高中数学立体几何中轨迹问题探析

刘正焕

摘要：数学，是高中教学里一个重要的科目，也是高考中的重点科目，而立体几何，是高中数学里一个重要的部分，是高中数学知识架构里的连接线，掌握立体几何，对于学生整体的数学学习效果都有很大的影响。基于此，本文以轨迹问题为角度，结合几种典型的轨迹类型题，来分析高中数学立体几何的教学策略与方案，浅谈本人学习过程中对该知识点的思考与探究。

关键词：高中数学;立体几何;轨迹问题;教学策略

引言：

求立体几何里的图形轨迹，是中学里的一个难点，也是高中的一个重点，这部分知识点是帮助学生们建立空间几何概念、解析几何理念的关键，它融合了立体几何和解析几何的知识点，在做这部分类型题目的时候，需要学生们发挥自己的空间想象力和理解力，发散自己的思维，运用以往学习过的图形知识、代数知识等综合知识来探索几何轨迹，从而有效的解答题目。这部分知识点虽然是高中的冷门知识，但是教师也不能忽视该部分的教学，因此，数学教师必须要帮助高中生理解轨迹问题的解题思路和解题手段，提升解题正确率。本文以几种不同的几何轨迹问题类型展开探索，提供给教师教学参考。

一、轨迹为点的类型题

轨迹为点的类型题，是立体几何轨迹问题中一个典型的题目，该类型题主要考验学生们的轨迹构建能力、空间思维。

例如：已知平面，直线l在α上，点，平面α和β两个之间的距离为8，那么请问直线β到P点之间距离应该为10并且到l距离是9的轨迹，应该是什么图形（ ）

A.一个圆形B.2个点C.3个点D.4个点

分析：在做这个题目的时候，教师要引导学生们先将已知的条件和问题绘画在一个图形里，将关键的点在图中标出，以此来方便学生思考和分析，如图1所示。之后再让学生们看图分析，假设图中的Q点为平面β内一个会移动的点，平面β和直线l的相交点为G点，连接MG，设置为l'，因为QP的长度为10，所以OQ的长度根据计算得出为6。点Q在圆0以内，而圆O的半径为6。教师引导学生们通过点Q做直线，要求QM⊥l'，垂直点为M。又因为根据题目可以看出，Q带你到直线l'距离为9，所以QM由公式计算出为。所以，Q点和直线l'的直线距离在的两条平行线上。因此得出，平行线和圆有四个交点，所以题目的答案为4个点。

结论：该题目，是典型的根据线面知识点和轨迹，判断交点数目的题目，以空间图形为角度，用更直观的形式将立体图形的知识和问题进行展示，借助平面的知识点解决轨迹问题，教师在引导学生们解析该题目的时候，要学会引导学生熟悉的判断平面几何点的轨迹，并通过作图的形式，辅助自己的解答和分析，让题目解答更加直观和形象。

本题目为轨迹为点的典型类型题，教师可以让学生通过本题的练习，学会举一反三，渗透立体几何的解题思路，帮助学生懂得如何有效的判断轨迹的交点数目，提升对轨迹部分知识的理解，加强立体几何概念架构。

二、轨迹为线段的类型题

轨迹为线段的题目，是初中立体几何和高中立体几何里常见的轨迹类型题，该部分知识点相对而言主要考验学生们的作图能力、观察能力。

例如：如图2所示，正方体ABCD-A1B1C1D1里，已知P点是在BCC1B1和边界图形上运动，除此之外，P点的运动中，一直保持着AP线段垂直BD1线段，那么请问，P点的运动所产生的轨迹图形是（ ）

A.线段B1BC

B.線段C1B

C.线段B1B中点和线段C1C中点所组成的线段

D.线段CB的中点和线段B1C1的中点所组成的线段

分析：在解答本题的时候，教师为了方便学生们理解和分析，可以引导学生们将已知条件串联。链接B1A、AC、B1C组成三个线段，求证明出AB1⊥与面BA1D，所以可以得出，AB1⊥BD1，并通过同样的方式，证明出AC⊥D1B，CB1⊥D1B。通过三个垂直可以推出，线段D1B会和面CA1B所垂直，若，那么AP会包含于AB1C中，所以可以得出BD1⊥AP，最终得出点P的轨迹是线段CB1。那么本道题选择的答案为A。

结论：在完成本题目的解答的时候，教师要引导学生们学会对线段轨迹的概念进行回顾，通过线面垂直，线线垂直的知识推出一些结论，得出P点的运动轨迹，从而解答题目。

又例如：已知题目中圆锥的轴截对应的面积是长度为3的等边三角形，点O是圆锥的底部中心点，M点为OS的中点，点P在圆锥的底面上运动，已知MA⊥PM，那么请问点P的运动轨迹是什么？运动轨迹的长度为多少？

