新课程背景下深度教学的实践与思考

偶伟国 (江苏省太仓高级中学 215411)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必须的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验．从“双基”发展到“四基”，源于两方面：从数学自身来看，“双基”更多的是对数学原理、定理、概念、公式等结论性知识的反馈，学习这些固然重要，但数学的本质不在于结论而在于其思想．数学课程不应仅仅满足于教给学生一些结论，更要能给学生以更多数学思想和精神的浸润．从学生的数学学习和数学素养培养来看，数学素养的提升是一个综合性的、持续性的发展过程，它并非单纯地通过接受数学事实来实现，更多地是需要通过对数学思想的领悟、对数学活动经验的积累和条理化，以及对数学知识的自我组织等活动来实现．特别到了高中阶段，学生的知识基础有所增强，数学视野有所扩充，自主学习的活动、方式趋于多样，也为数学基本思想的感悟和基本活动经验的积累创造了条件．因此，在课程目标中提出“四基”既有必要也有可能．

显然，浅尝辄止的教学已经不能达成递进式的转变，深度教学是一种必然趋势．所谓深度，简单理解就是触及事物底部或本质的程度，深度教学就是触及教学的底部和本质的教学.学科、学生和学习是教学的三个重要支撑点，因而教学的底部和本质应围绕这三个方面，深度教学就是触及学科教材本质的教学，就是触及学生心灵、触及学习过程本质的教学．我们对深度教学的探索实践就应围绕这三个方面展开．

1 积极构建触及学科本质的教学

所谓触及本质，一要体现学科思想，二要善于充分挖掘概念、定理的内涵和外沿.教学时要通过设计层层递进的问题串来启发引导学生，而不是简单化地教概念、定理并以训练代替知识探究．

以立体几何教学为例，几何直观、空间想象、数学抽象是本质，但对于学生而言，从平面跨越到空间，其认知水平的提升不是一蹴而就的，需要在教学中不断锤练．

案例1直线与平面平行的判定定理．

先谈研究判定定理的必要性，定义判定很难形成有效证据链，所以要探寻便于逻辑推理的方法．在探究教学过程中，发现学生感觉很难“探”，一个重要原因在于教师给出的图形往往比较单一，不容易引发学生有效的空间想象．因此，要尽可能多地给出不同形态的直线与平面平行的情形，即在保持线面平行的形态下让直线动、平面不动，让平面动、直线不动，让双方都运动.由此引导学生观察不同形态的图形蕴含的共性特征，从而挖掘出定理的本质．

当然，线线平行难探寻的另一原因在于受平面几何的影响，定理中的两条线是隔空相望的，没有支架把它们联结在一起．因此，在探究时有学生提出如果直线上任意两点到平面的距离相等，则会有线面平行，而教师则以不便于操作为由回避了．事实上，如果继续引导，联结两个垂足点，即可发现线线平行关系．因此，因势利导在探究教学中非常关键．

另外，虽然教材对定理证明不作要求，但从培养学生逻辑推理素养来看，这是一个非常好的素材，也是锤炼学生思维品质的一个良好契机．一方面是正难则反的辩证思想的适时引入，可以揭示反证法的本质．另一方面，可以多角度地去探究证明方法，有利于培养学生的创新思维．

2 积极构建触动学生心灵的教学

雅斯贝尔斯在《什么是教育》中指出：“训练是一种心灵相隔离的活动，教育则是人与人精神相契合、文化得以传递的活动，真正的教育是人对人的主体间灵肉交流的活动．”如果教学不能触及学生心灵，各种知识、技能就难以与学生的心灵相遇、交流和贯通，学生便难以获得智慧的提升．要让学生全身心地参与到教学中，就要把学习的自主权还给学生，鼓励他们积极探索、相互质疑问难、相互学习欣赏，在这样的课堂中，有思辨、有争论、有掌声，充满活力，更是精彩纷呈的.只要你给学生机会，他们就会还你惊喜．

