由难化易 由繁化简

关峰

【摘 要】高中数学的解题过程相对繁琐，难度较高，需要学生掌握一定解题思路和方法，以精准地把握数学解题关键，将困难转变为容易，将繁琐转变为简单，从而轻松应对各种题型的考验。化归思想就是高中数学中一种由难到易、由繁到简的重要思想，学习和掌握化归思想，学会从陌生到熟悉、方程到函数、数理到形状、抽象到具体等类型的转换，对高中生的数学学习至关重要，能使学生将未知转换为已知，从而轻松完成解题过程。

【关键词】高中数学;化归思想;由难化易;由繁化简;解题过程

高中数学的解题过程通常是一个步步为营、连续不断的探索过程，是将复杂困难、陌生抽象、缺少规范的问题，运用解题思维，通过解题步骤，化归为一个或多个简单易懂、熟悉具象、规范连续的问题，并实现从未知向已知范围的转化，这便是化归思想的精髓。高中数学学习难度大，课程容量也大，倘若不能掌握和利用好化归思想，必将浪费掉大量的时间和精力在解题上，使得学习进度变得缓慢，学习效果变得不佳。因此，笔者在这里重点讨论化归思想在高中数学解题过程中的运用，以帮助学生找到解题关键。

从客观的角度看，分类、类比、联想等思维方式，都可以被当做是化归思想的体现形式。“转化”是化归思想的核心内容，即“把未知转换为已知，将复杂转换为简单，将矛盾转换为答案”。化归思想在基本数学知识中也有所体现，如多元方程转化为一元、高次转化为低次、高维度转化为低维度。简单来说，化归思想的解题模式为：分析问题后提出新的问题，解决新问题来应对原有的问题，这种思维内在转换，注重以变通的方式解决数学问题。

高中阶段的数学知识较难，教师在教学的过程中，要充分考虑学生的“个性特征”，如果教师能够在这一个期间，激发学生的学习兴趣，消除学生对高中数学知识学习的抵触心理，那么一切教学活动都能达到事半功倍的效果。化归思想改变了传统的解题方式，教师引导学生应用化归思想进行解题，能让学生充分体会到解题带来的成就感以及快乐，从而促使学生形成正确的理性思维习惯，让学生从无尽的“题海”中挣脱出来。

一、化归思想的解题应用

（一）静态化为动态，借助函数特性解题

高中数学化归思想在解题中，可以将两个静态的数学常量，打造成动态的函数关系，通过函数的性质来解读两个常量之间的动态关系，从而解决问题。例如，在学习比较指数与对数函数的大小时，可以把以1/3为底2的对数与以1/3为底1/3的对数做比较。虽然是基础的数学题型，但是其中也渗透了静态向动态转化的思想。两个比较数值都处于静态，要通过构造函数打造二者的动态关系。如设置成以1/3为底x的对数函数，将1/3为底1/3的对数和以1/3为底2的对数作为这个函数的不同变量取值，把静态的对比转化成动态，再利用对数函数的单调性，构建出其在x与y轴上的动态曲线，分别找到x等于2和x等于1/3时的y坐标数值，从而得到答案。总之，这种静态与动态关系的转化，重点在于找到“以1/3为底2的对数”“以1/3为底1/3的对数”两个静态数值之间的同化关系，利用“以1/3为底”这一共同的点，打造出“以1/3为底x的对数函数”，从而将静态转化为动态，利用“以1/3为底x的对数函数”在（0，+∞）区间内为减函数的特性，从而轻松地获取结果。而“以1/3为底x的对数函数在（0，+∞）区间内为减函数”便是问题的关键突破点。

（二）不等式转化为等式，找到清晰解题思路

不等式是高中数学教学内容的基础，在数学问题中常常与函数方程结合，偏向于具备综合性质的问题。例如，在不等式：4≥ax-2≥0中，x的集是[1，3]，问：a的取值范围是？要解决这个问题，就需要找到a的取值范围，找到两个节点，而这两个节点还是要通过带入值构建等式的方法解出答案值。因此，要将x的端点值1和3分别带入“4=ax-2与ax-2=0”的方程式中，变成等式：4=3a-2与a-2=0，得出k=2的结果。由此可见，在处理不等式问题的时候，要从节点入手，转化为等式关系，从而找到问题的关键突破点，顺利解决问题。

