中学数学解题教学之我见(下)

郑毓信 (南京大学哲学系 210093)

3 数学解题教学的若干实例

这是陈永明老师《数学习题教学研究》的一个重要特点，即是对于“解题经验的显性化、算法化”的突出强调，包括这样两个重要的“数学认知结构”：“解题模块”和“命题联想系统”，后者集中体现了他所提出的在“层次原则”以外的又一原则：归一原则，即是我们应当善于“把解题的经验总结归纳”．[1]54

具体地说，这里所说的“解题模块”与一般所谓的“问题归类”有很大的一致性，而主要的不同点就是将相应的解题方法归结成了明确算法，并希望借此即可帮助大多数学生有效地解决问题．以下就是这方面的一个典型实例：“解条件求值题的一般方法”(图2)[1]11-12．

图1

另外，所谓的“命题联想系统”则是指我们应将各个相关命题，特别是所谓的“等价命题”“下游命题”和“上游命题”深深地印刻在头脑中，从而在解题时就可方便地加以应用．[1]18-24

陈永明老师对为什么要特别重视“解题经验显性化、算法化”做了如下说明：这有益于大多数学生做到所谓的“中巧”；“小巧固然不足取，大巧也确实太难，对于大多数学子，还要重视有章可循的招式……大巧法无定法，小巧一题一法．中巧呢，则希望用一个方法解出一类题目，也就是说，把数学问题分门别类，一类一类地寻求可以机械执行的方法，即算法．”[1]前言

上述做法在现实中应当说会有一定效果，但这主要是就“提升学生的解题率，并使他们负担不重”而言的；而如果依据数学教育基本目标进行分析，突出解题经验的算法化和程序化就应说不够恰当，因为，解题教学的基本目标也应是努力促进学生思维的发展、包括努力提升他们的创造能力，这显然与“思维的机械化和算法化”直接相冲突．

进而，这事实上也可被看成国外相关研究的一个重要启示或教训，即解题策略的研究不宜过细、过死．例如，由于认为波利亚给出的各个解题策略过于一般从而就不便于人们应用，舍费尔德就曾试图对此做出更细致的说明，他还明确地给出了关于如何从事解题策略教学的以下建议：(1)使隐含的过程明朗化；(2)让学生就这些过程进行讨论；(3)提供有指导的实践；(4)确保学生牢固地掌握相关的程序；(5)既注意定性的理解，也注重具体程序．[7]显然，这与上述主张有很大的一致性；但是尽管舍费尔德在这方面投入了很大力量，包括积极的教学实践，但最终却未能取得很好的效果．

当然，以上论述不应被理解成对于思维显性化(明朗化)和算法化(程序化)的完全否定，毋宁说，这更清楚地表明了坚持促进学生思维发展与启发性研究这一立场的重要性．就这方面的具体教学工作而言，与任一固定算法或程序的学习和应用相比，我们应当更加重视促进学生积极进行思考，特别是，如何能够真正做好“一题多解”与“比较和优化”．另外，教学中我们还应特别突出“以正合，以奇胜”这样一个思想，而不应以任何一种方法或策略对学生的思维做出强行的规范．

应当指出，相关作者在上述方面事实上也有清醒的认识．例如由书中提到的“有序分析原则”就可清楚地看出，特别是这样一点：“一般情况下，思考时通法优先，如果找到了通法，心里有了个底．这时候，应该再寻找有没有更好的解法……在种种解法中，能够找到‘一眼看穿’问题本质的‘巧法’……问题可以轻而易举地解决了，就更应重视．”[1]112

其次，就中国的数学“解题学”研究而言，我们当然又应特别提及陕西师范大学罗增儒教授的相关工作：他自20世纪80年代起一直在这一领域中辛勤耕耘，不仅出版了多部专著，还通过积极参与教师培训对实际教学产生了广泛影响．

