谈如何破解非常规边界磁场问题———缘起2020年全国高考理综卷Ⅰ第180题

◇ 河北 李春亚

2020年教育部考试中心发布《中国高考评价体系》,在评价理念上实现了由传统的“知识立意”“能力立意”评价向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”综合评价的转变.高考评价体系主要由“一核”“四层”“四翼”构成,“四层”中“学科素养”的二级指标“科学思维”要求:采用严谨求真的、实证性的逻辑思维方式应对各种问题.能够根据对问题情境的分析,运用实证数据分析事物的内部结构和问题的内在联系,以抽象的概念来反映客观事物的本质特征和内在联系.运用抽象与联想、归纳与概括、推演与计算、模型与建模等思维方法来组织、调动相关的知识与能力,解决生活实践或学习探索情境中的各种问题.2020年高考恰恰是深化课程改革,落实《中国高考评价体系》的有益探索.

带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题历来是各类考试的重点.该问题很好地考查了带电粒子在磁场中的圆周运动规律、数学三角函数和几何知识在物理中的应用能力、分析抽象能力.该问题经常与临界极值问题联系,常以选择题或压轴题的形式出现.学生不仅要掌握常规边界磁场问题,还要了解非常规边界问题.

常规边界磁场包括单直线边界、平行线边界、圆形边界、三角形边界、平行四边形边界等.

非常规边界磁场包括不平行两射线边界、扇形边界、多边形边界、组合边界、未知边界等.

2020年高考全国卷Ⅰ的第18题,就是非常规边界磁场问题的典型代表题目.

例1(2020年全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,其边界如图1中虚线所示为半圆,ac、bd与直径ab共线,ac间的距离等于半圆的半径.一束质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子,在纸面内从c点垂直于ac射入磁场,这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子,其运动时间为( ).

图1

解析

则粒子在磁场中运动的时间与速度无关,轨迹对应的圆心角越大,运动时间越长.粒子垂直ac射入磁场,则轨迹圆心必在ac直线上,将粒子的轨迹半径由零逐渐放大.(对应图2中①②③轨迹)

图2

设半圆磁场半径为R,则当半径r≤0.5R和r≥1.5R时,粒子分别从ac、bd区域射出,磁场中的轨迹为半圆,运动时间等于半个周期(图2中轨迹①③).

当0.5R＜r＜1.5R时,粒子从半圆边界射出.将轨迹半径从0.5R逐渐放大,粒子射出位置从半圆顶端向下移动,轨迹圆心角从π逐渐增大,当轨迹半径为R时,轨迹圆心角最大(图2中轨迹②ce恰与eO′垂直).然后再增大轨迹半径,轨迹圆心角减小,因此当轨迹半径等于R时轨迹圆心角最大,即轨迹对应的最大圆心角粒子运动最长时间为故选C.

点评

这道题难度适中,重视对基本概念、基本规律的考查.主要考查了洛伦兹力、圆周运动规律等基本知识和基本方法,引导学生重视基础、回归教材,体现了从知识能力目标向“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”四位一体综合考查的转变,对物理教学具有很好的导向作用.要特别注意的是,如果粒子周期相同,那么无论轨迹圆大小,运动时间的大小都取决于偏向角.

高考结束后,笔者通过与学生交流,得知造成一部分学生失分的原因是本题属于“圆弧＋单直线边界类”的非常规问题,而学生只熟悉常规边界问题,他们在平时练习时忽视挖掘解题规律方法,单纯机械地“刷题”,导致解题水平不能逐步提高.为了使教学更加有效,笔者整理了近几年试题中常见的非常规边界磁场问题,总结了相应的解题策略,以供参考.

1 非常规边界磁场

1.1 不平行两射线边界

图3

例2如图3所示,边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场,边界OA上有一粒子源S.某一时刻,从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用),所有粒子的初速度大小相同,经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场.已知∠AOC＝60°,从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于为粒子在磁场中运动的周期),则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为( ).

解析

粒子在磁场中做匀速圆周运动,出射点和入射点的连线即为轨迹的弦,初速度大小相同,轨迹半径R相同,可用动态定圆法.

图4中,设OS＝d,当出射点D与S点的连线垂直于OA时,DS弦为直径是最长弦,轨迹所对的圆心角最大,周期一定,则粒子在磁场中运动的时间最长.由此得到,轨迹半径当出射点E与S点的连线垂直于OC时,弦ES最短,轨迹所对的圆心角最小,则粒子在磁场中运动的时间最短.则,由几何知识得θ＝60°,最短时间.

图4

点评

面对此类问题时,要认真审题,提取条件,考虑比较轨迹半径大小,究竟是使用“动态定圆法”还是“放缩圆法”;还要选择时间的表达式,本题用弦长的变化来观察、比较时间的变化,更加直观,临界条件是DS弦为直径并且是最长弦,更易得出.

1.2 扇形边界

图5

例3如图5所示,纸面内有宽为L,水平向右飞行的带电粒子流,粒子质量为m、电荷量为－q、速率为v0,不考虑粒子的重力及相互间的作用,要使粒子都汇聚到一点,可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域,则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是哪一种(其中选项中曲线均为半径是L的圆弧,B选项中曲线为半径是的圆)( ).