（三）运用化归思想，解决等差数列问题

数学思想在高中数学的教学中极少占用课时，最主要的原因是绝大多数数学教师自身的理解水平也尚未达到那个高度，更别提课堂设计了。但是，数学思想绝对比类似于平面向量这样一个具体知识点更加普遍适用，这一点尤其体现在解题的时候。例如，在解题时能成功地将条件转化成能被直观理解与直接使用的形式，经常是解决问题的关键。转化地过程可不仅是在某些题中偶尔被用到，仔细观察每一道做过的中高难度的高中数学题，就会发现，基本每一道题都有转化的过程。在高中数学中，数列是重点内容，在考试中通常都会作为一道数学大题，让学生通过对等差数列与对比数列进行整理和归纳，解决所提出的数列问题。

二、化归思想的应用方法

（一）分解法

分解法是將看似没有规律的题目，转变为有规律的题目，然后根据简单的计算，就可得出答案。

（二）换元法

换元法是指将不标准且看似复杂的不等式、函数、方程转化为简单的数学问题。在世纪解题的过程中，换元法是一种经常使用的计算方法。如“局部换元法”，将题目中某一个式子看作一个整体，然后用一个变量替换它，就能让整个式子变得更加简单。

三、化归思想应用原则

化归转化方式很多，技巧很多，方法也很多，不同方法技巧所应用的场景也不同，在不同的情况下，具体采用怎样的化归方法，也有一定的原则和规律可循。

（一）简单原则

解决数学问题，一定要将看似复杂的问题简单化处理，这也是化归思想的基本原则。化归思想最终的应用目标，就是为了将复杂的问题，变成简单易懂的问题，以便解题过程的进一步推进。例如，在上文中我们应用叠加法和错项消除的方式，把复杂数列化成简单的等式，从而轻松地处理了问题。

（二）熟悉原则

学习知识的过程，就是新的事物从陌生变得熟悉的过程，虽然数学知识内容较为抽象、枯燥，但是许多数学知识之间都有着密切的内在联系，题型之间能进行相互转换，学生只要掌握了熟悉的原则，就能够将陌生的知识内容，转化为熟悉的知识内容，题目在学生眼前也就更加简单了。例如，在解决三元一次方程组时，就可以充分利用化归思想，先将其转化为二元一次方程组，使题目简单化，然后再经过转化，使二元一次方程组转化为一元一次方程式。这种简化的方法要求学生对于简化的原则非常熟悉，也需要教师提前做好教材内容的提练和简化工作，从而根据化归思想进行转化，成功地解决数学问题。

（三）直观原则

在一些比较计算中，需要把问题向直观去表达，从可观的角度，发现问题的解决办法。例如，在上文中对数比较的过程中，如果只是进行生硬的计算，恐怕很难轻易得出答案，即便得出答案，也未必准确。可是如果把两个对数常量，变成一个拥有加减性的函数，通过函数的性质，来进行数值的比较，那么就会轻松和简单很多。

四、结语

总之，化归思想形式多变，在日常学习中，一定要让学生多注意积累，多进行总结，把每一种解题思路和解题关键都牢牢地把握。所谓熟能生巧，当学生熟悉了寻找这类问题的解决关键点之后，自然可以把化归思想用得炉火纯青。高中数学的解题过程是一个步步为营、连续不断的探索过程，是将复杂困难、陌生抽象、缺少规范的问题，运用解题思维，通过解题步骤，化归为一个或多个简单易懂、熟悉具象、规范连续的问题，并实现从未知向已知范围的转化，这便是化归思想的精髓。高中数学学习难度大，课程容量也大，倘若不能掌握和利用好化归思想，必将浪费掉大量的时间和精力在解题上，使得学习进度变得缓慢，学习效果变得不佳。因此，笔者在这里重点讨论化归思想在高中数学解题过程中的运用，以帮助学生找到解题关键。

一、化归思想的解题应用

从客观的角度看，分类、类比、联想等等思维方式，都可以被当做是化归思想的体现形式。“转化”是化归思想的核心内容，即“把未知转换为已知，将复杂转换为简单，将矛盾转换为答案”。化归思想在基本数学知识中也有所体现，如多元方程转化为一元、高次转化为低次、高维度转化为低维度。简单来说，化归思想的解题模式为：分析问题后提出新的问题，解决新问题来应对原有的问题，这种思维内在转换，注重以变通的方式解决数学问题。

