基于数学理解 设计概念教学——“函数的零点”教学设计与反思*>

高 敏 (江苏省睢宁高级中学 221200)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生通过主题一(预备知识)的学习初步形成借助直观理解概念，进行逻辑推理的思维习惯和独立思考、合作交流的学习习惯．

1.2 教材分析

“函数的零点”一课是第八章“函数应用”的第一小节内容，而研究函数与方程的关系和运用函数的知识研究方程的解是本章研究的重点．教学中要引导学生在熟悉的二次函数数学情境中，建立函数零点的概念及函数零点与方程解的关系；引导学生交流，能够用一般性的语言解释具体的现象，抽象总结出零点存在定理，提升学生的数学抽象和直观想象核心素养．

教学目标 (1)结合学习过的具体二次函数图象及二次方程根的问题，建立函数零点与方程解的关系； (2)结合具体连续函数及其图象的特点，总结函数零点存在定理；(3)从函数的观点认识方程，提升数学抽象和直观想象核心素养．

教学重点 结合二次函数图象，通过问题串引导学生交流、探究得到函数零点与方程解的关系．

教学难点 探究零点存在定理并能够理解和应用．

2 教学过程

2.1 创设情境，提出问题

问题1一元二次方程x2- 2x- 1 = 0的根与二次函数y=x2- 2x- 1的图象有什么关系？与二次函数y=x2- 2x- 1的图象与x轴交点之间有怎样的关系？与二次函数y=x2- 2x- 1的关系如何？

设计说明英国的皮里(Susan Pirie)和加拿大的基伦(Thomas Kieren)提出“超回归”数学理解模型，这个模型是以认知观点比较全面地认识数学理解的理论，它直观地描述了学生理解一个数学概念的全过程，将数学理解分为八个水平，分别为原始认知、产生表象、形成表象、关注性质、形式化、观察反思、结构化和发明创造．

学生已有的知识经验是进行理解性学习的前提条件，这里学生的“原始认知”是一元二次方程和二次函数，让学生从熟悉的具体的一元二次方程和二次函数出发，教师通过问题串不断追问的同时，学生对数学知识间的内在联系也越来越明晰,即二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，也即是使二次函数的值为0的实数x．

2.2 抽象概括，感知概念

问题2一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？请同学们画出函数图象，结合图象找关系．

问题3若一元二次方程没有实数解呢？

前面我们学习过，使二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0的实数x称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠ 0)的零点．

问题4二次函数y=ax2+bx+c(a≠ 0)的零点是一个点吗？如果不是，为什么叫做零点？一般地，方程f(x)=0有实根、函数y=f(x)的图象与x轴有交点、函数y=f(x)有零点之间是怎样的关系？

通过讨论，学生明确了如下概念与结论：

(1)函数零点的概念：使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点．它是一个实数，不是一个点．

(2)函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也即是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

(3)方程f(x)=0有实数解(数值特征)⟺函数y=f(x)有零点⟺函数y=f(x)的图象与x轴有公共点(图形特征)．

设计说明“产生表象”和“形成表象”都属于“表象阶段”，是最重要和最基本的理解水平之一，表象是指数学学习、思考过程中的“心理图形”，“表象”往往比数学概念更加直观具体、生动形象，形式也丰富多样．那么，讲到“函数零点”时，学生头脑中首先反映的应该是函数的图象与函数零点的对应关系．把具体的二次函数抽象为一般的二次函数，再进一步抽象为一般函数，同时也给出了用函数的方法来解决方程解的方法，让学生体会数形结合和转化与化归的基本思想在研究数学问题中的应用．但学生此时的表象有可能是错误的，比如:有些学生会错误地认为零点是一个点，这就需要教师及时引导发现已有表象存在的问题．在这里，通过设计辨析性的问题，让学生进一步观察、交流、讨论，加深对函数零点概念的理解．

2.3 操作验证，探求归纳

问题5通过前面的探究，我们知道函数f(x)=x2-2x-1存在零点，那么它在区间(2,3)内是否存在零点？结合之前的研究，我们可以从何种角度来探求这个问题？

设计说明这里首先从渗透解题策略指导的角度发问，学生很容易规范表述：(1)从数值特征出发，求出方程的根，判断它是否在区间(2,3)内；(2)从图形特征入手，作出函数图象，判断函数图象与x轴的交点是否在区间(2,3)内．

问题6怎样判断函数图象与x轴的交点是否在区间(2,3)内？

设计说明这个问题，会有学生回答求出交点的横坐标，但很快会意识到这样做就违背了图形特征入手的初衷，或体现不出从图形角度出发的优势.这势必会促进学生进一步进行数学探究，体现逐步递进，为零点存在定理作铺垫，从而发展学生思维的创新性．

放手让学生充分讨论，并结合图象把自己的想法表达出来．教学中出现了形象化的表述：函数图象在区间(2,3)内穿过x轴．“表象”只是用来理解和记忆的一种思维媒介，它不能代替语言的精确概括．精确定义数学概念就是模型的第五水平“形式化”．

问题7你能否说说零点附近函数值的变化？能否用数学符号表示？

设计说明引导学生用数学符号语言零点附近函数值的变化情况，将图形特征再次转化为代数表示．

问题8函数图象与x轴的交点是否在区间(-1,0)内？

设计说明由f(2)<0,f(3)>0到f(-1)>0,f(0)<0，再进一步过渡到f(2)f(3)<0，f(-1)f(0)<0，由特殊到一般，通过具体的函数抽象概括出共同的特征，初步构建函数零点存在定理．数学理解模型的第六个水平“观察评述”就是学生用自己的语言描述概念、性质．学生先做活动，再做表达，当语言表达有困难或表述不清时，再回到活动，捋顺思路，重新表达，活动与表达互补，完成这个水平的理解．

