讲好题目背后的“故事”

高 军 (广东省深圳市高级中学 518040)

学习数学意味着解题，解题教学对数学知识的讲授、数学方法的提炼、数学思想的形成有着重要影响．如何挖掘题目的内涵，讲好题目背后的“故事”，对构建学生知识体系、提高学生分析问题和解决问题的能力显得尤为重要．本文结合具体案例及笔者对解题教学的认识，谈谈如何提高解题教学效果．

1 引例

(2)是否存在x轴上的定点Q(异于点A)，使得以MP为直径的圆恒过MQ与BP的交点？

分析 定值、定点问题是高考的高频考点之一，也是圆锥曲线学习中的重点和难点．此题以椭圆为载体，在动态情境中同时考查了定值、定点问题，解法多样，思想丰富，内涵深刻．如何讲好此题，最大限度发挥其教学功能与价值，笔者从下面三个方面(“故事”)作了探索．

1.1 “故事1”——试题解法探究

思路1 设而不求，进行整体代换

由第(1)问得2x0+my0=4②，将②式代入①式有n(x0-2)=0，x0≠2，解得n=0．因此存在x轴上的定点Q(0,0)，使得以MP为直径的圆恒通过MQ与BP的交点．

思路2 联立消元，巧用韦达定理

评注试题解法探究展现了解析几何问题解决的两种基本思路，我们简称韦达定理型与非韦达定理型．对于单动点问题(其他所有变量都因某个动点的变化引起的)即非韦达定理型，我们常用设而不求思想，寻找各变量的隐性关系整体代换求解；对于双动点问题(其他变量因直线与曲线两交点同时变化而引起的)即韦达定理型，我们需设直线方程，联立消元后用韦达定理解决问题．

1.2 “故事2”——问题本质探究

题目中的问题是非本质的，由特殊到一般，能否证明下列命题：

(2)是否存在x轴上的定点Q(异于点A)，使得以MP为直径的圆恒过MQ与BP的交点？

1.3 “故事3”—— 椭圆生成探究

结合上述结论，小试牛刀，解决下列问题：

(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线．

(2)过坐标原点的直线交曲线C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面积的最大值．

2 思考

2.1 实施多维探究 讲清问题本质

本文对一道高考模拟题从题目解法、问题本质及圆锥曲线的生成等几方面进行了探究，培养学生从多角度自主探究问题的意识，提高学生分析问题和解决问题的能力．数学教育家弗里德曼在《怎样学会解数学题》中写到：把习题看作是精密研究的对象，而把解答习题看作设计和发明的目标．在解题教学中，教师不能就题讲题，停留在问题的表面，而应从多角度分析和研究问题，实施多维探究，讲清数学思维过程和问题本质，让学生经历知识发生、发展及思维过程，形成科学的思维习惯．

2.2 及时总结反思 提升思维能力

数学解题不应仅仅满足于求出答案．当问题还没有解出来时，教育学生能够坚韧不拔、锲而不舍；当答案已经找到时，引导学生应从解题过程中自觉吸取营养，及时进行新的探索和总结反思：解题中用到了哪些知识？它们怎样联系起来？思路是怎样打开的？思维有无多余回路？还有别的解法吗？问题能够推广吗？改变一下条件如何？改变一下结论如何？等等．教师要教会学生提出问题的方法，引领学生学会归纳、整理，将知识和方法条理化、系统化，在及时总结反思中提升思维能力．