结课后，下载并保存所有的学生参与信息和数据，评价学生的平时表现，计入期末总成绩。对学生的学习过程和学习成效给予较为全面客观的评价。

沈阳航空航天大学的研究生教育蒸蒸日上，授课人数逐年上升。教师在授课过程中，通过认真严谨的教学态度、启发式教学方法与学生互动等，将课程知识讲授与课程思政在潜移默化中相互融合，弘扬社会主义核心价值观，期望为国家培养更多的优秀人才，为国家的宏伟前景贡献绵薄之力。

白板与黑板相结合：因为授课人数众多，黑板板书会造成后面的同学看不见；不板书而直接用PPT，数学中的很多推导和证明不易让学生理解，因此，本课程采用以PPT和雨课堂的白板为主，黑板为辅的方式。雨课堂的白板用来进行重要的证明、推导与计算，以便学生留存与课后查看；黑板用来讲解定义的注释与简单的例题。

引导学生独立发现最小多项式：通过分析待定系数法，发现除数的次数越低越便于运算，观察特征多项式与Hamilton-Cayley定理，得到零化多项式的概念，进一步得到最小多项式的概念。

思政教育：教师引导学生一直处于“学习知识—解决问题—发现新问题—寻求解决方案—学习新的知识”这样的学习状态中，潜移默化的磨练了学生的意志和行为习惯：认真严谨，吃苦耐劳。同时，在此过程中，学生感受到由拼搏带来的满满的舒畅的成就感与幸福感，有助于学生形成“只有拼搏，才有幸福，筑梦踏实”的价值观与幸福观，增加学生用知识服务社会的意识和信心。

教学案例—待定系数法和最小多项式定义：在讲解待定系数方法和最小多项式的概念时，从计算高次矩阵多项式、Hamilton-Cayley定理引出待定系数方法的构成原理，再从待定系数法的原理和应用切入，引出最小多项式的观念，从而更好的计算矩阵多项式。

发现计算矩阵多项式的繁琐，引出Hamilton-Cayley定理：回顾应用约当标准形计算矩阵多项式的过程，师生一起感叹，求解过程的繁琐。引出Hamilton-Cayley定理的内容。

通过Hamilton-Cayley定理，引出大除法：教师通过举简单例子说明应用大除法和 Hamilton-Cayley定理在求解矩阵多项式中的应用（黑板板书）。

发现大除法不适合计算高次多项式，引出待定系数法：举一个100次的多项式。应用大除法就显得过于麻烦了（黑板板书）。观察用大除法，带领学生发现在计算矩阵多项式时，用特征多项式做除数，得到的商不起实质性的作用，起作用的是余数。余数的次数可以根据特征多项式确定下来，那我们只要确定余数的系数即可——待定系数法。

学习应用待定系数法：

在计算矩阵多项式时，用特征多项式做除数，得到的余数由学生自己表示；接下来这些系数用什么方法求呢——利用特征值。特征值是特征多项式的根，建立等式，从而确定系数。以100次多项式为例，应用待定系数法求解（白板板书）。

思考待定系数法的弊端，发现除数多项式的可换：

教师先提问：“待定系数法的实现，依靠的是特征多项式和余数多项式，需要余数多项式的系数，那么余数多项式的次数是越高越好还是越低越好呢？是什么决定了余数多项式的次数呢？如果想降低余数多项式的次数，该从何入手呢？”（学生弹幕回答）。这一系列问题需要学生独立思考作答。从而发现，学生解决了第一个问题，即替换除数多项式也就是特征多项式才是根本的简化运算的方法。

分析特征多项式的特点，引出最小多项式：

教师提问：“什么样的多项式才能替换掉特征多项式”。学生思考后，会发现，要想解答这个问题，首先需要研究“特征多项式为什么能够做除数呢，他的特点是什么”？接下来，教师带领学生总结特质多项式的特征，回顾哈密尔顿—凯莱定理（白板板书）。学生思考后，给出分析：以该矩阵为根的所有多项式都可以替代特征多项式做除数。从而引出“零化多项式”的概念（白板板书）。教师提问“在所有的零化多项式，哪一个最适合用作待定系数法的除数呢（学生弹幕回答）”。经过上面的一系列铺垫，学生很容易得到“最小多项式”的结论。接下来教师才开始讲解最小多项式。

分析最小多项式的特点，发现试探法求最小多项式：

分析零化多项式和最小多项式的特点，带领学生发现，最小多项式一定以所有特征值为根，而且次数小于特征多项式，从而可以用“试探法”确定个因子的次数。

应用最小多项式和待定系数法计算矩阵多项式：

到此待定系数法的构成和最小多项式的作用已经非常清楚明了，教师再举例计算某矩阵的最小多项式和该矩阵的高次多项式即可。

上面的这个引入待定系数法和最小多项式的方式，很自然的引导学生去思考去发现，从而能很容易的理解“最小多项式”这个概念的来源、意义与应用，同时学生在这个过程中，不仅数学思维得到了锻炼，而且，通过自己的努力与思考解决了问题，获得了“成就感和幸福感”。实现了知识讲授和课堂思政的融合，对学生的数学素养、人格塑造和价值观的形成都在潜移默化中实现了。

3 结束语

数学素养方面：教师在授课时，加强数学史的渗透—对知识点“追踪溯源”。仔细剖析教材知识点，争取将更多知识点的发展历史与知识点之间的联系加入教学中。陈省身先生曾说过“了解历史的变化，是了解这门科学的一个步骤”，让学生体会到该课程是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，是一门时刻积累和发展的学科。对于学生的数学思维的锻炼和数学素养的培养都是非常重要的。本课程作为研究生数学公共基础课程之一，对于锻炼学生数学思维以及提高学生数学素养方面有较强的作用。通过该课程，锻炼学生的数学思维能力、理解能力和创新能力以及培养学生严谨认真的作风和思维模式。

价值观方面：查阅资料，争取将更多知识点的应用加入教学中。学生每次课都在“学习知识—解决问题—发现新问题—寻求解决方案—学习新的知识”这样的学习状态中，慢慢体会到了自己思维能力的进步所体会到的成就与幸福的感受，是非常鲜明和令人振奋的。形成“筑梦踏实，拼搏创造幸福”的价值观与幸福观。同时也增加了学生“用知识服务于社会，用知识创造美好生活”的信心。

人格塑造方面：长期的学习、思考和推理的锻炼，培养了学生认真严谨、踏实肯干、吃苦耐劳的精神。