问题9如果函数y=f(x)满足f(a)f(b)<0，那么y=f(x)在区间(a,b)内是否一定存在零点？请举例说明．

问题10如果函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,那么是否一定有f(a)f(b)<0？请举例说明．

问题11如果函数y=f(x)满足f(a)f(b)>0，那么y=f(x)在区间(a,b)内是否一定没有零点？请举例说明．

问题12如果函数y=f(x)在区间(a,b)内满足f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在(a,b)内有多少个零点？请举例说明．

设计说明通过提出思辨性的问题，让学生的思维爬升，进一步理解函数零点存在定理．探究过程中通过问题导引打开学生的视角和思路,逐步明确：要确保函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，需满足f(a)f(b)<0→要求图象在[a,b]上连续不断→满足f(a)f(b)<0是函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点的充分条件→函数零点存在定理的逆命题不成立→完善、严谨表达函数零点存在定理．引导学生进行结构化的分析，即数学理解模型的第六个水平“结构化”．数学理解不是一个“一步登天”的过程，它需要反复建构，我们应不断鼓励学生通过探索图形特征大胆猜想、小心求证、抽象思辨，强调学生的积极参与，点燃学生的热情，让学生在思考与交流的过程中不断完善理解、深化认识，学习到数学知识的本质，从而发展理解水平，培养创新能力．

2.4 练习巩固，反思拓展

例1函数f(x)=x3+x2+ 1在区间(-2,-1)内有零点吗？在(-2,1)内呢？若把函数变为y=x3+x2- 1呢？变为y=x3+x2+ 3呢？先思考上述问题，然后借助图形计算器验证，说出各自零点的个数．通过例1的研究，你能得出什么结论？

设计说明例1的设置可以让学生及时巩固函数零点存在定理，通过改变区间和函数让学生认识到f(a)f(b)<0只能说明零点存在，是充分条件但不是必要条件，同时也不能判断零点的个数．可以追问：要想确定零点只有一个，还需要说明什么？引导学生借助函数性质来进一步探究．数学理解是一个循序渐进的过程，通过函数的改变和图形计算器的使用，为学生提供主动学习、主动探究的机会，促进学生的理解和记忆；问题的不断深入也能让学生学会反思，在反思中深化理解，抓住数学本质，从而建立全面、准确、完整的数学认知结构．

例2判断函数f(x) = 2x+2x-3是否有零点？若有，有几个？

设计说明例2和例1的区别在于：例1给定了区间，而例2没有．学生拿到这个问题的首要任务就是要确定一个大致的区间，让学生自己动手，想办法找区间，判断零点的大致位置．(1)学生尝试取值，用零点存在定理解答；(2)引导学生数形结合，通过画出函数y=2x和y=3-2x的图象，大致判断零点的位置；(3)学生借助图形计算器验证零点存在，同时也可以从图象上判断零点只有一个.追问：如何证明零点只有一个？进一步引导学生结合函数的单调性证明函数零点的唯一性．“超回归”数学理解模型强调理解需要“回归”，具有“往复性”，“回归”是数学理解发展过程中必不可少的环节，通过不断地反思、追问、练习，不断重组、建构知识结构，从直观到严谨，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．

问题13你能将函数f(x)=2x+2x-3的零点所在区间尽量缩小吗？

设计说明为下节课学习“用二分法求方程近似解”做好铺垫，埋下伏笔．

2.5 课堂总结，归纳升华

回顾、梳理:本节课你掌握了哪些知识点？用到了哪些数学思想方法和思维方法？

设计说明通过课堂总结，学生能够对整堂课的内容进行梳理，建立系统的知识结构．这个活动很重要，学生自主梳理知识的形成过程和思维主线有助于巩固、内化、迁移所学知识，达到系统的、结构性的理解．值得注意的是，这个过程可能学生一开始不太习惯，不知道如何回答，这需要教师耐心地加强指导．

3 回顾与反思

3.1 教学设计的思路

图1简单说明了“超回归”数学理解模型几个水平在本节课中的体现．不论是课标对教学的要求还是教师对学生的要求，学生学习数学都是以数学理解为最终目标的．设计中要把知识的发展和学生的认知发展有机融合，深刻引导学生进行理解性学习，实现数学理解性教学．

图1

3.2 教学反思

(1)基于已有的认知结构，创设有意义的情境

一方面从学生熟悉的、具体的一元二次方程和二次函数出发，通过观察图象解释函数与方程之间的联系，凸显方程的根和函数零点的关系，抽象出函数零点的概念，数和形双管齐下，让学生体会知识的自然生成过程；另一方面要借助新旧知识的矛盾激发认知冲突，让学生思维有实质性的参与．

(2) 问题串引导探究发现，加深理解数学本质

学生经历观察图象，分析图形特征，抽象概念、定理或结论，突出的是数学直觉，而要实现从感性到理性，需要学生自己动手，真正参与探究和辨析的过程，确保学生有想清楚弄明白的机会，通过质疑思辨，让概念表达更准确、定理叙述更严谨．

(3) 反思知识形成的过程与方法，深化数学理解

引导学生从数学现象中发现数学本质，对知识的形成进行反思：如何理解函数零点的概念和零点存在定理？认识是否完整？表达是否准确合理？有没有哪些地方容易理解错误，产生混乱？能否用符号表述？概念和定理的形成过程体现了哪些数学思想方法？由此有效地引导学生理解概念，整体把握数学本质，实现数学能力的发展，提升学科核心素养．