解析

本题中,轨迹圆半径等于磁场圆半径,根据磁汇聚结论:平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子,如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等,则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出,并且出射点的切线与入射速度方向平行,可知选项A正确.

1.3 多边形边界

图6

例4如图6所示,在一个边长为a的正六边形区域内存在磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里的匀强磁场.3个相同的带正电粒子,比荷先后从A点沿AD方向以大小不等的速度射入匀强磁场区域,粒子在运动过程中只受磁场力作用.已知编号为①的粒子恰好从F点飞出磁场区域,编号为②的粒子恰好从E点飞出磁场区域,编号为③的粒子从ED边上某一点垂直边界飞出磁场区域.则( ).

C.三个粒子进入磁场的速度依次减小

D.三个粒子在磁场内运动的时间依次增加

图7

解析

由图7可知,粒子运动半径逐渐增大,故速度增大.结合可知三个粒子在磁场内运动的时间依次减小故选项B正确.

1.4 组合边界

例5如图8所示,半径为R的圆形区域内有垂直于圆平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,O为圆心,∠AOC＝90°,D为AC的中点,DO为一块很薄的粒子吸收板,一束质量为m、电荷量为e的电子以相同速度在AD间平行于DO方向垂直射入磁场,不考虑电子的重力及相互作用,电子打在吸收板上即被板吸收,则电子在磁场中运动的时间可能为( ).

图8

解析

本题重在利用动态定圆法进行观察分析.由电子在磁场中做圆周运动的周期画出电子在磁场中运动的轨迹如图9所示.可知从AO边射出磁场的电子在磁场中运动圆周,其运动时间为从CO边射出磁场的电子在磁场中运动等于或大于圆周,其运动时间为其中沿DO方向从O点射入磁场的电子在磁场中运动圆周,恰好轨迹与磁场圆相切,其运动时间最长,最长时间故选项A、C正确.

图9

点评

此类组合边界可能有扇形＋扇形、直角＋扇形、多个扇形＋无磁场扇形等.例如2016年浙江卷第25题“扇形聚焦回旋加速器”,就是多个扇形＋无磁场扇形类型(图10).

图10

1.5 未知边界

例6如图11所示,质量为m＝8.0×10－25kg、电荷量为q＝1.6×10－15C的带正电粒子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内,且与x方向夹角大于等于30°的范围内,粒子射入时的速度方向不同,但大小均为v＝2.0×107m·s－1.现在某一区域内加一方向向里且垂直于xOy平面的匀强磁场,磁感应强度大小为B＝0.1T,若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上,并且当把荧光屏MN向左移动时,屏上光斑长度和位置保持不变.画出所加磁场的最小范围(用斜线表示).

图11

解析

由题意得,轨迹半径R＝0.1m.当把荧光屏MN向左移动时,屏上光斑长度和位置保持不变,说明电子出射方向平行,都沿x轴负方向,逆向使用磁发散的规律,所加磁场若为整个圆形,则半径为R＝0.1m.问最小磁场范围就是所有粒子运动的范围即边界OB和OC弧与磁场圆所夹范围,如图12阴影部分.

图12

例7如图13所示,虚线MO与水平线PQ相交于O,二者夹角θ＝30°,在MO左侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场,MO右侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场,O点处在磁场的边界上.现有一群质量为m、电荷量为＋q的带电粒子在纸面内以一定范围的速度垂直于MO从O点射入磁场,所有粒子通过直线MO时,速度方向均平行于PQ向左.不计粒子的重力和粒子间的相互作用力,求磁场区域的最小面积.

图13

解析

由“速度大小不同的粒子均要水平通过MO”可知粒子飞出磁场的位置均应在ON的连线上(如图14),故磁场范围的最小面积S是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成图形的面积.

图14

答案.

2 解题策略

策略1严格规范作图步骤,定圆心—定半径—定轨迹—定圆心角(回旋角).

那么,如何确定“圆心角与时间”呢?注意以下问题破解规律:

1)速度的偏向角φ既等于轨迹圆弧所对应的圆心角(回旋角)θ,又等于2倍的弦切角α(当偏向角为钝角时为π＋2α),如图15所示.

2)时间的计算方法.

a)由圆心角求.由知,如果粒子周期相同,那么无论轨迹圆大小,t的大小都取决于偏向角.另外,有.

图15

b)由弧长求.此方法多用于v相同时,弧长s便于观察长短的情况.

c)同一轨迹,劣弧下,弦长越长,粒子运动时间越长,优弧则相反.

策略2观察几何图形,找边角关系,尤其要注意磁汇聚、磁发散二级结论条件是否满足.

当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时,存在两条特殊规律:

1)(磁发散)如图16-甲图所示.

2)(磁汇聚)如图16-乙图所示.

图16

策略3从轨迹入手找准临界条件.

1)当粒子的入射方向不变而速度大小可变时,由于半径不确定,可从轨迹圆的缩放中发现临界点.

2)当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时,轨迹圆大小不变,只是位置关于入射点发生了旋转,可从定圆的动态旋转中发现临界点.

策略4梯度性习题的训练.

只有教师“跳入题海”,找出合适的梯度性习题,才能让学生“题海上泛轻舟”.所以,教师一定要关注各级考试试题,把其中有代表性的试题归类总结,整理成专题,注意专题的训练难度应由易到难、由旧到新,这样才能让学生在有限时间内实现高效的学习.