这一问题貌似简单，但很难找到有效突破口，而学生的交流展示却非常热烈，主要提供了如下三种不同的处理策略．

图1

这三种方法体现了解决向量问题的两大策略：一是建系，利用坐标法转化为代数运算，而该法关键要合理建系，便于代数运算，解法1体现了其优势；解法2及解法3利用数量积的向量运算公式来探寻线段长度．学生谈及解题策略时说到，借助垂直关系，发现只要利用数量积的几何意义，即投影思想，就能使问题迎刃而解．他进一步强调：解法2与解法3的投影方向不同，但本质是一致的．一语道破天机，话音未落，学生们即刻报以热烈的掌声．课堂上不俗的表现和来自伙伴们喝彩的掌声必将触动学子的心弦，也将成为他学习研究的不竭动力，在他今后的人生中留下一段美好记忆．

3 积极构建聚焦学习过程本质的教学

深度教学必须是聚焦学习过程本质的教学，即聚焦于学习的建构性过程．深度教学的本质不是“给予”而是“追寻”，其实质就是引导学生持续地建构．持续建构是一个在不同层次上持续向纵深推进的建构过程，它需要激起学生兴趣、情感和思维的深度参与．为此，教师要根据学生的学习与发展水平，为学生设计出渐次提升的学习过程．

案例3三次函数切线与三次函数图象有几个交点？

这是一个类比探究题，是进一步深入研究三次函数图象与性质的一个问题．它的源起是二次函数的切线与二次函数图象只有一个交点.那么三次函数是否一致呢？

面对该问题，学生们大都画图观察，发现好像变成了两个交点．有学生提出疑问：有一个交点的情形吗？片刻后，学生举例：函数y=x3在原点处的切线，该切线与y=x3的图象只有一个交点．进一步需要探究的是为什么一般三次函数的切线与三次函数图象有两个交点或一个交点，似乎与原有的切线概念不一致了？如何研究？有学生建议从代数角度入手．

问题转化为：三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d与其在点(m,f(m))处切线的交点个数是多少？

进一步追问：三次函数图象的切线与二次函数图象的切线的异同点是什么？

追问的目的在于，不仅要让学生对该问题的本质有更清晰的认识，更意在传递这样一个事实：即新旧知识之间都有着必然的联系，关键在于挖掘．

至此，问题研究的目标应已达成，但从培养学生创新思维的角度，还可以继续向纵深推进，启发学生类比思考：如果是四次函数、五次函数的切线，情况又是如何的呢？事实上，基于上述研究，学生已不难推理得到结论：即四次函数的切线与其图象一般有三个交点，切点处是重根；同理，五次函数的切线与其图象一般有四个交点，切点处是重根．而且进一步可以类推到n次函数的情形．这样的类推，对学生推理素养的培养是有价值的．而其潜在的价值则可能意想不到．

本题初看感觉无从下手，难点在于一方面要研究四次函数与一次函数之间的不等恒成立关系，另一方面要研究一次函数与二次函数之间的不等恒成立关系．按常理，先研究直线与二次曲线，但由于一次函数系数比较复杂，很难着手解决．而细究一次函数的系数与四次函数的关系，可以惊奇地发现原来这是四次函数在点(t,f(t))处的切线，而利用四次函数与其切线在切点处是重根这一重要性质，就不难寻找解题的突破口了．

四次函数在平时教学中基本不作要求，但可以借助对三次函数的研究来进行类比研究．因此，本题就是在考查学生的数学推理素养．而素养的培养应是浸润式的，应始终贯穿于平时的教学中，尤其要善于利用好研究素材，让教学真正成为持续深度推进的建构过程．也许，在能力和素养提升的同时，还会有意外的收获．

总之，深度教学契合新课程提出的新要求，达成的前提是教师要对教材、教学内容以及学生的认知水平有深度的研究.我们要精心设计教学，围绕深度教学的三个方面来精准推进教学，从而让学习真实且有效，让学生在掌握知识的同时提高能力、提升学科素养水平．