分析：同样的，在分析这道题目的时候，教师要引导学生对题目进行详细的探究，强调题目中的文字语言和图形语言，将已知信息突出标注，了解题目的已知条件，学会连接线段，过M点做AM的垂直线段，与BA的交点为点C，之后通过C在做出对应的线段，总结出AM⊥面MDE，通过线面垂直的性质，得出P点的运动轨迹，在设置AD单位1，推断出P点运动轨迹的长度，得出本题目的结论，提升学生们的线段轨迹解题方法和技巧。

轨迹问题中，教师要引导学生们将这些语言进行熟练的分析和使用，并进行准确的描述。在做立体几何轨迹问题的题目时，可以将命题中的文字语言提出来，然后联想出图形语言，最后形成符号语言，反映在题目的证明及计算上。在日常教学中，在证明相关问题时，教师要引导学生将相应的依据和理论知识写出来，保障立体几何解题逻辑更加严密，轨迹的证明更加合理。将一层一层的推理关系和层次阐述清楚，数学符号语言使用的尽可能恰当，以此来提升学生们的轨迹问题解题正确率和效率，帮助学生巩固该部分知识点

三、轨迹为直线的类型题

直线类型的轨迹问题，是高考中常见的轨迹题目，掌握该类型题的解答方法，是学生们的立体几何学习重点，这部分的知识点考核内容相对而言比较广泛，需要学生们有开拓的思维和解题逻辑，才能够准确的解答题目。

例如，在北京的高考题目中曾经出过一题：如图3所示，AB是平面α的一条斜的线段，A是斜的线段的斜足，一直通过B点做出直线l，直线l和AB线段是垂直的关系，那么请问，题目中直线l和平面α交点的运动对应的轨迹是什么图形？（ ）

A.圆B.圆锥C.一条直线D.一条线段

分析：在做该题目的时候，教师可以让学生们分析题目的已知条件，通过已知条件可以看出直线l所对应的轨迹，主要是和B点有关，并且已知BA直线是垂直于平面的，那么可以通过线面垂直的性质推出交点的形状为一条直线，所以本题目的答案为C。

结论：本课题主要考验的是学生们对性质的掌握程度。在引导学生们解答该题目的时候，可以帮助学生巩固现有的轨迹问题的理论概念和相关性质。高中立体几何的知识点相对比较抽象，需要学生们在理解的时候运用一点的技巧，如将理论知识和立体图形所结合，让数学问题变得更加简单和直观，有效的掌握知识点所反映和表达的内容。要学习立体几何，特別是立体几何的轨迹问题，就需要学生们掌握解题的方法和技巧，学会对立体几何的理论知识进行运用，如立体图形的性质、立体几何各个知识点之间的联系和区别，从而逐步构建自己的立体几何知识体系，然后将立体几何的知识点和其他知识进行融汇，方便学生解答轨迹问题。最后，在开展立体几何教学时，教师要为学生灌输立体几何概念，布置与几何概念有关的类型题，让学生们在不断的练习中总结轨迹问题的解题经验，学会对同种类型题目进行举一反三。

四、轨迹为双曲线的类型题

双曲线的轨迹类型题，相对而言难度有一定的提升，在高考题目中，也是一种重点提醒。

例如，重庆市的2010年高考题目：已知，在两个相互垂直的不同的面上的直线里，已知两个直线的距离相等的位置有一个点，请问，经过这个点和其中一条直线，并且会平行于另外一条直线的轨迹图形是什么样的？

A.圆形B.线段C.双曲线D.圆锥

分析：在引导学生们解答本题目的时候，教师可以让学生们对题目中的图形进行建模，按照正方形的底和高建立一个坐标轴，针对坐标轴展开后续的分析。在边长为α的正方体内，可以得出CD和A1D1线段是两个互相垂直的不同面上的线段，而题目中的平面ABCD，是经过CD线并且和A1D1互相平行的面。因此，教师让学生们以正方体的D点作为坐标轴的中心点，DA作为坐标轴的x轴，CD作为坐标轴的y轴，建立一个空间坐标轴。将动点P点设置为坐标轴内移动的一点，并且到CD与A1D1线段的距离都是相同的，那么可以得出坐标轴的曲线公式：x2-y2=a2，所以轨迹的图形形状为双曲线，本题选择C。

分析：在解答本题目的时候，教师引入了一个新的解题思路和方法，“建立空间直角坐标系”，通过建立空间直角坐标系，让立体几何中的点、线段，都有对应的坐标点，便于学生探索问题，提升学生们的空间思维和空间理念，方便学生们展开后续的分析和解答，让学生们有效的判断轨迹的形状和数据。

五、结束语

综上所述，高中立体几何中的轨迹问题，一直是同学们学习的重点和难点，同时也是高考中的常见题型，作为高中数学教师，要认真的分析轨迹问题的命题类型、解题方法，结合学生们的认知特点和学习状况，设计合适的教学方案。在实际的教学里，教师可以根据题目的类型，将轨迹问题进行分类，针对不同的类型为学生们展开不同的教学，帮助学生认识和掌握同一类型的问题应该采用何种思路和方法进行解答，实现举一反三的教学效果，有效的提升学生的空间几何思维和理念，提高轨迹问题的学习效果和质量。

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