以下就是他在《数学解题学引论》中引入的十个解题策略：模式识别、映射化归、差异分析、分合并用、进退互化、正反相辅、动静转换、数形结合、有效增设、以美启真．显然，与波利亚的解题策略相比，这一工作更加突出了对立面之间的辩证关系，而这事实上也可被看成国内诸多相关研究的一个共同特点．例如，任樟辉教授在《数学思维论》一书中所提出的十个思维原则显然也可被看成这方面的又一实例：“以简驭繁、进退互用、数形迁移、化生为熟、正难则反、倒顺相通、动静转换、分合相辅、引参求变、以美启真．”[8]

任樟辉教授在同一著作中还曾以波利亚的四种思维模式与其他一些工作为背景，针对我国中学数学教学内容提出了如下八个主要的思维模式：逼近模式、叠加模式、变换模式、映射模式、方程(或函数)模式、交轨模式、退化模式、递归模式，而这事实上也可被看成国内诸多相关研究的又一重要特点，即是与实际教学工作的密切联系．

当然，这又是我们面对相关工作应当认真思考的一个问题：它们与波利亚的工作相比究竟有什么不同，特别是，这对于我们改进解题教学究竟又有哪些新的启示？

正是从上述角度进行分析，笔者以为，我们就应特别重视罗增儒教授的以下工作，即是对于“解题反思”(按照前面提及的“学解题的四步骤程式”，这可被归结为“自觉分析”这样一个范围)的突出强调，特别是，我们不仅应对整个解题过程作出全面回顾、总结与反思，即如相应的计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法等是否可以进一步优化，而且也应从方法论高度做出进一步的思考，即如我们是否可以由此提炼出某些关于解题的普遍性结论．例如，以下就是罗增儒教授特别强调的两个步骤：“整体分析”和“信息交合”[4]81-82，因为，借此我们即可更好地把握解题的关键与整体的“序”．

再则，尽管这从形式上看似乎与我们先前关于“过细、过死”的批评直接相冲突，但这确又应被看成所有这些研究的一个不足之处，即是因过于一般从而就不利于“新手”应用.但是，笔者以为，我们在此也不应陷入“两极对立”这一传统思维模式，而应从一些新的方面进行分析思考．例如，这就是这方面的一个明显结论，即所有这些“抽象道理”的理解与掌握都离不开具体例子，而且，我们也不应满足于对别人所举出例子的学习，还应努力找出自己的例子，包括必要的反例．

更一般地说，相对于单纯的学习而言，我们应更加重视理论的实践性解读，包括通过积极的解题实践做出自己的总结和反思．以下就依据这一立场给出笔者关于如何做好解题教学的简要总结．

4 解题教学的关键

第一，问题的归类与辨识．

即使就日常认识活动而言，问题的分类与辨识显然也有特别的重要性：这直接关系到了我们如何能够有效地应用已有的知识和技能、包括经由长期实践获得的经验去解决新的问题，而不是次次都要“从头开始”，从而耗费大量的时间和精力.另外，这也与数学的本质特点密切相关：作为“模式的科学”，数学并非真实事物或现象量性属性的直接研究，而是以抽象思维的产物、也即“模式”作为研究的对象，其所反映的则是一类事物或现象在量的方面的共同特性，进而，我们在此又无非是将“模式”的概念推广应用到了“问题”之上，这也就是指，我们应当超出各个特例、并从更一般的角度把握各个“基本题型”的意义．

正如前面所提及的，我们在此还应特别重视“变式理论”的指导，包括借此帮助学生很好地认识问题的“深层结构”．(这方面一个很好的例子可见文[6]第90-93页.)

再则，这又可被看成“由简单到复杂、化复杂为简单”这一普遍性认识规律在这一方面的具体体现，即为了切实提高学生的辨识能力，我们应由单一的问题类型逐步过渡到所谓的“综合题”，包括通过教学帮助学生很好掌握这样两个关键性环节，即“分”与“合”，以及对于整体性的“序”的很好把握．

第二，解题与学生思维品质的提升．

解题教学当然不能停留于“题型的学习与识别”，包括“解题方法的算法化或程序化”，不然的话就一定会陷入“题海战术”，也即问题分类越来越多，解题策略越搞越细；恰恰相反，教学中应当引入更多的“非常规问题”，也即应当要求学生创造性地应用已学到的知识、技能和解题策略解决各种较复杂的问题．当然，相关教学也不应停留于简单示范，而应更加重视解题思路的分析，因为“单纯地增加练习量不是促进理解的好途径，只暴露结论的发现、思路探求的思维过程也还不够．”[6]74

