蝴蝶定理的引申与推广———对202年高考数学北京卷第20题的探讨

◇ 北京 马超周 郑拴平

2020年是北京高考数学文理不分科的第一年,试卷在题量分布、分数设置等方面均有变化,但整体而言呈现了稳中有进、适度创新的特点,试题着重考查了数学方法与数学本质,凸显了数学素养.

试卷中第20题考查了解析几何中的主要方法,需要利用代数方法对几何对象进行研究,在考试过程中需要学生能够积极地思考和分析问题,要具备一定的数学运算核心素养.如果深入分析本题的几何背景则会对这一问题的思考有不同理解,能更好地探究解析几何问题的本质,因此本文主要针对该题的几何背景进行分析.

1 题目再现

题目已知椭圆过点A(－2,－1),且a＝2b.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点B(－4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x＝－4于点P,Q.求的值.

2 试题背景与解题思路分析

蝴蝶定理是古典欧氏平面几何中一个精彩的命题,一直以来都是数学爱好者的研究热点,至今蝴蝶定理有多种形式的推广和变形,在考试中也涉及各种变形,而2020年北京高考数学试卷中20题的第(2)问,实际上就是蝴蝶定理在椭圆中的推广与引申.

蝴蝶定理如图1所示,已知M是圆O的弦AB的中点,CD,GH是过点M的两条弦,连接CH,DG分别交AB于P,Q两点,则有|MP|＝|MQ|.

蝴蝶定理有解析法、面积法、对称法等多种证明方法,而实际上圆内的蝴蝶定理是一种特殊情况,该定理有多种推广,比如点M不一定是圆内弦的交点,可以移动至圆外,圆也可以改为任意圆锥曲线等,这些定理的推广正是本题的起源.本文首先给出点M在圆外的蝴蝶定理形式以及一般圆锥曲线中蝴蝶定理的两种形式,并由它们分析试题的变形以及求解思路.

图1

定理1如图2所示,在圆锥曲线中,过弦AB中点M任作两条弦CD和EF,直线CE与DF交直线AB于P,Q,则有

图2

定理1是蝴蝶定理在圆锥曲线中的推广,关于该定理的证明不在本文中进行具体阐述,2003年高考北京卷数学18题的第(3)问就是以定理1为背景进行的试题编拟,试题是将定理1中的圆锥曲线取为椭圆,同时AB为平行于椭圆长轴的弦的特殊情况(如图3),读者可自行探究.

图3

但是2020年的题目与定理1的条件有所区别,一方面,本题中点M是圆锥曲线外一点;另一方面,在题干信息中并没有直接看到经过点M的两条弦,其实这是蝴蝶定理在圆锥曲线中的进一步推广.

定理2在圆锥曲线中,过弦AB端点的切线交于点M,过M的直线l∥AB,过M任作两条弦CD和EF,直线CE与DF交直线l于点P,Q,则有|MP|＝|MQ|.

证明如图4所示,以M为原点,直线l为y轴建立平面直角坐标系.设圆锥曲线方程为

图4

设A(x1,y1),B(x1,y2),则切线MA的方程是

因切线MA经过点M(0,0),故可得F＝0.同理,根据经过点M的切线MB的方程可以得到.由此可得E(y1－y2)＝0,所以E＝0.

由已知条件可知直线CD和EF的斜率都存在,设直线CD方程为y＝k1x,直线EF方程为y＝k2x,同时设C(x3,y3),D(x4,y4),E(x5,y5),F(x6,y6),P(0,p),Q(0,q),则直线CE方程为

联立y＝k1x与Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0,可得

又因为E＝0,所以

同理可得

2020年的题目就是将定理2中的圆锥曲线取为椭圆,同时弦AB为垂直于椭圆长轴的一种特殊情况,当弦AB垂直于椭圆长轴时,点M也在长轴上.

一方面,虽然题干信息中没有出现定理2中的弦AB,但是直线x＝－4是一条垂直于长轴的直线,而且点B(－4,0)恰好为该直线与椭圆长轴的交点,根据椭圆的对称性,经过点B作椭圆两条切线,则切点弦一定垂直于椭圆长轴,符合定理2的条件.

