思一题 通一类 解一片

薛海林

【摘 要】 好题如舌尖中的美食，越细品越有味。笔者近来在课堂教学过程中与学生共同讨论了2018年无锡市中考数学第27题，因为是中考备考研讨课，在场的无论是教师还是学生，都一致认为这道题应该是永恒的经典。基于此，本文拟对此题再次作深入探讨，旨在与同仁们一起思考在课堂上如何引导学生解题、研题，帮助学生构建“思一题，通一类，解一片”的备考繁荣景象。

【关键词】 思考;类比;释疑

年年岁岁花相似，岁岁年年人不同。中考每年都会如期而至，而各年度中考试卷的试卷长度和命题方向都有相似之处。在九年级备考中，再次翻开各市区的中考试卷，一定可以窥一斑而知全豹，处一隅而观全局。

【典例】（2018年无锡市中考数学第27题）如图1，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°<θ<90°）到矩形A1BC1D1，点A1在边CD上。

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度;

（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B按照顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2，点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若，求的值。

对于问题（1），笔者在课堂上先让学生用纸板进行实验操作，认识旋转的运动特征。

【学生思考】矩形绕一个顶点旋转，矩形边上的点的运动轨迹是否一样？旋转角度是否一样？哪一个点运动的轨迹最长？让学生意识到图1中A运动到A1与D运动到D1不同的原因。

【设计目的】让学生领悟到矩形绕一个顶点旋转，矩形边上的点的运动轨迹并非一样，但旋转角度是一样的。矩形边上距旋转点最远的点，一般运动轨迹最长。这样，学生就可以进行分析，写出正确答案。

【学生分析】点D到点D1的旋转角度与点A到点A1的角度相同，而点D到点D1所经过的路径是圆心角为θ所对应的弧，弧长公式是：2πr×。因此，需要求出∠ABA1的度數和DB的长度。

对于问题（2），笔者在课堂上采取的是让学生找到与A1E、EC矩形的边相关的图形，然后找到三角形全等或相似的证据，进而突破试题。

【学生思考】从图中找出与A1E、EC及矩形的边相关的图形，去掉其他干扰线，你会发现什么？

【设计目的】让学生领悟题干所给出的“已知=-1，求的值”是一种几何关系，也是数量关系，学会应用数形转换思想。

【学生分析】学生首先想到的是A1E、EC所在的线不能去掉，与之有关的矩形也不能随便将线去掉，即得到图2。发现A1D1、BC1与之也无多大联系，将其去掉，得到图3。

总而言之，解决某些有直角的几何问题时，可以借助三角形对应的相似边成比例，利用勾股定理，将代数方程应用到实际问题中，设计一些这样的练习，让学生多练习、多思考，可以收到事半功倍的备考效果。本典例就是一个鲜活的例子，只有悉心研析，才会让学生茅塞顿开，学生才能在备考中有所收获。

【参考文献】

[1]彭小永.授人以渔，更要近人以水——一道中考压轴题引发的思考[J].中小学数学（初中版），2018（Z1）：76-77.

[2]戴向阳.质朴扬新 开放统一 立意能力——对一道中考压轴题的赏析[J].中学数学， 2018（4）：74-76.