函数最值在高中数学中的应用浅谈

毛晨阳

摘 要最值问题在高中数学课程学习中具有很重要的地位，而函数最值问题涉及的内容非常广泛，导致最值问题的内容分散，灵活性比较大，求解比较困难。基于此。本文主要研究函数最值在中学数学中的应用，以便更有效地解决此类问题。

关键词函数最值;函数极值;最值问题;二次函数

中图分类号：G632                                                      文献标识码：A                                                  文章编号：1002-7661（2020）33-0176-02

本篇文章主要以中学数学中函数最值问题为基本的出发点，利用函数最值定义、函数的单调性和性质、导数等方面来求解问题并进行应用帮助学生在解题过程中提供一些思路和方法。这样可以真正根据具体题目中的特点进行一次认真的分析，合理判断之后，就可以在解题过程中巧妙地选取最适当的方法，从而在很大程度上节约时间，提高解决问题的效率。特别是，当遇到一些典型题目时候，选择最合适的方法去解决，更会出现事半功倍的效果。函数最值问题是函数研究中极为重要的部分，函数最值在二次函数、三角函数、现实生活中的应用非常广泛，而对于现实生活中的问题可以转化为数学中求函数最值的问题，并通过解决数学中问题来最终达到解决这类问题的目的。

一、预备知识

（一）函数的极值

定义在包含的某个区间内，若，则点为的极大值点，为的极大值;定义在包含的某个区间内，若，则点为的极小值点，为的极小值。

（二）函数的最值

定义1：设函数的定义域为，如果存在一点，使得对定义域内的任意一点，都有，那么我们称为函数的最大值，记为;

定义2：设函数的定义域为，如果存在一点使得对定义域内的任意一点，都有，那么我们称为的最小值，记为。

例1：求函数在闭区间上的最值。

分析：先求闭区间上函数的极值，然后把极值与端点函数比较大小，确定最值。

解：因为，所以令，得（舍正）。

又因为

比较得，的最大值为3，最小值为。

二、函数最值在二次函数中的应用

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）是中学数学中最基础、最重要的一部分知识。不仅在初中应用广泛，在高中更为广泛。y=ax²+bx+c（a≠0）在三角函数和一些实际问题中也得以体现，对学生来说，这类最值的应用是至关重要的。近年来，压轴题常常会考到它的最值应用，这使它成为了考试中的一个热点。二次函数是客观地反应了变量之间的数量关系和变化规律的一种重要的数学模型，是中学阶段学习函数的重点和难点，学习上有一定的难度。所以学生对这类问题的学习不仅可使分析以及解决问题的能力得到了提高，也可帮助他们理解和掌握函数思想、分类討论、数形结合等数学方法，在很大程度上节约时间，提高数学素养。

（一）二次函数的主要两种形式

1.一般式：

（1）当时，开口向上，对称轴，顶点坐标。

当，随的增大而減小;当时，则随的增大而增大;当时，有最小值。

（2）当时，开口向下，对称轴，顶点坐标。

当时，随的增大而增大;当时，随的增大而减小;当时，有最大值。

2.顶点式：

（1）当时，开口向上，取，的最小值是，此时两个端点是进行最大值的比较;

（2）当时，开口向下，取的最大值是，此时两个端点是进行最小值的比较。

（二）利用二次函数性质求最值

任何一个二次函数解析式都可以转化成或，两者可以相互转化。因此，在解这类题的过程中，可用配方法、公式法，再由二次函数的性质进行灵活应用去求函数最值。例如，在区间上。配方得到形如函数，再利用的性质来求解函数最值。

例2：二次函数，当时，求的最值。

分析：这个题可将函数进行配方，依的开口的方向来判断函数的最值。在用配方求解时需要注意，不要将函数与方程它们的配方进行混淆，同时要知道如何去进行函数的配方，在配方的过程中要注意加上一个的同时要减去相同的一个，保证值不变。配方后，根据开口方向和定义域来进行最值的判断。

解：首先对二次函数配方，由此得出的开口的方向是向上的，所以在的时候，有最小值为。

因为，所以当时，函数值为;当时，函数值为。

故函数的最大值为。

三、函数最值在三角函数中的应用

在中学数学中，三角函数是一种特殊函数，它是数学学习有关于最值问题中常见的应用，有利于使学生更好地去理解这种函数的一些基础的知识，培养他们学习的逻辑思维。在求解三角函数最值的时候，要能够理解掌握三角函数的性质，并在公式的灵活变化中，还要能依据其他函数解决最值问题的特点来进行分析，这种函数所学到的知识和一些思想应该有机结合起来。如三角函数图像的应用。

当时，则、的值域為和，而当确定范围时，求这类问题，运用数形结合法就是最好的一种解题方法，一是结合三角函数的图像，二是利用三角函数线。在求函数最值中，最直观的方法便是图像法，可观察图像，最大（小）值可在最高（底）点纵坐标取得。求这类问题时，取值范围是要先知道的，然后结合这个函数图像，就很容易把函数最值求出来。

例3：已知，，求的最值。

解：由于，则.由的图像可以看出。故。

四、函数最值在实际生活中的应用

在生活中，人们总会遇到最值问题，如最经济的材料、最大的面积等等，我们就有必要寻找相对应的适当的方案或策略，而利用导数去解决这类问题，是基本方法中的一种.求这类问题的步骤：先将问题构造成数学模型，根据变量的关系写出;先求的导数，再去解;把的点的数值与端点的函数数值进行比较，求出最值。注意：在求最值时，要考虑到问题的实际的意义，不符合的理应舍去。当求出的解是一个的时候，则这个解是极值便是最值，可以不用与端点再来比较。在解决实际问题时，要注意用函数表示出相关变量，以及的取值范围。

（一）用料最省、费用最低问题

最经济和低成本以各种形式出现，可将这种形式的指标表示为关于的函数，求解最值的方法可以是导数或者其他的，注意的取值范围。

例5：在一次轮船比赛中，一艘轮船燃烧费和船速的关系为。其他与速度无关的总费用是96元/小时，求使1海里需要费用的总和是最小，船速的值。

分析：这个题主要考查利用导数的方法，用所知道的条件去表示出函数的关系式，利用导数来进行求解。分析问题中的各个量之间的关系，正确写出关系式是解题的关键。

解：设船速为海里/小时，1海里的航行所要费用为元，而1海里航行时间为，则，所以。

令，解得。

因为当时，，当时，所以当时，取得极小值，也是最小值。

故当船速是20海里/小时，1海里航行需要的费用总和最小。

（二）面积、体积最大问题

对面积或体积最大的问题，关键是分析这个几何体的几何特征，要选择合适的量去建立我们要用到的目标函数，再利用导数求最值。

例6：某工厂需要加工一种新形状的玻璃，为此将材质为玻璃的矩形玻璃和半圆进行相接，就是将半圆直径与矩形一边相接，半圆的直径是，当矩形周长是10时，求矩形玻璃面积最大，的值。

分析：本题考查的是寻找矩形玻璃的面积与半径间的关系，并利用导数求最值。

解：设矩形另一个边为，由于半圆弧长为，可得到关系式为，所以，令，得。

當时，;当时，。

所以当时，的极大值，也是最大值，故，矩形玻璃面积最大。

五、结论

本文主要介绍了函数最值在二次函数、三角函数以及实际生活问题中的应用，通过相关例题的分析提供给学生一些思路和方法，从而提高学习效率。研究函数最值，不仅让学生们对函数和数学本身有更好的了解，而且对解决实际问题有着更深远的意义。

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