一道中考压轴题的解析及拓展

姜树峰 (江苏省南通市通州区平潮实验初中 226361)

1 题目来源

题目(2019年江苏·南通卷第28题第3问)定义：点M(x,y)，若x,y满足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P(m,n)．若点Q(n,m)是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A,B，当|∠POQ-∠AOB|=30°时，直接写出t的值．

对于x2=2y+t①，y2=2x+t②，联立成常见的方程组，由①-②，得(x+y)(x-y)=-2(x-y)，由于x≠y，得x+y=-2.利用数形结合，将未知数赋予点的坐标，x+y=-2的图象是一条直线，点M在直线x+y=-2上，即新定义的“线点”的内涵．

如图1，OP=OQ(或OP1=OQ1)，OA=OB，∠AOB=90°．将这样一个常见的图形放到坐标系中(图2)，点P(或P1),Q(或Q1),A,B在直线x+y=-2上.怎么做到呢？让Q是“线点”，让点P的横坐标等于点Q的纵坐标，点P的纵坐标等于点Q的横坐标，自然点P也就是“线点”，且点P,Q关于直线y=x对称，自然OP=OQ.直线PQ分别交x轴、y轴于点A,B，就得到OA=OB，∠AOB=90°．

图1 图2

2 拓展

2.1 互换题设和结论

定义：点M(x,y)，若x,y满足x2=-2y+t，y2=-2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P(m,n)．若点Q(n,m)是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A,B，当t=6 时，求|∠POQ-∠AOB|．

图3

2.2 拓展一

定义：点M(x,y)，若x,y满足x2=ay+t，y2=ax+t，且x≠y，a,t为常数，则称点M为“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P(m,n)．若点Q(n,m)是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A,B，当∣∠POQ-∠AOB∣=α时，0°<α<90°，求t的值．

2.3 拓展二

(1)定义：点M(x,y)，若x,y满足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P(m,n)，m<-1，n>-1．若点Q(n,m)是“线点”，T为线段PQ的中点，D为线段OT上任一点，∠POQ=α．连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转180°-α，点D的对应点是点E．随着点D在线段OT上位置的变化，点E的位置也在变化．求证：当α确定时，点E在一条直线上．

如图4，对于等腰三角形POQ，T为底PQ的中点，D为线段OT上任一点，∠POQ=100°．连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转80°，点D的对应点是点E，当点E在直线OT上时，容易发现QE∥PO．当点P,Q的位置变化，T的位置不变，点E的位置变化有什么特性呢？由此编制出这题．

图4 图5

图6 图7

图8

(2)定义：点M(x,y)，若x,y满足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P(m,n)，m<-1，n>-1．若点Q(n,m)是“线点”，M为线段OQ上一点，如果在线段PQ上有两个“线点”T，使∠OTM=∠OQP，求QM长的范围(用t表示)．

有两个“线点”T，与一元二次方程根的判别式相联系，别样的数形结合．原题定义中引进了参数t，这样的新编制让参数t的意义充分体现．

图9

(3)定义：点M(x,y)，若x,y满足x2=ay+t，y2=ax+t，且x≠y，a,t为常数，则称点M为“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点Q(n,m)是“线点”，求|n|+|m|的最小值．

问题解决某市要修建一条通往圆形景观湖的道路，如图9，道路以N为起点，先沿NM方向到某处，再在该处拐一次直角弯到湖边，如何修建能使道路最短？

分析 (x+y)(x-y)=-a(x-y)，由于x≠y，得x+y=-a，直线x+y=-a与x轴交于点A(-a,0)，与y轴交于点B(0,-a)．OA=OB=|a|．当点Q在线段AB上时(含点A,B)，如图10，过点Q作QR⊥x轴于点R，因为∠OAB=45°，所以QR=AR，|n|+|m|=OR+QR=OA=|a|．当点Q不在线段AB上时，|n| + |m|>OA=|a|，所以|n|+|m|的最小值为|a|．

图10 图11

如图11，以N为原点、直线MN为x轴建立平面直角坐标系．沿x轴负方向平移直线x+y=0，直到直线与圆第一次相切时停止．设切点为Q，过点Q作QD⊥x轴于点D．修建方案：先沿NM方向修建到D处，再沿DQ方向修建到Q处．设点Q(n,m)，由Q为“线点”，|n|+|m|的最小值为|a|，OD+DQ=|n|+|m|，OD+DQ的最小值为|a|.如果接着沿x轴负方向平移直线x+y=0， |a|会增大，OD+DQ会增大．

说明 将原题中的新定义再拓展为一般情形，探究出“线点”的特性——横坐标、纵坐标的绝对值的和的最小值为|a|．再利用“线点”的这一特性解决实际问题．实际问题与“线点”的特性结合得相当精妙．