在此我们还应特别重视分析视角的转变，也即应当超出单纯的解题策略并从更高层面进行分析思考，因为解决问题事实上不只涉及了解题策略或相关的数学思想，也取决于思维的品质，特别是这样几点：

(1)联系的观点与思维的深刻性

显然，问题的归类即已用到了“联系的观点”，也即所谓的“举三反一”或“求同存异”；另外，从同一角度我们也可更好理解上面已提及的一些工作．例如，注意分析对象之间的共同点与不同点即可被看成“差异分析”的核心；另外，对于所谓的“命题联想系统”我们就不应局限于“等价命题”“下游命题”和“上游命题”，而是应当依据相关研究对此做出进一步的扩展．例如，按照“多元表征理论”，我们就不仅应当善于在“数”和“形”之间做出适当转换，也应从更多方面做出新的思考，如由单纯地“画”扩展到清楚地“说”，包括自然语言与数学语言的适当转换；另外，从同一角度我们也可更好理解几何学习中引入“向量”这一表征方法的意义．

(2)变化的思想与思维的灵活性

上面已经提及，为了提高学生解决问题的能力，关键不在于引入更多题型，而是促进学生积极的思考，特别是努力提升思维的灵活性和创造性．例如，所谓的“逆向思维”显然就可被看成通过适当变化、也即思路调整解决问题的典型例子；另外，更广义地说，我们也可将引入“辅助问题”归结为“求变”的范围，这相对于现成解题模式的简单应用并可说体现了更高层次的一个策略，包括“变化的思想”与“联系的观点”的综合应用．

当然，作为普遍性解题方法，我们在此又应特别提及化归的方法，又由于我们在此所希望的即是通过化归顺利地解决问题，因此，教学中我们又应特别强调化归的方向：“化未知为已知、化繁为简、化难为易”；另外，我们在教学中还应对于“特殊化”与“一般化”予以特别的强调，因为这正是数学中实现化归最重要的两个手段或方法——在一些学者看来，这更可被看成数学思维的核心所在．(文[2]第2.2节)

(3)总结、反思和再认识与思维的自觉性

这也应被看成解题教学的又一重要目标，即帮助学生逐步养成“长时间思考”与反思的习惯与能力．具体地说，无论就较复杂问题的求解、或是解题方法或策略的学习而言，显然都有一个较长的过程，而这又正是日常思维的主要局限性，即是“快思”占据了主导的地位，并常常会导致一些系统性的错误，正因为此，我们在解题教学中就应有意识地帮助学生学会长时间的思考，包括努力创设必要的外部环境或课堂氛围．[9]当然，作为这方面的具体实践，我们又不应以思考时间的长短作为主要的判断标准，而应更加重视思维的品质，特别是，我们应适当放慢节奏对所从事的解题活动做出及时的自我评价与调整，以及对于已完成工作的“再认识”，而这当然也就意味着主体在这方面实现了更大的自觉性．

如果采取现代认知心理学的术语，那么对于上面论述我们就可归属于“元认知”这样一个范畴，人们在这方面有这样一点共识：对于元认知的高度重视正是波利亚以后人们在“问题解决”的研究中所取得的最重要进展.这也就是指，除去“知识的储备”与“启发法的学习”，我们也应将“元认知”(以及“观念”)看成解题能力十分重要的一个方面．

显然，按照上述分析，对于所说的“总结、反思与再认识”我们也就不应局限于单纯的“题后反思”，而应将相关思想很好地贯穿于全部的教学活动．

就这方面的具体教学工作而言，我们还应特别强调这样一点，即是解题活动的动态性质．以下就借助“问题空间”这一概念对此做出简要说明：所谓“问题空间”，即指解题过程中解题者关于任务的内在表征，包括问题的现有状态、目标状态以及两者之间的差别，可以执行的操作、实行后可能达到的中间状态等多个方面的认识；进而，解题过程就可以被看成“问题空间”的不断转换：解题者通过阅读问题和理解建构起了最初的“问题空间”；然后，随着与来自外部和长时记忆的信息的“接触”，“问题空间”不断发生新的变化，即变得更加丰富和更加精致；最后，问题的解决就取决于解题者能否成功地建构出关于所面临问题的一个合适的内在表征．

