用向量方法解立体几何的解题策略

2020-12-14 04:21黄诗贤
课程教育研究 2020年43期
关键词:解题策略数学建模

黄诗贤

【摘要】对大多数学生来说,三维几何是很难学的,若单纯用几何方法来解决立体几何问题,他们常感到一筹莫展,无从下手。向量法为解决立体几何问题提供了一种新的途径,使几何形状与数协调统一,形成了一套相对固定的模式,具有较高的可操作性,深受学生的青睐。本文就立体几何中的向量方法的解题策略提出一些意见。

【关键词】向量法  解题策略  数学建模

【中图分类号】G633.6   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2020)43-0099-03

一、向量法证明平行或垂直关系

在空间图形中,平行与垂直关系是很常见的关系,用向量方法证明,解法相对固定,容易入手。

充分挖掘图形中的垂直关系,建立空间直角坐标系,将相关直线的方向向量、相关平面的法向量求出来并进行向量运算,依据计算结果,确认相应的关系,转译并作出判断。

二、用向量法处理距离问题

立体几何中涉及的距离问题较多,如两点距离,点、线与面的距离,异面直线的距离。

用向量来处理此类问题,则思路简单,解法清晰固定。

(3)线与面的距离,异面直线的距离,可转化成点到平面的距离。

三、用向量法求空间角

立体几何中涉及的空间角有两异面直线所成的角,直线与平面所成的角,以及二面角。

解题策略:

二面角问题是高考热点,如何求二面角?有两种做法,第一种可以用几何法作出二面角的平面角求解,对一部分题目而言,能较轻松做出二面角,并求出二面角。第二种方法是用向量法求解,但要注意运算。解题时应注意以下两点:

1.求法向量时,利用向量垂直时尽可能用平行坐标轴(面)的向量,简化运算。

2.二面角是锐角还是钝角的判断,可借助几何图形直观判断,若在图形中不易看出,可根据两个半平面的法向量的方向判断。

四、向量法解立体几何中的探究性问题

立体几何中的探究性问题立意新颖,形式多变,令人耳目一新,近年来在高考中时有出现,向量法在解决此类问题扮演着举足轻重的角色,为分析和解决立体几何中的探究性问题另辟蹊径,提供了全新的视角。

1.立体几何中的条件探索型问题

基本特征:结论明确,但需探索条件或增删条件、或判断条件正误。此类问题的难点是如何“执果索因”。需注意切勿把必要条件当作充分条件,不考虑推理过程的可逆与否。

而方程③没有实数根,所以在线段AD上不存在一个点G,使得点G到P、B、C、D的距离都相等。

解题策略:

1.立体几何中存在性问题的解题策略是:假设结论成立,并进行逻辑推理,若推出与已知相符的结论,则说明假设成立,即存在。得出与已知矛盾的结论,说明假设不成立,即不存在。

2.立体几何中的结论探索型问题的解题策略是:要把所求的问题转化成我们熟悉的问题,如距离问题、角度问题、最大值与最小值问题,从条件出发,经过严密推理和计算,得到结论。

高中數学教学不仅仅是知识和技能的传授,更重要的是数学思想的熏陶以及数学核心素养的养成。数学核心素养对人的发展有着深远的影响。新课程标准要求学有价值的数学,要培养学生的数学核心素养。数学核心素养之一就是要有数学建模能力。向量法就是对立体几何问题进行数学建模,提升学生的实际应用能力,培养学生的创新意识。

参考文献:

[1]曹超,吕增峰.《例谈用向量法解立体几何教学的“误区”》,《教学导航》2014年第6期.

[2]徐皓亮.《向量法解立体几何问题的坐标系的建立》,《高中数理化》2011年23期.

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