核心素养导向下的高中数学公式推导课的教学设计

卢秀敏

【摘 要】 数学公式是表征自然界不同事物的数量之间或相等或不相等的联系，它确切地反映了事物内在和外在的关系，是我们从一种事物迁移到另一种事物的依据，使我们更好地理解事物的本质和内涵。三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数公式的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有很强大的联系，而掌握三角函数公式的内部规律及本质也是学好三角函数公式的关键所在。

【关键词】 核心素养;两角和与差公式;教学设计

数学公式推导课的教学设计要践行“为核心素养而教”的教育理念，充分体现数学公式推导课的课型特征。数学公式推导课的教学设计既要关注教师的教学行为，引领教师合理创设问题情境，让学生经历归纳猜想、抽象概括、演绎证明、符号表达、构建模型等思维过程，又要重视学生的学习过程，促进学生的数学抽象、直观想象、数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养的发展。

一、基于核心素养的数学公式课的教学特征

数学公式是表征自然界不同事物的数量之间或相等或不相等的联系，它确切地反映了事物内在和外在的关系，是我们从一种事物迁移到另一种事物的依据，使我们更好地理解事物的本质和内涵。数学公式推导课的教学旨在建构正确的数学公式之间的本质联系，揭示数学公式之间的规律性及逻辑推理的联系性。从教学结果来看，数学公式推导的教学主要是让学生掌握不同的公式运用条件，合理运用正确的数学公式解决问题;从教学过程来看，数学公式的教学就是教师引领学生从已学习的数学公式中发现和提出合理的猜想，严密推理论证，获得新数学公式，运用新公式解决新问题的过程。

數学公式的学习属于规则学习，其学习过程一般包括公式的引入、公式的形成、公式的理解、公式的运用这四个阶段。数学公式推导教学具有公式形成的过程性、公式表征的多元性、公式理解的层次性、公式运用的操作性等基本特征。因此，数学公式推导课的一般教学结构是：引入公式—猜想公式—证明公式—理解公式—辨识公式—应用公式—归纳总结。

数学公式推导教学的目标就是获得数学公式，提升学生的数学抽象、直观想象、数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，帮助学生形成理性的数学思维习惯。本文以“两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第一课时）”为例展开论述。

1.课时目标

（1）掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式。

（2）会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等。

（3）熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法。

（4）领会观察、发现、猜想、分析、论证、应用的数学探究的基本思维方式，培养数学抽象、直观想象、数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。

2.课时重点

引导学生通过独立探索和讨论交流，由已学两角差的余弦公式推导出两角和与差的其他公式，并从中了解它们的内在联系，为灵活运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础。

3.课时难点

两角和与差的六个公式的灵活选用、逆用及角的变换。

4.教学条件支持

教学课件采用PPT演示，节约板书时间，有利于知识点的反复呈现;学习卡片的制作，有利于学生及时收集、巩固知识要点。

二、基于核心素养的数学公式推导课的课堂实录

1.复习式导入

教师：回顾上节课的学习，我们已经掌握了两角差的余弦公式：（教师板书，PPT展示）cos（α-β）=cos α cos β+sin α sin β，请大家在知识卡片上默写该公式。

那么，两角和的余弦公式是什么呢？两角和与差的正弦、正切是否有类似的公式呢？

教师：（规律小结）公式的应用是灵活的，套用公式时，不仅要正向使用，还要求能够逆向使用，这就要求大家对公式的特征十分熟悉，因此，熟记公式是前提条件。

【设计意图】教材是教师最重要的教学依托，作为一线教师，应领悟教材的编写意图，围绕发展学生数学学科核心素养的需要，关注过程性、融合性、实践性，引导学生开展观察、分析、归纳、推理、概括等思维方式，形成数学建模的完整过程，因而笔者的选题都遵循“源于课本”的原则。

教师：下面我们再来看一下课后习题。

【设计意图】相对前面两道例题中都是具体角度，从数学抽象的角度出发，而选择此题，培养学生由具体到抽象的转变，加强学生学习公式时的数学抽象能力及数学运算能力;学生之间的共同探讨、择优展示，培养了学生的团队合作意识、竞争意识。

4.能力提升

本例题根据笔者从教的实验班和平衡班两种不同层次的学情出发，可灵活安排在第一课时和第二课时的教学。

另一模式暂时不说明，留着学有余力的学生课后研究。

【设计意图】进一步提升学生应用公式的灵活性，同时补充三角函数化简的重要方法——辅助角公式。在数学直观运算中进行数学抽象的公式、规律探索，培养“直观想象→数学抽象→数学建模”的思维逻辑及运用数学知识解决问题的能力。

5.课堂小结

教师：本节课在两角差的余弦公式之后，推导出另外五个两角和或差的三角函数公式，要求我们能熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法。请大家再次用最快的速度默写出这节课学习的六个公式。

6.课后作业

基础巩固题：课本P137，习题3.1 A组题第13题。

能力提升题：（实验班学生完成，平衡班学生作第二课时要求）

【设计意图】针对不同层次的学生布置不同水平的作业，因人而异地要求学生掌握课堂实效，让学生体会收获的喜悦，同时获得提升能力的机会。

三、基于核心素养的数学公式推导课的教学反思

1.注重夯实基础，强化公式整合

使用教材，这既是执教教师分内的事，也是执教教师将学科核心素养具体落地的责任。教师应基于教材，设计“思维过程的教学”，以数学知识的发生、发展过程为载体，以合适的问题、适时的切入点引导学生的思维活动，让学生在教师的启发下经历数学公式的类比—猜想—论证—归纳—建模的思维过程，在课堂教学过程中，培养数学思维、发展数学能力。

2.强化逻辑推理，提高思维能力

数学是理性思维的体操，数学教师最核心的工作就是教会学生如何数学地思考。教学中，教师要“明化思维”，简单明了地引领数学思维历程，使学生通过示范+模仿形成自己的思路，提高数学思考和灵活应用公式的能力。同时，通过相应的题组训练，使学生对公式本质形成进一步认识和应用，从求值或化简的过程中自觉、自然地学会发现问题、提出问题、解决问题，逐步形成数学建模的能力。

3.提升教师水平，发展学生素养

数学教学要注意突出数学本质教学，即在教学过程中让学生理解数学公式的提出、形式、本质，从而把握数学思想，感悟数学特有的思维方式，鉴赏数学之美，提升数学核心素养。教学设计的过程中，从目标设计到问题抛出，从规律探究到实例运用，都是对教师教学能力的考查。授课过程的具体展示，教师需根据学情，合理整合各类资源，充分利用教学条件（PPT、实物投影、学习卡片等），帮助学生及时巩固数学公式，灵活运用公式，达成预期学习效果。

【参考文献】

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[3]陶友根，李婷，李红庆.领悟教材编写意图，设计“思维过程的教学”[J].中学数学教学参考，2019（9）：25-28.