高中阶段的数学知识较难，教师在教学的过程中，要充分考虑学生的“个性特征”，如果教师能够在这一个期间，激发学生的学习兴趣，消除对高中数学知识学习的抵触心理，那么一切教学活动都能达到事半功倍的效果。化归思想改变了传统的解题方式，教师引导学生应用化归思想进行解题，能让学生充分体会到解题带来的成就感以及快乐，从而促使学生形成正确的理性思维习惯，让学生从无尽的“题海”中挣脱出来。

二、化归思想的应用方法

（一）静态化为动态，借助函数特性解题

高中数学化归思想在解题中，可以将两个静态的数学常量，打造成动态的函数关系，通过函数的性质来解读两个常量之间的动态关系，从而解决问题。例如，在学习比较指数与对数函数的大小时，可以把以1/3为底2的对数与以1/3为底1/3的对数做比较。虽然是基础的数学题型，但是其中也渗透了静态向动态转化的思想。两个比较数值都处于静态，要通过构造函数打造二者的动态关系。如设置成以1/3为底x的对数函数，将1/3为底1/3的对数和以1/3为底2的对数作为这个函数的不同变量取值，把静态的对比转化成动态，再利用对数函数的单调性，构建出其在x与y轴上的动态曲线，分别找到x等于2和x等于1/3时的y坐标数值，从而得到答案。总之，这种静态与动态关系的转化，重点在于找到“以1/3为底2的对数”“以1/3为底1/3的对数”两个静态数值之间的同化关系，利用“以1/3为底”这一共同的点，打造出“以1/3为底x的对数函数”，从而将静态转化为动态，利用“以1/3为底x的对数函数”在（0，+∞）区间内为减函数的特性，从而轻松地获取结果。而“以1/3为底x的对数函数在（0，+∞）区间内为减函数”便是问题的关键突破点。

（二）不等式转化为等式，找到清晰解题思路

不等式是高中数学教学内容的基础，在数学问题中常常与函数方程结合，偏向于具备综合性质的问题。例如，在不等式：4≥ax-2≥ 0中，x的集是[1，3]，问，a的取值范围是？要解决这个问题，就需要找到a的取值范围，找到两个节点，而这两个节点还是要通过带入值构建等式的方法解出答案值。因此，要将x的端点值1和3分别带入“4=ax-2与ax-2=0”的方程式中，变成等式：4=3a-2与a-2=0，得出k=2的结果。由此可见，在处理不等式问题的时候，要从节点入手，转化为等式关系，从而找到问题的关键突破点，顺利解决问题。

（三）运用化归思想，解决等差数列问题

三、化归思想应用原则以及案例

（一）简单原则

（二）熟悉原则

1.分解法

2.换元法

3.化归转化的原则

化归转化方式很多，技巧很多，方法也很多，不同方法技巧所应用的场景也不同，在不同的问题情况下，采用怎样的化归方法，也有一定的原则和规律可循。主要总结为：第一，熟悉化原则。就是把陌生的问题尽量向我们熟悉的角度转化，例如，上文中提到的不等式的问题，要转换成等式来解答就会容易很多;第二，简单化原则。在遇到较为复杂繁琐的问题时，尤其是在数列的相关问题中，就需要我们利用化归思想进行简单化处理。在上文中，我们应用叠加法和错项消除的方式，把复杂数列化成简单的等式，从而轻松地处理了问题;第三，直观化原则。在一些比较计算中，需要把问题向直观去表达，从可观的角度，发现问题的解决办法。例如，在上文中对数比较的过程中，如果只是进行生硬的计算，恐怕很难轻易得出答案，即便得出答案，也未必准确。可是如果把两个对数常量，变成一个拥有加减性的函数，通过函数的性质，来进行数值的比较，那么就会轻松和简单很多。

四、结语

总之，化归思想形式多变，在日常学习中，一定要让学生多注意积累，多进行总结，把每一种解题思路和解题关键都牢牢地把握。所谓熟能生巧，当学生熟悉了寻找这类问题的解决关键点之后，自然可以把化归思想用得炉火纯青。

参考文献：

[1]司马澍.化归思想在高中数学函数学习中的运用研究[J].科技经济导刊，2017（28）.

[2]陈卓.高中数学化归思想方法的案例分析——基于苏教版高中数学教材必修四内容[J].数学之友，2017（4）.

[3]杜文偉.转化与化归思想在高中数学中的应用[J].中学数学，2014（15）.