例如，从上述角度我们显然即可更好认识“递归方法”的重要性．这也就如波利亚所指出的，“在解题的每一阶段，我们都把关于一个新的分量的知识加到已经得到的知识上去，在每一阶段，我们又都要用已经得到的知识去得出更多的知识，我们要靠逐省逐省的占领去最后征服一个王国．在每个阶段，我们利用已被征服的省份作为行动基地去征服下一个省份．”[10]更一般地说，这也正是我们为什么应当特别重视“再认识”的主要原因．

最后，上述分析显然也可以看成对于解题教学提出了更高要求；当然，我们在此也应十分重视对学生认知水平的分析，即不应脱离学生的实际水平提出过高的要求．更一般地说，即我们应通过自己的教学使得相应的思维过程对于学生而言真正成为可以理解的、可以学到手和加以推广应用的，也即是十分自然和合理的[11]；当然，我们在教学中也应很好地突出“以正合，以奇胜”这样一个思想！

第三，努力做好“就题论道”．

除去必要的指导以外，我们在教学中显然还应很好落实学生的主体地位，包括努力促使他们在这一方面实现更大的自觉性，如我们究竟应由具体的解题活动“领悟”些什么？什么又应被看成“自觉分析”的真正重点？

正如前面所提及的，我们应努力与学生在这一方面形成明确共识，从而也就有了真正的共同追求，包括我们究竟为什么应当特别重视解题的教学和学习？

当然，我们在此又应超出数学知识与技能的学习去进行思考；另外，在笔者看来，这事实上也可被看成以下一些论述所给予我们的主要启示：“没有解题的数学学习总给人一种尚未深入到实质或尚未进入到高潮的感觉”，解题更可被看成数学的“兴奋中心”；我们还可“通过解题水平看数学思维水平”．[4]又，“教学生解题是意志的教育．当学生求解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待主要的念头，学会了当主要念头出现后全力以赴．如果学生在学校里没有机会尝尽求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了．”[6]92-93

另外，从同一角度我们事实上也可更好地认识单纯强调“解题教学”、包括“问题解决”的局限性．应当指出的是，国际上的相关研究也已在这方面为我们提供了重要佐证．例如，国际数学教育界通过对“问题解决”这一改革运动进行反思引出的一个主要结论是：与单纯强调“问题解决”相比，我们应当更明确地主张“求取解答并继续前进”；再则，作为“问题解决”研究在当代的主要代表人物，舍费尔德教授也曾明确提及：“尽管我在1985年出版的书用了《数学问题解决》这样一个名称，我现在认识到这一名称的选用是不很恰当的．我所考虑的是：单纯的问题解决的思想过于狭窄了．我所希望的并非仅仅是教会我的学生解决问题，特别是别人提出的问题，而是帮助他们学会数学地思维．”[12]

进一步说，我们显然也不应将“数学解题教学”与“数学知识教学”绝对地对立起来，而应更加重视两者的相互渗透，即应以思维方法的分析带动具体数学知识的教学，从而将数学课真正“讲活、讲懂、讲深”，特别是，不仅能够帮助学生很好地掌握相关的知识和技能，也能领会到内在的思维方法，包括努力提升思维的品质．[11]当然，相关工作也可使学生更好地体会到数学思维的力量，从而真正起到言传身教的作用，包括很好地体现这样一个基本原则：“数学思维的学习，不应求全，而应求用．”

最后，笔者以为，上述工作也直接关系到这样一个问题，即我们如何能够有效地消除中小学数学教学之间存在的巨大间隔，特别是，我们决不应让我们的学生由较开放的数学学习转向单一的解题学习，乃至越来越深地陷入“题海战术”与机械学习，从而也就必然地越来越不喜欢数学，越来越不喜欢思考．