另一方面,2020年的题目中经过点B只作了一条直线MN与椭圆相交,而经过计算可以发现直线BA是椭圆的一条切线,因此本题是在对定理2的条件特殊化的基础上再一次特殊化(如图5),即经过点M作的两直线中一条与椭圆相交,一条是椭圆的切线(即点C和D重合,或者点E和F重合的特殊情况).根据定理2的证明过程可以看到,如果经过点M的直线是圆锥曲线的切线,结论仍然成立.

至此,从蝴蝶定理的推广形式中分析出2020年高考北京卷数学第20题第(2)问的几何背景信息,使我们对本题的几何图形构图有更加深入的理解.

高中阶段,解析几何研究的是如何用代数方法探究几何问题,对于本题的处理一般我们会选择将直线l的方程与椭圆方程联立,但是计算较为烦琐,而简化本题计算过程的关键其实是如何用代数方法表示在深入分析了本题的几何构图后,结合定理的证明过程,也为本题求解提供了思考方向,即计算P,Q两点纵坐标之和会为代数运算带来简便之处.

上述分析是从蝴蝶定理在圆锥曲线的推广中对本题几何背景进行研究,下面我们从另一个视角进行分析,即从蝴蝶定理在圆中的推广形式分析本题几何背景信息,并进行题目的变式拓展.

图5

定理3如图6所示,直线l是圆O外的一条定直线,过圆心O作OM⊥l于点M,过M任意作两条直线分别交圆O于点C,D,E,F,连接DE,FC并延长交直线l于点P,Q,则

图6

定理3是蝴蝶定理中点M在圆外的推广情况,从这个推广情况中我们可以再进一步进行特殊化,即过点M分别作圆O的一条交线和切线(即点E和F重合时的特殊情况),则结论仍然成立.

定理3′如图7所示,直线l是圆O外的一条定直线,过圆心O作OM⊥l于点M,过M任意作一条直线与圆O交于点C和D,作圆O的一条切线与圆O交于点E,连接CE,ED并延长分别交直线l于点P,Q,则有|MP|＝|MQ|.

证明作点C关于直线OM的对称点C′,连接CC′,EC′,MC′,QC′,则有CC′∥PQ.由已知可得

图7

所以∠DEC′＝∠C′MQ,则有E,M,Q,C′四点共圆,由此得∠MEQ＝∠MC′Q.又因为∠MEQ是弦切角,所以∠MEQ＝∠MCE,所以∠MCE＝∠MC′Q.

所以△PMC≌△QMC′,证得MP＝MQ.

从蝴蝶定理推广形式的定理3′中可以发现,2020年北京高考数学的第20题相当于是定理3′由圆向椭圆的再次推广.同时结合高等数学的知识可以知道,在射影空间RP2或CP2中,椭圆、双曲线和抛物线都可以通过射影变换转化为圆,所以定理3′的结论在圆锥曲线中也是成立的.虽然几何证法不是高中阶段解析几何的主要研究方法,但是结合几何方法的证明过程以及对定理条件的分析之后,可以将本题的本质条件进行提炼并进行变式.

2020年的第20题只要满足点B是椭圆对称轴上的点,且保证直线AB与椭圆相切,则结论仍然成立.同时在上述条件满足的情况下还将本题推广到双曲线或抛物线中,进行简单变式,在这里不加以证明,感兴趣的读者可以尝试进行推导.

变式已知抛物线C:x2＝2py(p＞0)过点A(,2),直线l过点B(0,－2)且交抛物线C于点M,N,直线MA,NA分别交直线y＝－2于点P,Q,求证|PB|＝|BQ|.

3 结语

本文对2020年高考数学北京卷第20题进行了分析,可以看出本题是蝴蝶定理在圆锥曲线中的又一次推广与引申.一方面,对解析几何问题编拟的几何背景进行分析,为解析几何的教学提供一个研究性学习的思考方向,并对题目进行推广,借助类比或者从特殊到一般的方法,体会推广过程中如何抓住问题本质以及其隐含的规律;另一方面,高中阶段的解析几何重点是培养学生用代数方法研究几何性质,但是在用代数法研究的过程中对几何元素间的关系分析得越全面,就更有助于向代数方向的转化.